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2023年辽宁省抚顺市清原县中考数学一模试卷
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这是一份2023年辽宁省抚顺市清原县中考数学一模试卷，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省抚顺市清原县中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（北师大版）如图①，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图②摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（ ）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
4．（3分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
6．（3分）某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ）
A．（7+x）（5+x）×3＝7×5 B．（7+x）（5+x）＝3×7×5
C．（7+2x）（5+2x）×3＝7×5 D．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
8．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C． D．BD2＝BC•BE
10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）方程（x+1）2＝9的根是 ．
12．（3分）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是 ．
13．（3分）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为 ．
摸球的总次数a
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数b
19
101
199
400
…
摸出红球的频率
0.190
0.202
0.199
0.200
…
14．（3分）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，，则CD＝ ．
15．（3分）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ．
16．（3分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 .（结果保留π）
17．（3分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝20cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP，则下列结论：
①AE⊥BF；
②∠OPA＝45°；
③；
④若BE：CE＝2：3，则 ；
⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
其中正确的结论是 ．
三、（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．
（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
（2）请画出△A1B1C1；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 ；
（4）△A1B1C1的面积是 ．
20．（12分）据网站调查，2022年网民们关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类，根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如图：
（1）求出共调查了多少人，并补全条形统计图；
（2）若某市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四大中随机抽取两人进行座谈，试用列表法或树形图的方法抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
四、（每小题12分，共24分）
21．（12分）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A和点C（3，2），与x轴的正半轴相交于点B．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积．
22．（12分）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．
五、（本题12分）
23．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值．
六、（本题12分）
24．（12分）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
七、（本题12分）
25．（12分）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
2023年辽宁省抚顺市清原县中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上边看，底层左边是两个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
2．（3分）（北师大版）如图①，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图②摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由于所有机会均等的结果为6种，而出现“自”的机会有3种，
所以出现“自”的概率为．
故选：A．
3．（3分）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（ ）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，
∵AB＝12米，
∴BC＝12sinα（米）．
故选：A．
4．（3分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，
∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，
∵EH∥CD，
∴FH＝BH，
∵BE＝CE，
∴EH＝CF＝，
由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∴BH＝FH＝BF＝，
∵EH∥CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴，
∴＝，
解得：GH＝，
故选：A．
6．（3分）某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ）
A．（7+x）（5+x）×3＝7×5 B．（7+x）（5+x）＝3×7×5
C．（7+2x）（5+2x）×3＝7×5 D．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5
【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝3×7×5，
故选：D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
【解答】解：作MN⊥x轴于N，
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，
∴P（，2），
∴PQ＝2，
∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．
∴QM＝QP＝2，∠PQM＝60°，
∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，
∴MN＝QM＝1，
∴QN＝＝，
∴M（+，1），
∵点M也在该反比例函数的图象上，
∴k＝+，
解得k＝2，
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C． D．BD2＝BC•BE
【解答】解：由题意可得∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，AP为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴∠BAE＝∠DAE＝30°，
∴△AEC是等腰三角形，
∵AB＝AD，AC＝2AB，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，
故选项A，B正确，不符合题意；
在△ABC和△EDC中，∠C＝∠C，∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵，DC＝，
∴，
∴，
∴，故选项C错误，符合题意；
在△ABD中，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠DBE＝∠BDE＝30°，
在△BED和△BDC中，∠DBC＝∠EBD＝30°，∠BDE＝∠C＝30°，
∴△BED∽△BDC，
∴，
∴BD2＝BC•BE，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴AC∥EF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC•AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，
由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD•DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，
由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项A的图象符合题意，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）方程（x+1）2＝9的根是 x1＝2，x2＝﹣4 ．
【解答】解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
12．（3分）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是 ．
【解答】解：由图可知，
指针指向的区域有5种可能性，其中指向的区域内的数是奇数的可能性有3种，
∴这个数是一个奇数的概率是，
故答案为：．
13．（3分）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为 20 ．
摸球的总次数a
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数b
19
101
199
400
…
摸出红球的频率
0.190
0.202
0.199
0.200
…
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，
∴＝0.2，
解得：m＝20．
经检验m＝20是原方程的解，
故答案为：20．
14．（3分）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，，则CD＝ 3 ．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD，则，
∴，
∵AD＝4，
∴AC＝5，
根据勾股定理可得：，
故答案为：3．
15．（3分）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 6 ．
【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，
所以△AOC的面积为6，
所以k＝12＝2m．
解得：m＝6．
故答案为：6．
16．（3分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 400π .（结果保留π）
【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
故答案为：400π．
17．（3分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝20cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 （5﹣5）cm ．
【解答】解：如图所示，BC交EF于点N，
由题意得，∠EGF＝∠BAC＝90°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝DF＝20cm，
根据点O是边BC（DF）的中点，可得：BO＝OC＝DO＝FO＝10cm
∵△ABC绕点O顺时针旋转60°，∠DFE＝30°，
∴∠BOD＝NOF＝60°，
∴∠NOF+∠F＝90°，
∴∠FNO＝180°﹣∠NOF﹣∠F＝90°，
∴△ONF是直角三角形，
∴ON＝OF＝5cm，
∴FN＝＝5，NC＝OC﹣ON＝5cm，
∵∠FNO＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠GNC＝180°﹣∠FNO＝90°，
∴△CNG是直角三角形，
∴∠NGC＝180°﹣∠GNC﹣∠ACB＝45°，
∴△CNG是等腰直角三角形，
∴NG＝NC＝5cm，
∴FG＝FN﹣NG＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）cm．
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP，则下列结论：
①AE⊥BF；
②∠OPA＝45°；
③；
④若BE：CE＝2：3，则 ；
⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
其中正确的结论是 ①②③⑤ ．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．
∴∠BOE+∠EOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠COF．
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF．
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠ABP+∠BAE＝90°，
∴∠APB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO＝∠ABO＝45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO＝45°，OH⊥OP，
∴OH＝OP＝HP，
∴HP＝OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB＝90°．
∴∠AOH＝∠BOP．
∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，
∴∠OAH＝∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴AH＝BP．
∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE＝2：3，
∴设BE＝2x，则CE＝3x，
∴AB＝BC＝5x，
∴AE＝＝x．
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB＝45°，
∴EG＝GC＝EC＝x，
∴AG＝＝x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE＝，
∴tan∠CAE＝＝．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．
∴S△OBC＝S正方形ABCD．
∴S△BOE+S△OEC＝S正方形ABCD．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE＝S△OFC，
∴S△OEC+S△OFC＝S正方形ABCD．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故答案为：①②③⑤．
三、（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．
（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
（2）请画出△A1B1C1；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 （a，b） ；
（4）△A1B1C1的面积是 3 ．
【解答】解：（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是；
故答案为：；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是（a，b）；
故答案为：（a，b）；
（4）△A1B1C1的面积是：×2×3＝3．
故答案为：3．
20．（12分）据网站调查，2022年网民们关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类，根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如图：
（1）求出共调查了多少人，并补全条形统计图；
（2）若某市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四大中随机抽取两人进行座谈，试用列表法或树形图的方法抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【解答】解：（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（人），
关注教育的人数是：1400×25%＝350（人）．
答：共调查了1400人．
（2）880×10%＝88（万人），
答：最关注环保问题的人数约为88万人．
（3）画树形图得：
∴一共有12种等可能的情况，其中抽取两人恰好是甲和乙的情况数有2种，
∴P（抽取的两人恰好是甲和乙）＝．
四、（每小题12分，共24分）
21．（12分）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A和点C（3，2），与x轴的正半轴相交于点B．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积．
【解答】解：（1）∵点C（3，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴＝2，
解得：k＝6；
（2）∵点C（3，2）是线段AB的中点，
∴点A的纵坐标为4，
∴点A的横坐标为：＝，
∴点A的坐标为（，4），
设直线AC的解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+6，
当y＝0时，x＝，
∴OB＝，
∵点C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝S△AOB＝×××4＝．
22．（12分）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．
【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，
∴AD＝AE•tan60°＝3（米），
∴灯管支架底部距地面高度AD的长为3米；
（2）延长FC交AB于点G，
∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，
∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，
∵∠GDC＝60°，
∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，
∴△DGC是等边三角形，
∴DC＝DG，
∵AE＝3米，EF＝8米，
∴AF＝AE+EF＝11（米），
在Rt△AFG中，AG＝AF•tan30°＝11×＝（米），
∴DC＝DG＝AG﹣AD＝﹣3＝≈1.2（米），
∴灯管支架CD的长度约为1.2米．
五、（本题12分）
23．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，，
∴∠CAF＝∠OAF，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∴∠C＝∠OFD，
∵AC⊥CD，∠C＝90°＝∠OFD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，∠AFO＝90°﹣∠OFB＝∠DFB，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG＝．
六、（本题12分）
24．（12分）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得y＝12﹣2（x﹣4）＝﹣2x+20（4≤x≤5.5），
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式y＝﹣2x+20，
自变量x的取值范围是4≤x≤5.5；
（2）设每天获得的利润为W千元，根据题意得w＝（﹣2x+20）（x﹣2）＝﹣2x2+24x﹣40＝﹣2（x﹣6）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＜6，w随x的增大而增大．
∵4≤x≤5.5，
∴当x＝5.5时，w有最大值，最大值为﹣2×（5.5﹣6）2+32＝31.5，
∴将批发价定为5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
七、（本题12分）
25．（12分）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
【解答】解：（1）由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）BE＝，BE⊥DG，理由如下：
由（1）得：∠BAE＝∠DAG，
∵＝＝2，
∴△BAE∽△DAG，
∴，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图，
当B在线段BD上时，
作AH⊥BD于H，
∵tan∠ABD＝，
∴设AH＝2x，BH＝x，
在Rt△ABH中，
x2+（2x）2＝（）2，
∴BH＝1，AH＝2，
在Rt△AEH中，
∵tan∠AEB＝，
∴，
∴EH＝AH＝2，
∴BE＝BH+EH＝3，
∵BD＝＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，
由（2）得：，DG⊥BE，
∴DG＝2BE＝6，
∴S△BEG＝＝＝9，
在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，
∴DM＝GM＝，
∵NM＝NM，
∴△DMN≌△GMN（SSS），
∵MN是△BEG的中位线，
∴MN∥BE，
∴△BEG∽△MNG，
∴＝（）2＝，
∴S△MND＝S△MNG＝S△BEG＝，
如图，
同上可得：BE＝EH﹣BH＝2﹣1＝1，
DG＝2BE＝2，
∴＝1，
∴S△BEG＝，
综上所述：△DMN的面积是或．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：
如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，
∵C（0，4），D是OC的中点，
∴E（0，1），
当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，
2x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴P（，1），
∴OD≠PD，
∴△POD不可能是等边三角形；
（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，
分两种情况：
①如图2，△CMP∽△BMH，
∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴＝＝＝＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t1＝0，t2＝1，
∴P（1，4）；
②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，
过点P作PE⊥y轴于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝，
∴P（，）；
综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．
2023年辽宁省抚顺市清原县中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（北师大版）如图①，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图②摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（ ）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
4．（3分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
6．（3分）某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ）
A．（7+x）（5+x）×3＝7×5 B．（7+x）（5+x）＝3×7×5
C．（7+2x）（5+2x）×3＝7×5 D．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
8．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C． D．BD2＝BC•BE
10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）方程（x+1）2＝9的根是 ．
12．（3分）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是 ．
13．（3分）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为 ．
摸球的总次数a
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数b
19
101
199
400
…
摸出红球的频率
0.190
0.202
0.199
0.200
…
14．（3分）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，，则CD＝ ．
15．（3分）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 ．
16．（3分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 .（结果保留π）
17．（3分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝20cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP，则下列结论：
①AE⊥BF；
②∠OPA＝45°；
③；
④若BE：CE＝2：3，则 ；
⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
其中正确的结论是 ．
三、（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．
（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
（2）请画出△A1B1C1；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 ；
（4）△A1B1C1的面积是 ．
20．（12分）据网站调查，2022年网民们关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类，根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如图：
（1）求出共调查了多少人，并补全条形统计图；
（2）若某市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四大中随机抽取两人进行座谈，试用列表法或树形图的方法抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
四、（每小题12分，共24分）
21．（12分）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A和点C（3，2），与x轴的正半轴相交于点B．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积．
22．（12分）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．
五、（本题12分）
23．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值．
六、（本题12分）
24．（12分）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
七、（本题12分）
25．（12分）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
2023年辽宁省抚顺市清原县中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，是由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上边看，底层左边是两个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
2．（3分）（北师大版）如图①，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图②摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由于所有机会均等的结果为6种，而出现“自”的机会有3种，
所以出现“自”的概率为．
故选：A．
3．（3分）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（ ）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，
∵AB＝12米，
∴BC＝12sinα（米）．
故选：A．
4．（3分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，
∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，
∵EH∥CD，
∴FH＝BH，
∵BE＝CE，
∴EH＝CF＝，
由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∴BH＝FH＝BF＝，
∵EH∥CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴，
∴＝，
解得：GH＝，
故选：A．
6．（3分）某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ）
A．（7+x）（5+x）×3＝7×5 B．（7+x）（5+x）＝3×7×5
C．（7+2x）（5+2x）×3＝7×5 D．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5
【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝3×7×5，
故选：D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
【解答】解：作MN⊥x轴于N，
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，
∴P（，2），
∴PQ＝2，
∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．
∴QM＝QP＝2，∠PQM＝60°，
∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，
∴MN＝QM＝1，
∴QN＝＝，
∴M（+，1），
∵点M也在该反比例函数的图象上，
∴k＝+，
解得k＝2，
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C． D．BD2＝BC•BE
【解答】解：由题意可得∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝AD，AP为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴∠BAE＝∠DAE＝30°，
∴△AEC是等腰三角形，
∵AB＝AD，AC＝2AB，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，
故选项A，B正确，不符合题意；
在△ABC和△EDC中，∠C＝∠C，∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵，DC＝，
∴，
∴，
∴，故选项C错误，符合题意；
在△ABD中，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠DBE＝∠BDE＝30°，
在△BED和△BDC中，∠DBC＝∠EBD＝30°，∠BDE＝∠C＝30°，
∴△BED∽△BDC，
∴，
∴BD2＝BC•BE，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，
在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴AC∥EF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC•AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，
由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD•DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，
由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，
由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项A的图象符合题意，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）方程（x+1）2＝9的根是 x1＝2，x2＝﹣4 ．
【解答】解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
12．（3分）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是 ．
【解答】解：由图可知，
指针指向的区域有5种可能性，其中指向的区域内的数是奇数的可能性有3种，
∴这个数是一个奇数的概率是，
故答案为：．
13．（3分）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为 20 ．
摸球的总次数a
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数b
19
101
199
400
…
摸出红球的频率
0.190
0.202
0.199
0.200
…
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，
∴＝0.2，
解得：m＝20．
经检验m＝20是原方程的解，
故答案为：20．
14．（3分）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，，则CD＝ 3 ．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD，则，
∴，
∵AD＝4，
∴AC＝5，
根据勾股定理可得：，
故答案为：3．
15．（3分）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 6 ．
【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，
所以△AOC的面积为6，
所以k＝12＝2m．
解得：m＝6．
故答案为：6．
16．（3分）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 400π .（结果保留π）
【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
故答案为：400π．
17．（3分）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝20cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 （5﹣5）cm ．
【解答】解：如图所示，BC交EF于点N，
由题意得，∠EGF＝∠BAC＝90°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝DF＝20cm，
根据点O是边BC（DF）的中点，可得：BO＝OC＝DO＝FO＝10cm
∵△ABC绕点O顺时针旋转60°，∠DFE＝30°，
∴∠BOD＝NOF＝60°，
∴∠NOF+∠F＝90°，
∴∠FNO＝180°﹣∠NOF﹣∠F＝90°，
∴△ONF是直角三角形，
∴ON＝OF＝5cm，
∴FN＝＝5，NC＝OC﹣ON＝5cm，
∵∠FNO＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠GNC＝180°﹣∠FNO＝90°，
∴△CNG是直角三角形，
∴∠NGC＝180°﹣∠GNC﹣∠ACB＝45°，
∴△CNG是等腰直角三角形，
∴NG＝NC＝5cm，
∴FG＝FN﹣NG＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）cm．
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP，则下列结论：
①AE⊥BF；
②∠OPA＝45°；
③；
④若BE：CE＝2：3，则 ；
⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
其中正确的结论是 ①②③⑤ ．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．
∴∠BOE+∠EOC＝90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC＝90°．
∴∠BOE＝∠COF．
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE＝CF．
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠ABP+∠BAE＝90°，
∴∠APB＝90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO＝∠ABO＝45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO＝45°，OH⊥OP，
∴OH＝OP＝HP，
∴HP＝OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB＝90°．
∴∠AOH＝∠BOP．
∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，
∴∠OAH＝∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
，
∴△AOH≌△BOP（ASA），
∴AH＝BP．
∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE＝2：3，
∴设BE＝2x，则CE＝3x，
∴AB＝BC＝5x，
∴AE＝＝x．
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB＝45°，
∴EG＝GC＝EC＝x，
∴AG＝＝x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE＝，
∴tan∠CAE＝＝．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．
∴S△OBC＝S正方形ABCD．
∴S△BOE+S△OEC＝S正方形ABCD．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE＝S△OFC，
∴S△OEC+S△OFC＝S正方形ABCD．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故答案为：①②③⑤．
三、（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）．
（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 ；
（2）请画出△A1B1C1；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 （a，b） ；
（4）△A1B1C1的面积是 3 ．
【解答】解：（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是；
故答案为：；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是（a，b）；
故答案为：（a，b）；
（4）△A1B1C1的面积是：×2×3＝3．
故答案为：3．
20．（12分）据网站调查，2022年网民们关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类，根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如图：
（1）求出共调查了多少人，并补全条形统计图；
（2）若某市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四大中随机抽取两人进行座谈，试用列表法或树形图的方法抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【解答】解：（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（人），
关注教育的人数是：1400×25%＝350（人）．
答：共调查了1400人．
（2）880×10%＝88（万人），
答：最关注环保问题的人数约为88万人．
（3）画树形图得：
∴一共有12种等可能的情况，其中抽取两人恰好是甲和乙的情况数有2种，
∴P（抽取的两人恰好是甲和乙）＝．
四、（每小题12分，共24分）
21．（12分）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点A和点C（3，2），与x轴的正半轴相交于点B．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OC，若点C为线段AB的中点，求△AOC的面积．
【解答】解：（1）∵点C（3，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴＝2，
解得：k＝6；
（2）∵点C（3，2）是线段AB的中点，
∴点A的纵坐标为4，
∴点A的横坐标为：＝，
∴点A的坐标为（，4），
设直线AC的解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+6，
当y＝0时，x＝，
∴OB＝，
∵点C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝S△AOB＝×××4＝．
22．（12分）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．
【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，
∴AD＝AE•tan60°＝3（米），
∴灯管支架底部距地面高度AD的长为3米；
（2）延长FC交AB于点G，
∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，
∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，
∵∠GDC＝60°，
∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，
∴△DGC是等边三角形，
∴DC＝DG，
∵AE＝3米，EF＝8米，
∴AF＝AE+EF＝11（米），
在Rt△AFG中，AG＝AF•tan30°＝11×＝（米），
∴DC＝DG＝AG﹣AD＝﹣3＝≈1.2（米），
∴灯管支架CD的长度约为1.2米．
五、（本题12分）
23．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，，
∴∠CAF＝∠OAF，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∴∠C＝∠OFD，
∵AC⊥CD，∠C＝90°＝∠OFD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是直径，∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，∠AFO＝90°﹣∠OFB＝∠DFB，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG＝．
六、（本题12分）
24．（12分）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得y＝12﹣2（x﹣4）＝﹣2x+20（4≤x≤5.5），
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式y＝﹣2x+20，
自变量x的取值范围是4≤x≤5.5；
（2）设每天获得的利润为W千元，根据题意得w＝（﹣2x+20）（x﹣2）＝﹣2x2+24x﹣40＝﹣2（x﹣6）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＜6，w随x的增大而增大．
∵4≤x≤5.5，
∴当x＝5.5时，w有最大值，最大值为﹣2×（5.5﹣6）2+32＝31.5，
∴将批发价定为5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
七、（本题12分）
25．（12分）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
【解答】解：（1）由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）BE＝，BE⊥DG，理由如下：
由（1）得：∠BAE＝∠DAG，
∵＝＝2，
∴△BAE∽△DAG，
∴，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图，
当B在线段BD上时，
作AH⊥BD于H，
∵tan∠ABD＝，
∴设AH＝2x，BH＝x，
在Rt△ABH中，
x2+（2x）2＝（）2，
∴BH＝1，AH＝2，
在Rt△AEH中，
∵tan∠AEB＝，
∴，
∴EH＝AH＝2，
∴BE＝BH+EH＝3，
∵BD＝＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，
由（2）得：，DG⊥BE，
∴DG＝2BE＝6，
∴S△BEG＝＝＝9，
在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，
∴DM＝GM＝，
∵NM＝NM，
∴△DMN≌△GMN（SSS），
∵MN是△BEG的中位线，
∴MN∥BE，
∴△BEG∽△MNG，
∴＝（）2＝，
∴S△MND＝S△MNG＝S△BEG＝，
如图，
同上可得：BE＝EH﹣BH＝2﹣1＝1，
DG＝2BE＝2，
∴＝1，
∴S△BEG＝，
综上所述：△DMN的面积是或．
八、（本题14分）
26．（14分）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：
如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，
∵C（0，4），D是OC的中点，
∴E（0，1），
当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，
2x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴P（，1），
∴OD≠PD，
∴△POD不可能是等边三角形；
（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，
分两种情况：
①如图2，△CMP∽△BMH，
∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴＝＝＝＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t1＝0，t2＝1，
∴P（1，4）；
②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，
过点P作PE⊥y轴于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝，
∴P（，）；
综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．
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