福建省龙岩市上杭三中、四中、实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份福建省龙岩市上杭三中、四中、实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷(含答案),共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,计算题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省龙岩市上杭三中、四中、实验中学八年级(下)期中数学试卷一、选择题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 要使式子有意义,则的值可以是( )A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长,可以构成直角三角形的是( )A. ,, B. ,, C. ,, D. ,,3. 下列式子是最简二次根式的是( )A. B. C. D. 4. 在▱中,,则是( )A. B. C. D. 5. 已知,则以下对的估算正确的是( )A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题不正确的是( )A. 平行四边形的两组对边相等 B. 矩形的四个角都相等
C. 菱形的四条边都相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分7. 小明用四根长度相同的木条制作了如图所示能够活动的菱形学具,并测得,,接着活动学具成为图所示正方形,则图中对角线的长为( )
A. B. C. D. 8. 在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如下图形,验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是( )
A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想9. 如图,对折矩形纸片,使与重合,得到折痕,把纸片展开.再一次折叠纸片,使点落在上,得到折痕,同时,得到线段,若,则的长为( )
A. B. C. D. 10. 在古希腊时期,有一天毕达哥拉斯走在街上,在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听,于是驻足倾听,他发现铁匠打铁节奏很有规律,这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来,后来人们将这个数称为黄金分割数.设,,记,,,,则的值为( )A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题,共24.0分)11. 已知是整数,则正整数的最小值是 .12. 如图,中,,,是的中点,则______.
13. 菱形的两条对角线长分别为和,则菱形的面积是______.14. 在平面直角坐标系中,平行四边形的三个顶点、、,则其第四个顶点是______.15. 如图,矩形中,,,在数轴上,若以点为圆心,对角线的长为半径作弧交数轴于点,则点表示的数为______.
16. 如图,在矩形中,,,点,分别是边,上的动点,点不与,重合,且,是五边形内满足且的点现给出以下结论:
与一定互补;
点到边,的距离一定相等;
点到边,的距离可能相等;
点到边的距离的最大值为.
其中正确的是______ 写出所有正确结论的序号
三、计算题(本大题共1小题,共8.0分)17. 先化简,再求值:,其中是是的小数部分.四、解答题(本大题共8小题,共78.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18. 本小题分
计算:19. 本小题分
如图,点、分别是矩形的边、上的一点,且求证:.
20. 本小题分
“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节.某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后,为了测得风筝的垂直高度如图,他们进行了如下操作:测得水平距离的长为米;根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米;牵线放风筝的小明的身高为米.
求风筝的垂直高度;
如果小明想风筝沿方向下降米,则他应该往回收线多少米?
21. 本小题分
如图,▱的对角线,相交于点,且,,求证:▱是菱形.
22. 本小题分
下面我们做一次折叠活动:
第一步,在一张宽为的矩形纸片的一端,利用图的方法折出一个正方形,然后把纸片展平,折痕为;
第二步,如图,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平,折痕为;
第三步,折出内侧矩形的对角线,并将折到图中所示的处,折痕为根据以上的操作过程,完成下列问题:
求的长;
求证:四边形是菱形.
23. 本小题分
如图,点为线段外一点.
求作平行四边形要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹;
设点,分别为平行四边形的边,的中点,求证:直线,,相交于同一点.
24. 本小题分
探究:如图所示,为线段上一动点,分别过点,点作,,分别连接,已知,,设.
______,______用含的代数式表示;
探究点,,处于何种位置时,的值最小,并求出其最小值;
根据中的探究结果,请构图并求出代数式的最小值.要求画出示意图
25. 本小题分
如图,正方形中,点是对角线的中点,点是线段上不与、重合的一个动点,过点作且交边于点.
求证:;
若正方形的边长为,
过点作于点,如图,则在点运动的过程中,的长度是否发生变化?若不变,请直接写出这个不变的值;若变化,请说明理由.
连接交于点,在点运动的过程中,当,求的长.
答案和解析 1.【答案】 【解析】解:,
.
的值可以是,
故选:.
根据二次根式的被开方数是非负数求出的范围即可得出答案.
本题考查了二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
2.【答案】 【解析】解:,
不可以构成直角三角形,故本选项不符合题意;
B.,
不可以构成直角三角形,故本选项不符合题意;
C.,
不可以构成直角三角形,故本选项不符合题意;
D.,
可以构成直角三角形,故本选项符合题意;
故选:.
根据勾股定理的逆定理,求出两小边的平方和,再求出大边的平方,看是否相等,即可得出答案.
本题考查了对勾股定理的逆定理的运用,熟知:如果一个三角形的三边分别是、、最大满足,则三角形是直角三角形是解决问题的关键.
3.【答案】 【解析】解:,故选项A不符合题意;
,故选项B不符合题意;
是最简二次根式,故选项C符合题意;
,故选项D不符合题意;
故选:.
根据各个选项中的式子,可以判断是否为最简二次根式,本题得以解决.
本题考查有理数的分母有理化、最简二次根式,解答本题的关键是明确最简二次根式的定义.
4.【答案】 【解析】解:四边形是平行四边形,
,
,
,
故选:.
根据平行四边形的性质得,而,则,于是得到问题的答案.
此题重点考查平行四边形的性质、由四边形是平行四边形,根据“平行四边形的对角相等”推导出是解题的关键.
5.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了估算无理数的大小,正确得出的取值范围是解题关键.直接化简二次根式,得出的取值范围,进而得出答案.
【解答】
解:,
,
,
故选B. 6.【答案】 【解析】解:平行四边形的两组对边相等的逆命题是两组对边分别相等的四边形是平行四边形,此说法正确,故不符合题意;
B.矩形的四个角都相等的逆命题是四个角都相等的四边形是矩形,此说法正确,故不符合题意;
C.菱形的四条边都相等的逆命题是四条边都相等的四边形是矩形,此说法正确,故不符合题意;
D.正方形的对角线互相垂直平分的逆命题是对角线互相垂直平分的四边形是正方形,此说法错误,故此选项符合题意,
故选:.
分别得出各命题的逆命题,然后再进行判断即可.
此题考查矩形,正方形,平行四边形,菱形的判定问题.熟练掌握矩形,正方形,平行四边形及菱形的判定是解题的关键.
7.【答案】 【解析】解:如图,图中,连接.
图中,四边形是菱形,
,
,
是等边三角形,
,
在图中,四边形是正方形,
,,
是等腰直角三角形,
;
故选:.
如图,图中,连接在图中,证是等边三角形,得出在图中,由勾股定理求出即可.
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质,属于中考常考题型.
8.【答案】 【解析】解:这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”,它体现的数学思想是数形结合思想,
故选:.
9.【答案】 【解析】解:由折叠的性质得,,,,,
,,
,
,
,
,
,
,
,
故选:.
根据折叠的性质得到,,,,根据三角函数的定义得到,求得,于是得到结论.
本题考查翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用翻折变换添加辅助线,属于中考常考题型.
10.【答案】 【解析】解:,,
,
,
,
,
,
,
,
故选:.
先计算,,的值,找出规律,然后求解即可.
本题考查的分式的规律计算,正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键.
11.【答案】 【解析】解:,
是整数,
正整数的最小值是.
故答案为:.
先分解质因数,再根据为整数和为正整数得出答案即可.
本题考查了二次根式的定义,能正确根据分解质因数是解此题的关键.
12.【答案】 【解析】解:,为的中点,
.
故答案为:.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键.
13.【答案】 【解析】解:菱形的两条对角线长分别为和,
菱形的面积.
故答案为:.
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解.
本题考查了菱形的性质,菱形的面积通常有两种求法,可以用底乘以高,也可以用对角线乘积的一半求解,计算时要根据具体情况灵活运用.
14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质;熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
由题意得出,由平行四边形的性质得出,,即可得出结果.
【解答】
解:、,
,
四边形是平行四边形,
,,
,
点的坐标为,
即;
故答案为:. 15.【答案】 【解析】解:,
则,
点表示,
点表示的数为:.
故答案是:.
首先根据勾股定理计算出的长,进而得到的长,再根据点表示,可得点表示的数.
此题主要考查了勾股定理,关键是掌握勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
16.【答案】 【解析】解:四边形是矩形,
,
又,四边形内角和是,
,
故正确;
过作,,分别交于,交于,
,
,
,
在和中,
,
≌,
,
故正确;
,,并由知,
点到边,的距离不相等,
故错误:
当四边形是正方形时,点到的距离最大,
,
,
故正确.
故答案为:.
根据矩形的性质得出,又,有三角形内角和为可判断;
过作,,分别交于,交于,先求出,然后证明≌,可以判断;
由,和的结论可以判断;
当四边形是正方形时,点到的距离最大,从而可以判断.
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理,关键是对知识的掌握和运用.
17.【答案】解:原式
,
,
,
原式
. 【解析】根据单项式乘多项式,平方差公式计算乘法,然后再算加减,并结合无理数的估算求得的值,从而代入求值.
本题考查整式的混合运算,理解无理数的估算,掌握平方差公式是解题关键.
18.【答案】解:原式,
,
. 【解析】首先分别计算绝对值、零次幂、二次根式的除法、负整数指数幂,然后再计算加减即可.
此题主要考查了二次根式的混合运算,以及实数的运算,关键是掌握绝对值、零次幂、二次根式的除法、负整数指数幂的计算公式和法则.
19.【答案】证明:四边形是矩形,
,,
在和中,
≌,
. 【解析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
由证明≌,即可得出.
20.【答案】解:在中,
由勾股定理得,,
所以,负值舍去,
所以,米,
答:风筝的高度为米;
由题意得,,
,
米,
米,
他应该往回收线米. 【解析】利用勾股定理求出的长,再加上的长度,即可求出的高度;
根据勾股定理即可得到结论.
本题考查了勾股定理的应用,熟悉勾股定理,能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键.
21.【答案】证明:,,,
,,
,
为直角三角形,即.
、互相垂直,
又四边形是平行四边形,
四边形是菱形. 【解析】由勾股定理的逆定理可证、互相垂直,由菱形的判定可得结论.
本题考查了菱形的判定,平行四边形的性质,勾股定理的逆定理,证明、互相垂直是解题的关键.
22.【答案】解:,
四边形是矩形,
,
矩形是正方形,
,
由折叠得:,
中,由勾股定理得:,
,
;
由折叠得:,,
,
,
,
,
,,
四边形是平行四边形,
,
四边形是菱形. 【解析】先证明四边形为正方形,再利用折叠得:,,所以,可得结论;
根据平行线的性质得折叠得:,由等角对等边得:,由一组对边平行且相等可得:四边形是平行四边形,再由,可得四边形是菱形.
本题是四边形的综合题,难度适中,考查了菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定和性质以及折叠的性质,并利用数形结合的思想解决问题.
23.【答案】解:如图,平行四边形即为所求.
证明:设交于点.
四边形是平行四边形,
,,
,
,
,
在和中,
,
≌,
,
点是,的交点.
直线,,相交于同一点. 【解析】连接,分别以,为圆心,,为半径作弧,两弧交于点,连接,,四边形即为所求;
设交于点证明≌,推出,可得结论.
本题考查作图复杂作图,平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
24.【答案】 【解析】解:,;
故答案为:,;
当点、、三点在一条直线上时,的值最小,过点作交的延长线于点则四边形是矩形,
,,
,
,
的最小值为.
如图,令,,,设,则.
,
、、三点在一条直线上时,的值最小,
的长即为的最小值,
过点作的平行线交的延长线于点,
于,于,
,
四边形是矩形,
,,
在中,,,,
,
的最小值为.
由两点之间线段最短可知:当点、、三点在一条直线上时,的值最小;
根据勾股定理计算即可;
如图,令,,,设,则过点作的平行线交的延长线于点,再证明四边形是矩形,根据矩形的性质和勾股定理即可出代数式的最小值.
本题考查了最短路线问题,综合利用了勾股定理,及用数形结合的方法求代数式的值的方法,利用两点之间线段最短是解决问题的关键.
25.【答案】证明:如图,过点作,交于点,交于点.
则,
,
,
.
四边形是正方形,
,,
,
,
,
.
在中,,
是等腰直角三角形,
,
,
在与中,
≌,
.
解:在点运动的过程中,的长度不发生变化.理由如下:
如图,连接.
四边形是边长为的正方形,
,
点是的中点,
,
,
,
.
,
,
.
由得:,
在与中,
≌,
.
是等腰直角三角形,
,
,
即的长不发生变化,为定值.
解:过点作,交于点,交于点.
由可知,,和是等腰直角三角形,
,,
,
,
,
四边形是正方形,
,,,
,
,,
过作于,于,
则,是等腰直角三角形,
,
设,则,
,
,
即,
解得:,
,
,
即的长为. 【解析】过点作,交于点,交于点由证明≌,即可得出结论;
连接,证明≌,得,进而得出结论;
过点作,交于点,交于点由可知,,和是等腰直角三角形,再证,然后求出,,过作于,于,则,进而由面积法求出的长,得出的长,即可解决问题.
本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式等知识,本题综合性强,熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.
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