2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺《矩形、菱形与正方形》(提高版)（含答案）

2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺

《矩形、菱形与正方形》(提高版)

一              、选择题

1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是(　　)

A.2＋        B.2＋2        C.12        D.18

2.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为(      )平方厘米

A.50                                   B.50或40    C.50或40或30                                   D.50或30或20

3.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则AD：AB的值为(　　)

A.      B.       C.      D.

4.如图，在菱形ABCD中，AB＝13，对角线AC＝10，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(     )

A.8      B.      C.     D.

5.如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是(　　     )

A.8        B.16           C.8       D.16

6.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（       ）

A.          B.         C.        D.

7.如图，在正方形ABCD 中，AB＝3，点E，F分别在CD、AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G，若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为(　　) 

A.7          B.＋3          C.8          D.＋3

8.如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为(　　)

A.()n﹣1                   B.2n﹣1             C.()n                       D.2n

二              、填空题

9.如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．

10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　　．

11.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD.

则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．

其中正确的是        (只填写序号)

12.把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处(如图二)．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为______．
 

13.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为　   　.

14.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝　   　.

三              、解答题

15.在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF．

求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE=BF+EF．

16.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F.

(1)求证：四边形AECF为菱形；

(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；

(3)在(2)的条件下折痕EF的长．

17.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ.

(1)当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；

(2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

18.如图，已知O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．

(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？

(2)在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；

(3)△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标(不必写过程)．

19.如图(1)，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．

(1)求证：△ABD≌△FBC；

(2)如图(2)，求证：AM2＋MF2＝AF2．

20.如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．

(1)求证：∠HEA＝∠CGF；

(2)当AH＝DG＝2时，求证：菱形EFGH为正方形；

(3)设AH＝x，DG＝2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．

参考答案

1.B.

2.C

3.B.

4.C.

5.A.

6.C

7.D.

8.B.

9.答案为：4.

10.答案为：2.4.

11.答案为：①②③④．

12.答案为：28.8.

13.答案为：.

14.答案为：.

15.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，AD∥BC，

∴∠BOA=∠DAE，

∵∠ABC=∠AED，

∴∠BAF=∠ADE，

∵∠ABF=∠BPF，∠BPA=∠DAE，

∴∠ABF=∠DAE，

∵AB=DA，

∴△ABF≌△DAE(ASA)；

(2)∵△ABF≌△DAE，

∴AE=BF，DE=AF，

∵AF=AE+EF=BF+EF，

∴DE=BF+EF．

16.证明：(1)∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC＝∠ECA，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
(2)①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2＋AB2＝AE2，
∴(8﹣x)2＋42＝x2，解得x＝5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，AC＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOE中，AE＝，OE＝，
∴EF＝2OE＝2．

17.解：(1)当△CDQ≌△CPQ时，DQ＝PQ，CP＝CD＝5，

在Rt△BCP中，有PB＝4，∴AP＝1.

在Rt△APQ中，设AQ＝x，则PQ＝DQ＝3－x.

根据勾股定理，得AQ2＋AP2＝PQ2，

即x2＋12＝(3－x)2.解得x＝，

即AQ＝.

(2)过M作EF⊥CD于F，交AB于点E，则EF⊥AB.

∵MD⊥MP，

∴∠PMD＝90°.

∴∠PME＋∠DMF＝90°.

∵∠FDM＋∠DMF＝90°，

∴∠MDF＝∠PME.

∵M是QC的中点，

∴DM＝PM＝QC.

在△MDF和△PME中，

∴△MDF≌△PME(AAS)．

∴ME＝DF，PE＝MF.

∵EF⊥CD，AD⊥CD，

∴EF∥AD.

∵QM＝MC，

∴DF＝CF＝DC＝2.5，

∴ME＝2.5，FM＝3﹣2.5＝0.5.

∵FM是△CDQ的中位线，

∴DQ＝1.

∴AQ＝3－1＝2.

18.解：(1)∵四边形PODB是平行四边形，

∴PB＝OD＝5，

∴PC＝5，

∴t＝5；

(2)∵四边形ODQP为菱形，

∴OD＝OP＝PQ＝5，

∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝3

∴t＝3；

(3)当P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝3，

P2O＝P2D时，作P2E⊥OA，

∴OE＝ED＝2.5；

当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F＝3，

∴P3C＝2；

当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG＝3，

∴OG＝8．

∴P1(3，4)，P2(2.5，4)，P3(2，4)，P4(8，4)．

19.解：(1)∵四边形ABFG、BCED是正方形，

∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，

∴∠ABF＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠ABD＝∠CBF，

在△ABD和△FBC中，

，

∴△ABD≌△FBC(SAS)；

(2)∵△ABD≌△FBC，

∴∠BAD＝∠BFC，

∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC＋∠BNF)＝180°﹣90°＝90°，

∴AM2＋MF2＝AF2．

20.证明：(1)过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，

∵CD∥AB，

∴∠AEG＝∠MGE，

∵GF∥HE，

∴∠HEG＝∠FGE，

∴∠AEH＝∠FGM；

(2)证明：在△HDG和△AEH中，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠A＝90°，

∵四边形EFGH是菱形，

∴HG＝HE，

在Rt△HDG和△AEH中，

HG＝HE，DG＝AH，

∴Rt△HDG≌△AEH(HL)，

∴∠DHG＝∠AEH，

∴∠DHG＋∠AHE＝90°

∴∠GHE＝90°，

∴菱形EFGH为正方形；

(3)解：过F作FM⊥CD于M，

在△AHE与△MFG中，

∠A＝∠M＝90°,∠AEH＝∠FGM，HE＝FG，

∴△AHE≌△MFG，

∴MF＝AH＝x，

∵DG＝2x，

∴CG＝6﹣2x，

∴y＝CG•FM＝•x•(6﹣2x)＝﹣(x﹣)2＋，

∵a＝﹣1＜0，

∴当x＝时，y最大＝．