2023届陕西省铜川市王益中学高三下学期一模数学（文）试题含解析

2023届陕西省铜川市王益中学高三下学期一模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式可得集合，根据二次函数的值域可得集合，再根据交集的运算即可求解.

【详解】由，，

所以.

故选:B．

2．已知i是虚数单位，若，则（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算，化简，进而即可求出答案.

【详解】因为，

所以．

故选：C.

3．已知单位向量，的夹角为，向量，且，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据已知向量，且，得出，根据已知单位向量，的夹角为，得出，且，即可代入得出，即可解出答案.

【详解】由已知得，

单位向量，的夹角为，

，且，

所以，解得，

故选：C．

4．某活动小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选2人中没有男生的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设2名男生为，3名女生为,用列举法结合古典概率的计算公式即可求解.

【详解】设2名男生为，3名女生为，

从5人中选2人的总选法为，

共10种不同选法，

则没有男生的选法共3种：，

故所求概率为．

故选:B.

5．设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设公比为q，解得出的值.

【详解】设等比数列的公比为q，则，且不为1

又由已知可得，解得，所以．

故选：D.

6．已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为6，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】化简可得，然后通过变换可得.根据函数最大值，解出，即可得出答案.

【详解】，

将其图象上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到，

再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，

因为的最大值为6，

所以，解得，

故.

故选：A．

7．某人设计了如图程序框图，则输出的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】列举出算法的没一个步骤，即可得出输出结果.

【详解】第一次循环，成立，，，成立；

第二次循环，，，成立；

第三次循环，，，成立；

第四次循环，，，不成立，，成立；

第五次循环，，，成立；

第六次循环，，，成立；

第七次循环，，，成立；

第八次循环，，，成立；

第九次循环，，，成立；

第十次循环，，，不成立，

跳出循环体，输出.

故选：A.

8．某几何体三视图如图所示，则其外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三视图还原四棱锥，可知四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，根据长方体的外接球半径公式求出R，利用球体的表面积公式即可求解.

【详解】解：在长方体中还原该几何体如图所示，图中四棱锥就是这个几何体，

由此可知四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，

故由三视图中的数据知球的半径，

故其外接球的表面积所求面积为，

故选：A．

9．圆心在曲线上，与直线x+y+1=0相切，且面积最小的圆的方程为（　　）

A．x2+（y-1）2=2 B．x2+（y+1）2=2 C．（x-1）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=2

【答案】A

【分析】设与直线x+y+1＝0平行与曲线相切的直线方程为x+y+m＝0，切点为P（x0，y0），x0＞﹣1，解得x0,可得切点P即圆心，利用点到直线的距离公式可得半径r,求解即可．

【详解】设与直线x+y+1＝0平行与曲线相切的直线方程为x+y+m＝0，

切点为P（x0，y0）．x0＞0．

y′＝﹣，∴﹣＝﹣1，x0＞﹣1，解得x0＝0．可得切点P（0，1）,

两条平行线之间的距离为面积最小的圆的半径；∴半径r＝＝ ．

∴圆心在曲线上，且与直线x+y+1＝0相切的面积最小的圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝2．

故选A．

【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，考查圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．已知函数（且），若关于x的方程有4个解，且，则（    ）

A．16 B．10 C．8 D．4

【答案】B

【分析】当时，根据已知画出函数与的图象，即可根据对称性结合已知得出，且，，，，根据对数的运算得出，即可两式作和化简代入得出答案.

【详解】当时，，

在坐标系下作出函数与的图象如图所示：

由图形的对称性知，

且，，，，

则根据对数运算得出，

，，

则，

即，

两式作和得，

又由于，

所以．

当时，，

同理仍得，

故选：B.

11．已知椭圆，与双曲线具有相同焦点F1、F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝，则的最小值是

A． B．2＋ C． D．

【答案】A

【分析】首先根据椭圆与双曲线的定义，得出与所满足的关系，列出式子，求得边长，之后借助于余弦定理，求得，之后应用椭圆的离心率与双曲线的离心率的式子，化简应用基本不等式求得最小值.

【详解】根据题意，可知，

解得，

根据余弦定理，可知，

整理得，

所以 ，

故选A.

【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定理，椭圆和双曲线的离心率，基本不等式求最小值的问题，正确理解知识点是正确解题的关键.

12．直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可知A，B两点的坐标为，，则，令，利用导数研究函数的单调性即可求出最小值.

【详解】解：由题意可知，直线与直线的交点，直线与曲线交点，满足，

则，

设，，则，

由，得；，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，即，

故选：B．

二、填空题

13．如图表示甲、乙两组数据所示的茎叶图，设甲组、乙组两组数据为，则两组数据的平均值分别为与，则___________．

【答案】33.6

【分析】由茎叶图结合平均数的定义分别求，，由此可得结论.

【详解】由茎叶图可得，，，

所以．

故答案为：33.6.

14．设实数x，y满足，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】设，有不等式组作出可行域，得出的范围.化简，然后根据的范围，即可求出答案.

【详解】设，根据约束条件作出可行域如图所示，

解可得，，所以.

由图知当目标函数经过点或点时取得最小值，当目标函数经过点时取得最大值，即．

又，

又，

所以，当时，该式有最小值为；当时，有最大值为.

故答案为：．

15．若，则函数的值域是__________．

【答案】

【分析】化简可得.令，根据几何意义求出的范围，即可得出答案.

【详解】，

设，，则.

由于，则，且.

设，

由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.

由图知，

在中，有，，所以，

所以，所以.

所以，，故所求值域为．

故答案为：．

16．已知正项数列中，，且为其前项和，若存在正整数，使得成立，则的取值范围是_______．

【答案】

【分析】利用已知条件，推导出数列为等比数列，写出通项公式及前项和，代入中变形化简，然后根据表达式求出取值范围即可.

【详解】由已知得，

由于，所以，即，

即数列是首项为5，公比为2的等比数列，

所以，

由变形为，

因为存在正整数，使得成立，所以，

由于，所以，

所以，则，即的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，若．

(1)求角A的值；

(2)若，求面积S的最大值．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由已知可推得.由正弦定理可得，进而得出，即可得出；

（2）由余弦定理可得，.结合基本不等式可得出，代入面积公式即可得出最小值.

【详解】（1）由已知可得，.

因为，所以，

所以，整理可得，

由正弦定理得，

即.

又，所以.

由于，所以．

（2）由余弦定理，可得.

又，当且仅当时取得等号，

所以.

所以，面积，

所以，面积S的最大值为．

18．某调研机构为研究某产品是否受到人们的欢迎，在社会上进行了大量的问卷调查，从中抽取了50份试卷，得到如下结果：

(1)估算一下，1000人当中有多少人喜欢该产品？

(2)能否有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关？

(3)从表格中男生中利用分层抽样方法抽取5人，进行面对面交谈，从中选出两位参与者进行该产品的试用，求所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．

参考公式与数据：

，．

【答案】(1)460人

(2)有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关

(3)．

【分析】（1）通过表格得到喜欢产品的概率，即可求解；

（2）根据列联表结合公式运算，并与临界值3.841比较得到结论；

（3）根据分层抽样得到共有3人喜欢，有2人不喜欢，然后写出选择两个人的所有情况，在罗列出满足至少有一人不喜欢的情况，根据古典概型即可

【详解】（1）通过表格可得到喜欢该产品的概率为，

故1000人中喜欢该产品的人大概有

（2）由表格可得，

故有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关；

（3）由于，故抽取的5人中有3个人喜欢该产品，有2个人不喜欢该产品．

从中选2人，则所有选择方法为：，共10种不同情形，

其中至少有一个人不喜欢的可能情形为：，共7种，

故所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．

19．如图，四棱锥中，底面，，且．

(1)求证：；

(2)若四棱锥的体积为1，求四棱锥的表面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是正方形，进而根据几何关系得，再结合线面垂直得，进而证明平面即可证明；

（2）根据题意得，进而证明平面得，再根据几何关系得，再计算面积即可.

【详解】（1）证明：取中点，连接，

因为，，．

所以，，且，

所以，四边形是正方形，

所以，，且．

所以，，

又由于，

所以，即，

又因为底面，底面，

所以，

又，平面

所以平面，

因为平面，

所以，．

（2）解：因为四棱锥的体积为1，，底面，

所以，，解得．

所以，，而，

因为底面，底面，

所以，，

因为，，

所以，

因为平面，

所以，平面，

因为平面，

所以，，

所以，，，

又因为，

所以，即

所以，四棱锥的表面积

．

20．已知点M，N分别是椭圆的右顶点与上顶点，原点O到直线的距离为，且椭圆的离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点，并且与椭圆交于A，B两点，若，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】(1)结合点到直线距离公式和离心率的定义列方程求，可得椭圆方程.

(2) 设直线的方程为，联立方程组，利用设而不求法结合条件列方程求可得结论.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，

由已知点的坐标为，点的坐标为，

所以直线的方程为，

因为原点O到直线的距离为

所以，

则，

因为离心率，所以，．

故解得，

故椭圆方程为．

（2）设直线的方程为，

联立，消x得，

方程的判别式，

设，

所以，因为，所以，

故得方程组解得，

综上，直线方程为，或．

【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

21．已知函数．

(1)若存在零点，求的取值范围；

(2)若，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由可得出，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知直线与函数的图象有公共点，数形结合可得出实数的取值范围；

（2）设，其中，利用到导数证明出，可得出，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：由可得，令，其中，

则，由可得，由可得，

所以，函数的减区间为，增区间为，

所以，，

且当时，，则；当时，，则，

作出函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有公共点，

即函数有零点，故.

（2）证明：因为，所以，函数、的单调性相同，

则函数的减区间为，增区间为，

所以，，又由于，所以①，

设，其中，则，令，可得.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，②，

由于①②两式中等号不能同时成立，故有．

所以，即．

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22．已知直线l的参数方程为（其中t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的极坐标方程；

(2)若，直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求的值．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由已知可得，进而即可得出曲线C的直角坐标方程.消去参数，可得直线方程为，即可得出直线的极坐标方程；

（2）解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，.根据韦达定理得到的关系，代入即可求解；解法二：联立直线与曲线的方程，求出交点的坐标.然后根据两点间的距离公式，求出、的值，代入即可得出结果.

【详解】（1）由曲线C的极坐标方程得，

化为直角坐标方程为．

又由直线l的参数方程得直线，

所以直线l的极坐标方程为．

（2）解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，，

整理可得，.

设点对应的参数分别为，则是方程的两个根.

由韦达定理可得，.

所以，.

解法二：联立直线与曲线的方程可得，，

解得，.

代入可得，，.

不妨设，，则，.

所以，.

23．已知函数．

(1)求函数的最小值M；

(2)若且，求的最小值．

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）利用零点分段法将写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数的最小值；

（2）由（1）知，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得的最小值.

【详解】（1）由于，作出此函数图象如图所示:

由图象可知函数的最小值为，即．

（2）由（1）知，所以，所以，

即，当且仅当时等号成立，

∴,当且仅当时等号成立．

故的最小值为.