北师大版八年级下册4 分式方程随堂练习题

这是一份北师大版八年级下册4 分式方程随堂练习题，共17页。试卷主要包含了关于x的方程，解方程等内容，欢迎下载使用。

基础过关全练
知识点1 分式方程的概念
1.(2022河南郸城第二实验中学检查)关于x的方程:
①x2-x-13=6;②x900=500x-30;③x3+1=32x;④a2x=1x;⑤320x-400x=4.
其中分式方程有 (填序号).
知识点2 解分式方程
2.若关于x的分式方程3x+1x+1-1=mx+1的解为x=3,则常数m的值为( )
A.6 B.-1
C.0 D.-2
3.(2022重庆南岸期末)解分式方程x-1x-2=1-1x的过程如下:
解:方程两边都乘x(x-2),
得x(x-1)=x(x-2)-1①,
去括号,得x2-x=x2-2x-1②,
解这个方程,得x=1③,
检验:将x=1代入x(x-2)得x(x-2)≠0,所以x=1是原方程的根④.
以上解答过程中,开始出错的一步是( )
A.① B.② C.③ D.④
4.(2022内蒙古包头一模)若关于x的分式方程3xx-1=m1-x+2的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m>-2 B.m>-2且m≠1
C.m<-2 D.m<-2且m≠-3
5.【一题多变】(2022安徽合肥瑶海期末)若关于x的分式方程x-3x-1=2+mx-1有增根,则m= .
[变式] 若关于x的分式方程x-3x-1=2m+mx-1无解,则m= .
6.(2022江苏无锡江阴期末)解方程:
(1)2x+3=5x; (2)x+1x-1-4x2-1=1.
7.【教材变式·P128习题T2变式】小明解方程x-2x-3-2=3x-103-x的过程如下:
第一步:整理,得x-2x-3-2=10-3xx-3,
第二步:两边都乘(x-3),得 x-2-2=10-3x,
第三步:…….
(1)请你说明第一步变化过程的依据是 ;
(2)指出第二步中的错误;
(3)补充完正确的过程.
知识点3 列分式方程解决实际问题
8.【教材变式·P129随堂练习变式】为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种植480棵树.由于青年志愿者的加入,每日比原计划多种13,结果提前4天完成任务.设志愿者加入后每天种树x棵,则所列方程为( )
A.480x-48043x=4 B.48043x-480x=4
C.480x-48034x=4 D.48034x-480x=4
9.2022年3月23日,“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了,精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某中学为满足学生的需求,充实物理兴趣小组的实验项目,决定购入A、B两款物理实验套装,其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍,用9 900元购买的A款套装数量比用7 500元购买的B款套装数量多5套.求A、B两款套装的单价分别是多少元.
10.【新独家原创】某校开办了了解中医药的校本课程,一次课上,老师让甲、乙两个小组识别同样数量的中药,甲小组认对了36种,乙小组认对了38种,乙小组的正确率比甲小组高5%,求乙小组的正确率.
11.【跨学科·体育】(2022广西贵港中考)为了加强学生的体育锻炼,某班计划购买部分绳子和实心球,已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元,且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同.
(1)绳子和实心球的单价各是多少元?
(2)如果本次购买的总费用为510元,且购买绳子的数量是实心球数量的3倍,那么购买绳子和实心球的数量各是多少?
能力提升全练
12.【跨学科·物理】(2022湖北恩施州中考,8,)一艘轮船在静水中的速度为30 km/h,它沿江顺流航行144 km与逆流航行96 km所用时间相等,江水的流速为多少?设江水流速为v km/h,则符合题意的方程是( )
A.14430+v=9630-v B.14430-v=96v
C.14430-v=9630+v D.144v=9630+v
13.(2022广西北部湾经济区中考,10,)《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如图,它的局部画面装裱前是一个长为2.4米,宽为1.4米的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米,根据题意可列方程为( )
B.1.4+x2.4+x=813
D.1.4+2x2.4+2x=813
14.(2022四川遂宁中考,6,)若关于x的方程2x=m2x+1无解,则m的值为( )
A.0 B.4或6
C.6 D.0或4
15.(2022重庆中考B卷,11,)关于x的分式方程3x-ax-3+x+13-x=1的解为正数,且关于y的不等式组y+9≤2(y+2),2y-a3>1的解集为y≥5,则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A.13 B.15
C.18 D.20
16.(2022北京中考,11,)方程2x+5=1x的解为 .
17.【新考法】(2022浙江台州中考,15,)如图的解题过程中,第①步出现错误,但最后所求的值是正确的,则图中被污染的x的值是 .
18.(2022浙江宁波中考,14,)定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,a?b=1a+1b.若(x+1)?x=2x+1x,则x的值为 .
19.(2022陕西渭南富平期末,16,)解方程:2-2yy+1=3y-1.
20.(2022黑龙江大庆中考,21,)某工厂生产某种零件,由于技术上的改进,现在平均每天比原计划多生产20个零件,现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同.求现在平均每天生产多少个零件.
21.(2022内蒙古赤峰中考,22,)某学校建立了劳动基地,计划在基地上种植A、B两种苗木共6 000株,其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株.
(1)请问A、B两种苗木各多少株?
(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木,每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株,应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木,才能确保同时完成任务?
22.【跨学科·劳动】【新素材·新课标】(2022河南中考,20,)教育部印发了《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版),将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动,开辟了一处耕种园,需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解,市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍,用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格;
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元,学校决定在菜苗基地购买A,B两种菜苗共100捆,且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数,菜苗基地为支持该校活动,对A,B两种菜苗均提供九折优惠,求本次购买最少花费多少钱.
素养探究全练
23.【推理能力】(2022浙江宁波宁海期末)我们把形如x+abx=a+b(a,b不为零),且两个解分别为x1=a,x2=b的方程称为“十字分式方程”.
例如x+3x=4为十字分式方程,可化为x+1×3x=1+3,且x1=1,x2=3.
再如x+8x=-6为十字分式方程,可化为x+(-2)×(-4)x=(-2)+(-4),且x1=-2,x2=-4.
应用上面的结论解答下列问题:
(1)若x+6x=-5为十字分式方程,则x1= ,x2= .
(2)若十字分式方程x-5x=-2的两个解分别为x1=m,x2=n,求nm+mn的值.
(3)若关于x的十字分式方程x-2k2+3kx-2=-k-1的两个解分别为x1,x2(k>0,x1>x2),求x1-2x2+1的值.
24.【模型观念】(2022湖南怀化中考)去年防洪期间,某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣(单位:件)和雨鞋(单位:双),其中购买雨衣用了400元,购买雨鞋用了350元,已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元.
(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元.
(2)为支持今年防洪工作,该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%,并按套(即一件雨衣和一双雨鞋为一套)优惠销售.优惠方案为:若一次购买不超过5套,则每套打九折;若一次购买超过5套,则前5套打九折,超过部分每套打八折.设今年该部门购买了a套,购买费用为W元,请写出W关于a的函数关系式.
(3)在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套?
答案全解全析
基础过关全练
1.答案 ②④⑤
解析 根据分式方程的定义可知②④⑤是分式方程.
2.A 把x=3代入方程得9+13+1-1=m3+1,
解得m=6,故选A.
3.A x-1x-2=1-1x,方程两边都乘x(x-2),得x(x-1)=x(x-2)-(x-2),∴开始出错的一步是①,故选A.
4.D 3xx-1=-mx-1+2,去分母得3x=-m+2(x-1),整理,得x=-m-2.∵方程的解为正数,∴-m-2>0且-m-2≠1.∴m<-2且m≠-3.故选D.
5.答案 -2
解析 去分母,得x-3=2(x-1)+m,
由分式方程有增根,得x-1=0,即x=1,
把x=1代入x-3=2(x-1)+m,解得m=-2.
故答案为-2.
[变式] 答案 -2或12
解析 去分母,得x-3=2m(x-1)+m①,
当分式方程有增根时,此分式方程无解,此时x=1,
把x=1代入①得1-3=m,解得m=-2;
将①整理得(2m-1)x=m-3,
当2m-1=0,即m=12时,①无解.
综上,当m=-2或12时,原分式方程无解.
6.解析 (1)去分母得2x=5(x+3),
解得x=-5,
检验:把x=-5代入x(x+3),得x(x+3)=-5×(-5+3)≠0,
∴分式方程的解为x=-5.
(2)去分母得(x+1)2-4=x2-1,
解得x=1,
检验:把x=1代入x2-1,得x2-1=0,
∴x=1是增根,故分式方程无解.
7.解析 (1)分式的基本性质.
(2)等式左边的常数项漏乘(x-3).
(3)方程两边同乘(x-3)得x-2-2(x-3)=10-3x,
去括号,得x-2-2x+6=10-3x,
移项,得x-2x+3x=10-6+2,
合并同类项,得2x=6,
系数化为1,得x=3,
检验:当x=3时,x-3=0,
∴x=3是原方程的增根,
∴原分式方程无解.
8.D 根据题意列分式方程为48034x-480x=4.故选D.
9.解析 设B款套装的单价是x元,则A款套装的单价是1.2x元,由题意得9 9001.2x=7 500x+5,解得x=150,经检验,x=150是原方程的解,且符合题意,∴1.2x=180.
答:A款套装的单价是180元,B款套装的单价是150元.
10.解析 设乙小组的正确率为x%,则甲小组的正确率为(x-5)%,根据题意得36(x-5)%=38x%,
解得x=95,
经检验,x=95是原方程的解,且符合题意.
答:乙小组的正确率为95%.
11.解析 (1)设绳子的单价为x元,则实心球的单价为(x+23)元,
根据题意,得84x=360x+23,解得x=7,
经检验,x=7是所列方程的解,且符合题意,
∴x+23=30.
答:绳子的单价为7元,实心球的单价为30元.
(2)设购买实心球的数量为m个,则购买绳子的数量为3m条,
根据题意,得7×3m+30m=510,
解得m=10,∴3m=30.
答:购买绳子的数量为30条,购买实心球的数量为10个.
能力提升全练
12.A 由题意可列方程为14430+v=9630-v,
故选A.
13.D 根据题意,得1.4+2x2.4+2x=813,
故选D.
14.D 方程两边同乘x(2x+1),得2(2x+1)=mx,
整理得(m-4)x=2,
当m-4=0时,分式方程无解,此时m=4.
当m-4≠0时,∵分式方程无解,∴x=0或2x+1=0,即x=0或x=-12,
当x=0时,x=2m-4=0无解;
当x=-12时,x=2m-4=-12,解得m=0.
综上,m的值为0或4.
故选D.
15.A 解分式方程得x=a-2.
∵分式方程的解为正数,∴a-2>0且a-2≠3,
∴a>2且a≠5,
由y+9≤2(y+2)得y≥5,
由2y-a3>1得y>3+a2.
∵不等式组y+9≤2(y+2),2y-a3>1的解集为y≥5,
∴3+a2<5,解得a<7.
综上可知,所有满足条件的整数a的值为3,4,6,
它们的和为13.
故选A.
16.答案 x=5
解析 2x+5=1x,
方程的两边同乘x(x+5),得2x=x+5,解得x=5,
检验:当x=5时,x(x+5)=50≠0.故原方程的解为x=5.
17.答案 5
解析 依题意得3-xx-4+1=-1,即3-xx-4+2=0,
去分母得3-x+2(x-4)=0,
去括号得3-x+2x-8=0,
解得x=5,
经检验,x=5是分式方程的解,
故答案为5.
18.答案 -12
解析 ∵a?b=1a+1b,
∴(x+1)x=1x+1+1x=x+1+xx(x+1)=2x+1x2+x,
又∵(x+1)?x=2x+1x,
∴2x+1x2+x=2x+1x,
∴(x2+x)(2x+1)-x(2x+1)=0,
∴(x2+x-x)(2x+1)=0,
∴x2(2x+1)=0,
易知x≠0,
∴2x+1=0,
解得x=-12,
经检验,x=-12是方程2x+1x2+x=2x+1x的解,
故答案为-12.
19.解析 去分母得2(y+1)(y-1)-2y(y-1)=3(y+1),
整理得2y2-2-2y2+2y=3y+3,
解得y=-5,
经检验,y=-5是分式方程的解.
20.解析 设现在平均每天生产x个零件,则原计划平均每天生产(x-20)个零件,
由题意得,800x=600x-20,
解得x=80,
经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意.
∴现在平均每天生产80个零件.
21.解析 (1)设A种苗木的数量是x株,B种苗木的数量是y株,
根据题意可得x+y=6 000,x=12y+600,
解得x=2 400,y=3 600.
答:A种苗木的数量是2 400株,B种苗木的数量是3 600株.
(2)设安排a人种植A种苗木,则安排(350-a)人种植B种苗木,
根据题意可得2 40050a=3 60030(350-a),
解得a=100,
经检验,a=100是原方程的解,且符合题意,
∴350-a=250.
答:安排100人种植A种苗木,250人种植B种苗木,才能确保同时完成任务.
22.解析 (1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元,
由题意得300x-30054x=3,
解得x=20,
经检验,x=20是原方程的解,且符合题意.
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元.
(2)设购买A种菜苗m捆,花费为y元,则购买B种菜苗(100-m)捆,
由题意可知0解得0∵y=[20m+30×(100-m)]×0.9,
∴y=-9m+2 700(0∵y随m的增大而减小
∴当m=50时,花费最少,
此时y=-9×50+2 700=2 250,
∴本次购买最少花费2 250元.
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23.解析 (1)x+6x=-5可化为x+(-2)×(-3)x=(-2)+(-3),∴x1=-2,x2=-3.
(2)由已知得mn=-5,m+n=-2,
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2-2mnmn=4+10-5=-145.
(3)原方程变为x-2-2k2+3kx-2=-k-3,
∴x-2+k(-2k-3)x-2=k+(-2k-3),
∵x1,x2为关于x的十字分式方程x-2k2+3kx-2=-k-1的两个解,且k>0,x1>x2,
∴x1-2=k,x2-2=-2k-3,
∴x1-2x2+1=k-2k=-12.
24.解析 (1)设每双雨鞋x元,则每件雨衣(x+5)元,由题意得400x+5=350x,解得x=35,
经检验,x=35是原分式方程的根,且符合题意.
∴x+5=40.
答:每件雨衣40元,每双雨鞋35元.
(2)当0≤a≤5时,W=(35+40)×(1-20%)×0.9a=54a,
当a>5时,W=(35+40)×(1-20%)×0.9×5+(35+40)×(1-20%)×0.8×(a-5)=48a+30.
综上,W=54a(0≤a≤5),48a+30(a>5).
(3)∵320>270,
∴购买的套数超过5,
∴48a+30≤320,
解得a≤14524≈6.042.
答:在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套.