精品解析：广东省广州市天河区2023届高三二模数学试题
展开2023届高三天河区二模数学模拟测试
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若的展开式的各项系数和为8，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
4. 已知随机变量的分布列如下：
1 | 2 | |
若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数在区间上的最小值为，最大值为，则下列结论正确的为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
8. 已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限
C. D.
10. 下列等式能够成立的为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知圆：，则（ ）
A. 圆关于直线对称
B. 圆被直线截得的弦长为
C. 圆关于直线对称的圆为
D. 若点在圆上，则的最小值为5
12. 如图，正方体棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（ ）
A. 直线可能与平面相交
B. 三棱锥与三棱锥体积之和为定值
C. 当时，与平面所成角最大
D. 当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的图象在处的切线方程为____________
14. 现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答）
15. 在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________．
16. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，则______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 设数列前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，记的前项和为，证明：.
18. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若角的平分线交于且，求的最小值.
19. 在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，，，.
（1）证明：平面EAC.
（2）若四棱锥的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.
20. 某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．
x | 100 | 150 | 200 | 300 | 450 |
t | 90 | 65 | 45 | 30 | 20 |
（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列；
（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1）
（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x）
参考数据：，，，，，，，，，，．
21. 已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上.
（1）当，且为线段的中点时，证明：；
（2）记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
22. 已知定义在上的函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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