2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三下学期十模数学（文）试题含解析

2023届陕西省宝鸡市千阳县中学高三下学期十模数学（文）试题

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点位于（  ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数除法运算化简复数，从而根据对应点的坐标得到结果.

【详解】

对应的点坐标为：

对应的点位于第一象限

本题正确选项：

【点睛】本题考查复数对应的复平面的点的问题，关键是能够通过复数的除法运算化简复数，属于基础题.

2．设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合之间的基本关系即可判断.

【详解】,,

,

，故B正确；

，,

,故AD正确；

故选：C

3．在下列函数中，为偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性定义判断各个选项即可.

【详解】对于A，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数；

对于B，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数；

对于C，函数的定义域为，且，所以，故函数为偶函数；

对于D，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不为偶函数.

故选：C.

4．回归直线方程的系数a，b的最小二乘法估计使函数最小，Q函数指（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由表示随机误差的平方和得出答案.

【详解】是指所求回归直线方程在各点的值与真实值的误差的平方和，

即.

故选：A

5．在等比数列中，，，则（    ）

A．8 B．16 C．32 D．64

【答案】D

【分析】根据及等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求解.

【详解】设等比数列的公比为,

因为，，所以，解得.

所以.

故选:D.

6．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/

【详解】因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，因此，

故选：B

7．北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的个重要建筑及遗存．某同学欲从这个重要建筑及遗存中随机选取相邻的个游览，选法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【分析】利用捆绑法求解.

【详解】将个相邻建筑及遗存看成一个整体，

则共有种，

即这个重要建筑及遗存中随机选取相邻的个游览，共有种选法，

故选：A.

8．在中，若，，，则的面积是（    ）．

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦定理得，再根据得，进而得，最后求出,再利用三角形面积公式即可求出答案.

【详解】由余弦定理得，代入，得，

因为，所以，即

所以，解得，

因为，则,

所以，.

故选：D.

9．已知函数，则下列结论错误的是（    ）

A．有两个极值点 B．有一个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】D

【分析】对于A选项，对求导后判断函数单调性，即可判断极值点个数；对于B选项，结合A选项求解的函数单调性和极值点的值，根据零点存在定理可判断零点个数；对于C选项利用函数平移，构造，判断的奇偶性，进一步得到对称中心；对于D选项，根据条件直接求出切线方程即可判断结果；

【详解】对于A选项，由，定义域为，可得，令，可得，

因为，得或，，得，即在

单调递减，在，单调递增，即是有极大值点，

是有极小值点，故A选项正确；

对于B选项，由A可知极大值为，

极小值，，由在单调递增和零点存在

定理可知，在存在1个零点，因为在单调递减和单调递增，

极小值，所以在恒大于0，所以有一个零点，故B选项正确；

对于C选项，

可设，得，则为奇函数，所以图像关于对称，

将向上平移1个单位可得，故函数关于对称，故C选项正确；

对于D选项，由A知

，令，解得，则，，所以切线方程为

和，即和，故D选项错误；

故选：D

10．如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.

【详解】

设，因为平面，，

则，，

连接交于点，连接，易得，

又平面，平面，则，

又，平面，则平面，

又，过作于，易得四边形为矩形，

则，

则，，

，则，，，

则，

所以，，，，故A、B、D错误；C正确.

故选：C

11．已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意分析可得，根据数量积的坐标表示结合椭圆的性质运算求解.

【详解】设椭圆的半焦距为c，

由题意可得：，

可得：，

由图可得：∠APB即为的补角，

若∠APB为钝角，即为锐角，

由图可知，故原题意等价于，

整理得，且，解得，

所以椭圆的离心率的取值范围是.

故选：D.

12．已知函数，若关于x的方程有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，画出函数图象，考虑临界点即可求解.

【详解】作出函数的图象如下图所示，直线恒过点，

当过点时，解得，此时直线与有两个交点，故关于的方程有两个互不相等的实根；

将代入得，当时，直线与抛物线只有一个交点，则，解得或，

当时，解得，不满足，则应舍去，即，

所以实数k的取值范围是.

故选：.

二、填空题

13．抛物线的焦点坐标是_______．

【答案】

【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.

【详解】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.

14．已知向量，．若，则________．

【答案】

【分析】根据向量垂直的坐标运算直接可得解.

【详解】由，

得，

解得，

故答案为：.

15．已知函数，若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则把的图象向右至少平行移动________个单位可得到的图象．

【答案】##

【分析】根据辅助角公式结合图象平移可得，根据题意结合图象平移分析可得，运算求解即可.

【详解】∵，

将的图象向左平行移动个单位长度后得到，

把的图象向右平行移动个单位，可得，

由题意可得，故，

解得，

注意到，可得当时，取到最小值.

故答案为：

16．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，则的通项公式为______．

【答案】

【分析】先利用等差数列的通项公式求出，根据项与和的关系以及累乘法可得答案.

【详解】∵，∴，∴，

又∵是公差为的等差数列，

∴，∴，∴当时，，

∴，整理得：，，

∴，

显然对于也成立，∴的通项公式.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)若，且，求x的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式即可化解得，则得到其最小正周期；

（2）根据范围求出，则，则，解出即可.

【详解】（1）

所以的最小正周期为.

（2）因为,所以.

因为,所以.

所以.解得,所以的取值范围是.

18．为迎接2022年冬奥会，某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛．为了解知识竞赛成绩优秀（不低于85分）学生的得分情况，从高一、高二这两个年级知识竞赛成绩优秀的学生中分别随机抽取容量为15、20的样本，得分情况统计如下图所示（满分100分，得分均为整数），其中高二年级学生得分按，，分组．

(1)从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，求其得分不低于90分的概率；

(2)由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明理由．

【答案】(1)

(2)至少99分，理由见解析

【分析】（1）根据古典概型公式计算即可；

（2）取85-90这个分数段的分数全部为85，取90-95这个分数段的分数全部为90，列不等式计算即可.

【详解】（1）设事件A：从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于，则．

所以从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于的概率为．

（2）由题意可知，高一年级学生样本得分的平均分为

．

设高二年级学生样本得分的最高分为m．

由图可知，要使得高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，只需．解得．

所以当高二年级学生样本得分的最高分至少是99时，

高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分．

19．如图，平面平面ABC，，，D分别为PA的中点，，．

(1)设平面平面，若直线，证明：O为AC中点；

(2)在（1）的条件下，求点P到平面BOD的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意可证平面BOD，再利用线面平行的性质定理可得，即可得结果；

（2）根据线、面垂直的判定定理和性质定理可证平面ABC，平面PAC，再利用等体积法求点到面的距离.

【详解】（1）∵直线，且平面BOD，平面BOD，

∴平面BOD，

又∵平面平面，平面BOD，

则，

且D分别为PA中点，所以O为AC中点．

（2）连接PO，设点P到平面BOD的距离为h，

因为，O为AC中点，所以，

因为平面平面ABC，平面平面，平面，

所以平面ABC，

平面，则．

因为，O为AC中点，则，

，平面，

所以平面PAC，

平面，则，

由，，，可得，由（1）知，

又∵，则，解得，

即点P到平面BOD的距离为.

20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点P在直线上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点为M，N，求证：直线恒过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由椭圆的性质结合正方形的性质列出方程得出椭圆C的方程；

（2）由切线的性质得出点P，M，O，N在以为直径的圆上，再由两圆的位置关系得出直线方程，进而得出定点.

【详解】（1）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为，

由题设条件知，，，

故椭圆C的方程为．

（2）设点是直线上任意一点，

由题可知点P，M，O，N在以为直径的圆上，

此圆方程为    ①

又圆O的方程为，    ②

①－②可得直线方程为：，则直线恒过定点．

21．已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

(1)若，求a；

(2)求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出切点坐标和切线斜率，从而得到切线方程，再将切线与联立，利用即可；

（2）首先求出斜率，从而得到切线方程，再将其与联立，利用，从而用表示出，最后重新设函数，利用导数求出其值域，最后得到的范围.

【详解】（1）当时，，所以切点坐标为．

由，得，所以切线斜率，

所以切线方程为，

将代入，得．

由切线与曲线相切，得，解得．

（2）由，得，所以切线斜率，

所以切线方程为，即．

将代入，得．

由切线与曲线相切，得，

整理，得．

令，则，

由，得，0，1，

，随x的变化如下表所示：

由上表知，当时，取得极小值，

当时，取得极小值，

易知当趋近于负无穷时，趋近于正无穷，

当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，

所以函数的值域为，

所以由，得，故实数a的取值范围为．

【点睛】关键点睛：本题的第二问的关键在于写出切线方程再与联立利用得到，从而再设函数，利用导数求出求出其值域，最后得到的范围.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

【答案】（1）；；（2）

【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.

【详解】（1）由得：，又

整理可得的直角坐标方程为：

又，

的直角坐标方程为：

（2）设上点的坐标为：

则上的点到直线的距离

当时，取最小值

则

【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.

23．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.

【详解】（1）    

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又    

【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.