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2023年山东省济宁市汶上县中考数学一模试卷
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这是一份2023年山东省济宁市汶上县中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省济宁市汶上县中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．
1．（3分）2023的相反数是（ ）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．（3分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成㩆．其中中国高铁运营里程超40000000米．则数据40000000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.4×108 B．4×107 C．4.0×108 D．4×106
3．（3分）一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．四棱锥
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a4•a2＝a6 D．a3+a3＝a6
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．3 B．﹣10 C．0 D．10
7．（3分）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
8．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）把x2﹣4因式分解为 ．
12．（3分）为落实“双减”政策，济宁市某初中学校对学生的课外作业的时长进行了问卷调查．其中将抽查到的15名同学的作业时长统计如表，则这组数据的众数是 ．
作业时长（单位：分钟
50
60
70
80
90
人数（单位：人）
1
4
6
2
2
13．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12，BC＝5，则圆形镜面的直径为 ．
14．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则CP的长为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共55分.
16．（5分）计算：|﹣3|﹣4cos30°+．
17．（8分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．在中国共青团成立一百周年之际，我县各中小持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全县范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）陈杰和刘慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
18．（6分）如图，为测量某大楼CD顶部广告牌DE的高度，在距离大楼30m的A处用测角仪器测得∠DAC＝30°；从A处向大楼方向走10m到达B处，测得∠EBC＝48°．已知测角仪器的高度忽略不计，求广告牌DE的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
19．（7分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．
21．（10分）【问题呈现】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE，求的值；
【拓展提升】
（3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，连接BD，CE，直接写出的值．
22．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）：
（1）求此抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；
（3）如图2，连接BD，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标．
2023年山东省济宁市汶上县中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．
1．（3分）2023的相反数是（ ）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
2．（3分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成㩆．其中中国高铁运营里程超40000000米．则数据40000000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.4×108 B．4×107 C．4.0×108 D．4×106
【解答】解：40000000＝4×107．
故选：B．
3．（3分）一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．四棱锥
【解答】解：根据主视图和左视图都是长方形，判定该几何体是个柱体，
∵俯视图是个圆，
∴判定该几何体是个圆柱．
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a4•a2＝a6 D．a3+a3＝a6
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、a4•a2＝a6，故C符合题意；
D、a3+a3＝2a3，故D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝4，
故选：A．
6．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．3 B．﹣10 C．0 D．10
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故选：C．
7．（3分）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
【解答】解：连接AP，A1P．
∵线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，
∴A的对应点为A1，
∴∠APA1＝90°，
∴旋转角为90°，
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C1点的坐标为（﹣2，3），
故选：A．
8．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解连接AO，BO，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，
∵DC＝12，
∴AO＝6，
∴OP＝10，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠ADB＝∠AOC，
∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．
故选：A．
9．（3分）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示，当E和B重合时，AD＝AB﹣DB＝3﹣2＝1，
∴当△DEF移动的距离为0≤x≤1时，△DEF在△ABC内，y＝S△DEF＝＝，
当E在B的右边时，如图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N作NM垂直于AE，垂足为M，
根据题意得AD＝x，AB＝3，
∴DB＝AB﹣AD＝3﹣x，
∵∠NDB＝60°，∠NBD＝60°，
∴△NDB是等边三角形，
∴DN＝DB＝NB＝3﹣x，
∵NM⊥DB，
∴，
∵NM2+DM2＝DN2，
∴，
∴，
∴，
∴当1≤x≤3时，y是一个关于x的二次函数，且开口向上，
故选：C．
10．（3分）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故选：D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）把x2﹣4因式分解为 （x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
12．（3分）为落实“双减”政策，济宁市某初中学校对学生的课外作业的时长进行了问卷调查．其中将抽查到的15名同学的作业时长统计如表，则这组数据的众数是 70 ．
作业时长（单位：分钟
50
60
70
80
90
人数（单位：人）
1
4
6
2
2
【解答】解：这15名同学的作业时长中70分钟出现的次数最多，故众数是70．
故答案为：70．
13．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12，BC＝5，则圆形镜面的直径为 ．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC＝＝＝13，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
14．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．
【解答】解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，
设C点坐标为（a，），
作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y＝（k≠0）的图象经过点B，
∴k＝3a•＝3，
故答案为：3．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则CP的长为 或或6 ．
【解答】解：若△APE是直角三角形，有以下三种情况：
①如图1，∠AEP＝90°，
∴∠AED+∠CEP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠CEP+∠CPE＝90°，
∴∠AED＝∠CPE，
∴△ADE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴CP＝；
②如图2，∠PAE＝90°，
∵∠DAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAP＝90°，
∴∠DAE＝∠BAP，
∵∠D＝∠ABP＝90°，
∴△ADE∽△ABP，
∴＝，即＝，
∴BP＝，
CP＝BP+BC＝；
③如图3，∠APE＝90°，设BP＝x，则PC＝12﹣x，
同理得：△ABP∽△PCE，
∴＝，即＝，
∴x1＝x2＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝BC﹣BP＝6；
综上，BP的长是或或6．
故答案为：或或6．
三、解答题：本大题共7个小题，共55分.
16．（5分）计算：|﹣3|﹣4cos30°+．
【解答】解：|﹣3|﹣4cos30°+
＝3﹣4×+2+3
＝3﹣2+2+3
＝6．
17．（8分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．在中国共青团成立一百周年之际，我县各中小持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全县范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共抽取了 200 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）陈杰和刘慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷＝200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为＝．
18．（6分）如图，为测量某大楼CD顶部广告牌DE的高度，在距离大楼30m的A处用测角仪器测得∠DAC＝30°；从A处向大楼方向走10m到达B处，测得∠EBC＝48°．已知测角仪器的高度忽略不计，求广告牌DE的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
【解答】解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，
∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10（米），
∵AB＝10米，
∴BC＝AC﹣AB＝20（米），
在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，
∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），
∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈4.9（米），
∴广告牌ED的高度约为4.9米．
19．（7分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【解答】解：（1）如图：
∵BC＝x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD＝2x，
∴BD＝3x，AB＝CF＝DE＝（24﹣BD）＝8﹣x，
依题意得：3x（8﹣x）＝36，
解得：x1＝2，x2＝6（不合题意，舍去），
答：此时x的值为2m．
（2）设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S＝3x（8﹣x）＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵﹣3＜0，
∴x＜4时，S随着x的增大而减少，
∴当x＝时，S有最大值，最大值为（m2）．
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵BC＝BC，
∴∠A＝∠D，
又∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠D+∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A＝∠D，AC＝2BC，
∴tanA＝tanD，
即，
∴CD＝2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝4，
∴（2CE）2+CE2＝（4）2，
解得CE＝4，
即线段CE的长为4．
21．（10分）【问题呈现】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE，求的值；
【拓展提升】
（3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，连接BD，CE，直接写出的值．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD．
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝，
设AB＝x，则BC＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝x，
∴＝＝＝；
（3）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝＝，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝．
22．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）：
（1）求此抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；
（3）如图2，连接BD，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，
∴（4+3）（4﹣a）＝0，
解得a＝4，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣3，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
当y＝0时，x＝4或﹣3；
∵A点在x轴左半轴，
∴A（﹣3，0）；
（2）在y＝（x+3）（x﹣4）中，令y＝0，得x＝﹣3或4，
∴A（﹣3，0），OA＝3，
∵OC＝OB＝4，
∴C（0，4），
∵AE＝1，
∴DE＝AE•tan∠CAO＝AE＝，OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
∴E（﹣2，0），
∵DE⊥x轴，
∴xP＝xD＝xE＝﹣2，
∴yP＝（﹣2+3）（﹣2﹣4）＝﹣，
∴PE＝，
∴DP＝DE+PE＝+＝；
（3）①如图2，连接DG交AB于点M，
∵△BCD与△BFG关于x轴对称，
∴DG⊥AB，DM＝GM，
设OM＝b（b＞0），则AM＝OA﹣OM＝3﹣b，
MG＝MD＝AM•tan∠CAO＝（3﹣b），
∴G（﹣b，（b﹣3）），
∵点G（﹣b，（b﹣3））在抛物线y＝（x+3）（x﹣4）上，
∴（﹣b+3）（﹣b﹣4）＝（b﹣3），
解得b＝或3（舍去），
∴G（﹣，﹣）．
2023年山东省济宁市汶上县中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．
1．（3分）2023的相反数是（ ）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．（3分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成㩆．其中中国高铁运营里程超40000000米．则数据40000000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.4×108 B．4×107 C．4.0×108 D．4×106
3．（3分）一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．四棱锥
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a4•a2＝a6 D．a3+a3＝a6
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．3 B．﹣10 C．0 D．10
7．（3分）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
8．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）把x2﹣4因式分解为 ．
12．（3分）为落实“双减”政策，济宁市某初中学校对学生的课外作业的时长进行了问卷调查．其中将抽查到的15名同学的作业时长统计如表，则这组数据的众数是 ．
作业时长（单位：分钟
50
60
70
80
90
人数（单位：人）
1
4
6
2
2
13．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12，BC＝5，则圆形镜面的直径为 ．
14．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则CP的长为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共55分.
16．（5分）计算：|﹣3|﹣4cos30°+．
17．（8分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．在中国共青团成立一百周年之际，我县各中小持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全县范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）陈杰和刘慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
18．（6分）如图，为测量某大楼CD顶部广告牌DE的高度，在距离大楼30m的A处用测角仪器测得∠DAC＝30°；从A处向大楼方向走10m到达B处，测得∠EBC＝48°．已知测角仪器的高度忽略不计，求广告牌DE的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
19．（7分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．
21．（10分）【问题呈现】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE，求的值；
【拓展提升】
（3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，连接BD，CE，直接写出的值．
22．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）：
（1）求此抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；
（3）如图2，连接BD，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标．
2023年山东省济宁市汶上县中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．
1．（3分）2023的相反数是（ ）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
2．（3分）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成㩆．其中中国高铁运营里程超40000000米．则数据40000000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.4×108 B．4×107 C．4.0×108 D．4×106
【解答】解：40000000＝4×107．
故选：B．
3．（3分）一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．四棱锥
【解答】解：根据主视图和左视图都是长方形，判定该几何体是个柱体，
∵俯视图是个圆，
∴判定该几何体是个圆柱．
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a4•a2＝a6 D．a3+a3＝a6
【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、a4•a2＝a6，故C符合题意；
D、a3+a3＝2a3，故D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若S△ADE＝1，则S△ABC＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵S△ADE＝1，
∴S△ABC＝4，
故选：A．
6．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．3 B．﹣10 C．0 D．10
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故选：C．
7．（3分）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3）
【解答】解：连接AP，A1P．
∵线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，
∴A的对应点为A1，
∴∠APA1＝90°，
∴旋转角为90°，
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C1点的坐标为（﹣2，3），
故选：A．
8．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解连接AO，BO，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，
∵DC＝12，
∴AO＝6，
∴OP＝10，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∴，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠ADB＝∠AOC，
∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．
故选：A．
9．（3分）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示，当E和B重合时，AD＝AB﹣DB＝3﹣2＝1，
∴当△DEF移动的距离为0≤x≤1时，△DEF在△ABC内，y＝S△DEF＝＝，
当E在B的右边时，如图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N作NM垂直于AE，垂足为M，
根据题意得AD＝x，AB＝3，
∴DB＝AB﹣AD＝3﹣x，
∵∠NDB＝60°，∠NBD＝60°，
∴△NDB是等边三角形，
∴DN＝DB＝NB＝3﹣x，
∵NM⊥DB，
∴，
∵NM2+DM2＝DN2，
∴，
∴，
∴，
∴当1≤x≤3时，y是一个关于x的二次函数，且开口向上，
故选：C．
10．（3分）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故选：D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）把x2﹣4因式分解为 （x+2）（x﹣2） ．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
12．（3分）为落实“双减”政策，济宁市某初中学校对学生的课外作业的时长进行了问卷调查．其中将抽查到的15名同学的作业时长统计如表，则这组数据的众数是 70 ．
作业时长（单位：分钟
50
60
70
80
90
人数（单位：人）
1
4
6
2
2
【解答】解：这15名同学的作业时长中70分钟出现的次数最多，故众数是70．
故答案为：70．
13．（3分）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12，BC＝5，则圆形镜面的直径为 ．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC＝＝＝13，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
14．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．
【解答】解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，
设C点坐标为（a，），
作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y＝（k≠0）的图象经过点B，
∴k＝3a•＝3，
故答案为：3．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则CP的长为 或或6 ．
【解答】解：若△APE是直角三角形，有以下三种情况：
①如图1，∠AEP＝90°，
∴∠AED+∠CEP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠CEP+∠CPE＝90°，
∴∠AED＝∠CPE，
∴△ADE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴CP＝；
②如图2，∠PAE＝90°，
∵∠DAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAP＝90°，
∴∠DAE＝∠BAP，
∵∠D＝∠ABP＝90°，
∴△ADE∽△ABP，
∴＝，即＝，
∴BP＝，
CP＝BP+BC＝；
③如图3，∠APE＝90°，设BP＝x，则PC＝12﹣x，
同理得：△ABP∽△PCE，
∴＝，即＝，
∴x1＝x2＝6，
∴BP＝6，
∴CP＝BC﹣BP＝6；
综上，BP的长是或或6．
故答案为：或或6．
三、解答题：本大题共7个小题，共55分.
16．（5分）计算：|﹣3|﹣4cos30°+．
【解答】解：|﹣3|﹣4cos30°+
＝3﹣4×+2+3
＝3﹣2+2+3
＝6．
17．（8分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．在中国共青团成立一百周年之际，我县各中小持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全县范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共抽取了 200 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）陈杰和刘慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷＝200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为＝．
18．（6分）如图，为测量某大楼CD顶部广告牌DE的高度，在距离大楼30m的A处用测角仪器测得∠DAC＝30°；从A处向大楼方向走10m到达B处，测得∠EBC＝48°．已知测角仪器的高度忽略不计，求广告牌DE的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
【解答】解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，
∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10（米），
∵AB＝10米，
∴BC＝AC﹣AB＝20（米），
在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，
∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），
∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈4.9（米），
∴广告牌ED的高度约为4.9米．
19．（7分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【解答】解：（1）如图：
∵BC＝x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD＝2x，
∴BD＝3x，AB＝CF＝DE＝（24﹣BD）＝8﹣x，
依题意得：3x（8﹣x）＝36，
解得：x1＝2，x2＝6（不合题意，舍去），
答：此时x的值为2m．
（2）设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S＝3x（8﹣x）＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵﹣3＜0，
∴x＜4时，S随着x的增大而减少，
∴当x＝时，S有最大值，最大值为（m2）．
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵BC＝BC，
∴∠A＝∠D，
又∵∠DEC＝∠ABC，
∴∠D+∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A＝∠D，AC＝2BC，
∴tanA＝tanD，
即，
∴CD＝2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，DE＝4，
∴（2CE）2+CE2＝（4）2，
解得CE＝4，
即线段CE的长为4．
21．（10分）【问题呈现】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE，求的值；
【拓展提升】
（3）如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，连接BD，CE，直接写出的值．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD．
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
∴△ADB∽△AEC，
∴＝，
设AB＝x，则BC＝x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝x，
∴＝＝＝；
（3）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝＝，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝．
22．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）：
（1）求此抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；
（3）如图2，连接BD，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，
∴（4+3）（4﹣a）＝0，
解得a＝4，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣3，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
当y＝0时，x＝4或﹣3；
∵A点在x轴左半轴，
∴A（﹣3，0）；
（2）在y＝（x+3）（x﹣4）中，令y＝0，得x＝﹣3或4，
∴A（﹣3，0），OA＝3，
∵OC＝OB＝4，
∴C（0，4），
∵AE＝1，
∴DE＝AE•tan∠CAO＝AE＝，OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
∴E（﹣2，0），
∵DE⊥x轴，
∴xP＝xD＝xE＝﹣2，
∴yP＝（﹣2+3）（﹣2﹣4）＝﹣，
∴PE＝，
∴DP＝DE+PE＝+＝；
（3）①如图2，连接DG交AB于点M，
∵△BCD与△BFG关于x轴对称，
∴DG⊥AB，DM＝GM，
设OM＝b（b＞0），则AM＝OA﹣OM＝3﹣b，
MG＝MD＝AM•tan∠CAO＝（3﹣b），
∴G（﹣b，（b﹣3）），
∵点G（﹣b，（b﹣3））在抛物线y＝（x+3）（x﹣4）上，
∴（﹣b+3）（﹣b﹣4）＝（b﹣3），
解得b＝或3（舍去），
∴G（﹣，﹣）．
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