精品解析：广东省江门市2023届高三一模数学试题

江门市2023年高考模拟考试数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则集合B中所有元素之和为（    ）

A. 0 B. 1 C. －1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列式求得的值，即可得出答案.

【详解】根据条件分别令，解得，

又，所以，，

所以集合B中所有元素之和是，

故选：C．

2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将写为化简即可.

【详解】因为，所以.

故选：B

3. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.

【详解】原命题为全称量词命题，该命题的否定为“，”.

故选：D.

4. 已知多项式，则（    ）

A. －960 B. 960 C. －480 D. 480

【答案】A

【解析】

【分析】将写为，是第8项的系数，计算即可.

【详解】解：因为，所以第8项为，

所以.

故选：A

5. 设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量模的性质由已知可求得，则按照在方向上的投影向量的定义求解即可.

【详解】因为，，所以，

则，解得，

所以在方向上的投影向量为.

故选：B.

6. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．

【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，

事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，

又，则，

即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．

故选：D．

7. 已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（    ）

A. 9 B. 10 C. 17 D. 18

【答案】C

【解析】

【分析】根据，可得异号，根据可知，且，所以，利用等差数列的前n项和公式即可得出结果.

【详解】解：因为，所以异号，

因为，所以，

又有，所以，即，

因，，

所以的最大整数n为17.

故选：C

8. 我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列（）的通项公式为，，记为的值域，为所有的并集，则E为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数可得函数在上单调递增，进而，然后构造函数，利用导数求函数的最值，进而即得.

【详解】因为，，，

所以，

故在上单调递增，

又，，

所以，

设，，令，

则，

由，可得，由，可得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以，，

设，则在上单调递减，

所以，，

综上，，.

故选：C.

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 的值域为 B. 的图像关于点中心对称

C. 的最小正周期为 D. 的增区间为（）

【答案】AD

【解析】

【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项.

【详解】因为，所以，A正确；

，但，因此的图象不可能关于点成中心对称，B错；

的最小正周期是，所以的最小正周期是，C错；

由得，，，

时，，易得时，递增，时，递减，又的最小正周期是，

所以的增区间是（），D正确；

故选：AD．

10. 已知曲线，则下列说法正确的是（    ）

A. 若曲线表示两条平行线，则

B. 若曲线表示双曲线，则

C. 若，则曲线表示椭圆

D. 若，则曲线表示焦点在轴的椭圆

【答案】BD

【解析】

【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，若曲线表示两条平行线，则有或，且.

若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，

若，则，此时曲线的方程为，可得或，合乎题意，

故A错；

对于B选项，若曲线表示双曲线，则，

由于且，则，可得，则，B对；

对于C选项，若曲线表示椭圆，则，解得且，C错；

对于D选项，若，则，则，

曲线的方程可化为，

此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D对.

故选：BD.

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 的图象是轴对称图形 B. 的极大值为0

C. 的所有极值点之和为 D. 的极小值之积为

【答案】BCD

【解析】

【分析】将代入中化简，若，使得，等式均成立，则是轴对称图形，化简等式，建立方程解出根，即可判断A；对求导，令导函数为0，求出极值点之间关系，进而判断单调性即可判断B、C，计算的极小值之积，即可判断D.

【详解】对A，若，使得,有成立，

即，

即，

即，

化简可得：

，

因等式成立，所以有成立，解得，

故不存在这样的使得，有成立，即不是轴对称图形，

故选项A错误；

对B,因为，

所以，可得或，

因为，所以有两个不等实根记为，

由韦达定理得，所以，

当时，，，所以，单调递减，

当时，，，所以，单调递增，

当时，，，所以，单调递减，

当时，，，所以，单调递增，

所以的极大值点为，即选项B正确；

对C，的所有极值点之和为：，即选项C正确；

对D，由单调性可知的极小值点为，所以

将代入有：

，

故选项D正确.

故选：BCD

12. 勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）

A. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

B. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是

C. 勒洛四面体表面上交线的长度为

D. 勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项：求出正四面体的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B选项，作出截面图形，求出截面面积；C选项，根据对称性得到交线所在圆的圆心和半径，求出长度；D选项，作出正四面体对棱中点连线，在C选项的基础上求出长度.

【详解】A选项，先求解出正四面体的外接球，如图所示：

取的中点，连接，过点作于点，则为等边的中心，

外接球球心为，连接，则为外接球半径，设，

由正四面体的棱长为2，则，，

，

，，

由勾股定理得：，即，

解得：，

此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：

图中取正四面体中心为，连接交平面于点，交于点，其中与共面，其中即为正四面体外接球半径，

设勒洛四面体内切球半径为，则，故A正确；

B选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：

面积为，B正确；

C选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点，

故，又，

由余弦定理得：，

故，且半径为，故交线的长度等于，C错误；

D选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：

连接，交于中点，交于中点，连接，则，

则由C选项的分析知：，

所以，

故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D正确.

故选：ABD

【点睛】勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：

①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为，

②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60°的扇形弧长之和，其圆心角为，半径为.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果．

【详解】因为，所以，即，

又，所以.

故答案为：.

14. 椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由①得原点到直线AB的距离，求得，由②得，求得，从而，两边同除以得，又，即可解得．

【详解】设左顶点，上顶点，则直线AB的方程为，

以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，则原点到直线AB的距离，

即，即，即，所以，

长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列，则，所以，

综上，，即，两边同除以得，又，解得．

故答案为：．

15. 已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可.

【详解】由题知，直线过点，且直线的方向向量为，点，

所以，

所以点到的距离为

故答案为：.

16. 已知，是方程（）两根，且，则的最大值是________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意得，即，所以，构造函数，()，结合函数的单调性及最值求解即可．

【详解】由题意是方程的两根，且，

则，，即，

所以，()，

令，()，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

则当时，取最大值，

所以的最大值是．

故答案为：．

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列（）满足，，且.

（1）求数列是通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将换为代入中化简，根据定义即可判断为等比数列，由首项公比写出通项公式即可；

（2）由（1）中的通项公式求得，再利用乘公比错位相减得出前n项和即可.

【小问1详解】

解：因为，所以，

又，所以 ，所以 ，又，

所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以；

【小问2详解】

由（1）知，，所以 ，

所以，

，

两式相减可得：，

所以 ，故.

18. 在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.

（1）求的值；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）2    （2）

【解析】

【分析】（1）根据，，成等差数列结合三角恒等变换可得，由正弦定理即可求得的值；

（2）由（1）得，根据锐角三角形结合余弦定理可得的取值范围，将转化为，令，设根据函数单调性确定函数取值范围，即得的取值范围.

【小问1详解】

由条件得： ，

所以，

由正弦定理得：，所以.

【小问2详解】

及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以

由余弦定理得：，所以，

即，解得：，

又，所以.

又 ，

令，则，

，

所以在上递增，又，，

所以的取值范围是.

19. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.

（1）该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）

（2）根据下表中数据，用相关指数（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？

参考公式及数据：，，

，

，.

【答案】（1），   

（2）30（千件）

【解析】

【分析】（1）求出，根据公式计算出得线性回归方程；求出，再求得系数，，代入得非线性回归方程；

（2）根据（1）回归方程分别求得相关指数，比较可得，然后估算销售量即可．

【小问1详解】

由题可得，，

， ，

所以， ，

方案①回归方程，

对两边取对数得：，令，是一元线性回归方程. 

，

，

，

方案②回归方程 ；

【小问2详解】

方案①相关指数；

方案②相关指数，

（有此结论即给分），

故模型②的拟合效果更好，精度更高.

当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量（千件）.

20. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点，点在上，且平面.

（1）求的值；

（2）若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接与交于点，求出，利用线面平行的性质可得出，由此可得出的值；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【小问1详解】

解：连接与交于点，

因为底面是菱形，是的中点，

所以，且，所以.

因为平面，平面，平面平面，

所以 ，所以.

【小问2详解】

解：因为底面是菱形，是的中点，，

因为，则，

由余弦定理可得，

所以，，所以.

因平面，平面，平面，

所以，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

则，，，.

设，，则，

所以.

因为，所以，解得.

所以，，.

设为平面的法向量，则，得，

取，所以为平面的一个法向量.

因为，

所以直线与平面所成角的正弦值是.

21. 已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.

【答案】（1）（）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设动点，由题意知，，由题意，化简可得轨迹C的方程；

（2）设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，，，由过点T直线与曲线C有两个交点确定的范围，由，解得，从而可得直线、的方程，与曲线C的方程联立解得的坐标，求出及点Q到直线的距离，即可求出的面积.

【小问1详解】

设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.

， ，

动点在右侧，有，同理有，

∵四边形的面积为8，∴，即 ，

所以所求轨迹C方程为（）.

【小问2详解】

如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，

，，曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，

则或，同时或，解得或. 

，解得或（舍去）.

时，直线的方程为，

联立，消y得：，则或，得.

直线的方程为，

联立，消y得：，则或，得，

，

点Q到直线的距离  ，

.

方法二： ，

，

，则，

.

22. 已知函数，其中.

（1）若的图象在处的切线过点，求a的值；

（2）证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；

（3）当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求在处的切线方程，然后由切线过点求得的值；

（2），构造函数，，利用函数的单调性求证即可；

（3）令求得，可得在，上单调递增，在递减 ，则至多有三个零点．又，，，所以，结合零点存在定理知：使得，又，，则，所以恰有三个零点：，1，，从而得出结论.

【小问1详解】

由条件得：  ∴，

又  ∴在处的切线为：，

∵的图象在处的切线过点，

∴  ∴.

【小问2详解】

令，，则，

令，，

∴在递减 ，

∴，即

∴在递减，

∴，即， ；

【小问3详解】

的定义域为：，，

时，由得：，，

时，；时，；时，，

∴在，上单调递增，在递减 ，

∴至多有三个零点.

∵，∴，∴，

又，在递减，

∴，又由（2）知，所以，

结合零点存在定理知：使得，

又∴，，

∴，又， ，

∴恰有三个零点：，1，，

∴时，的所有零点之积为（定值）.

【点睛】方法点睛：函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．