数学七年级下册6.1 平方根精品当堂检测题

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

第六章  实数

6.1  平方根

1．算术平方根

（1）定义

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________．

（2）表示方法

a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数．

（3）算术平方根的性质

①正数a的算术平方根为；

②0的算术平方根是0，即=__________；

③负数__________算术平方根．

④算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0．

2．平方根

（1）平方根的概念

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根．

【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．

（2）平方根的性质

①一个正数a有__________个平方根，其中一个是“”，另一个为“-”，它们互为相反数；

②0的平方根是0；

③负数没有平方根．

（3）开平方的概念

求一个数a的平方根的运算，叫做__________．

（4）利用平方根的定义解方程

将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解．

3．平方根与算术平方根的区别

（1）定义不同；

（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；

（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示；

（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．

K知识参考答案：

1．（1）算术平方根（2）（3）0，没有2．（1）平方根（2）两（3）开平方

一、求平方根和算术平方根

若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．

【例1】9的算术平方根是

A． B．-3 C．±3 D．3

【答案】D

【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．

【例2】（-2）2的算术平方根是

A．2 B．±2 C．-2 D．

【答案】A

【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．

【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．

【例3】25的平方根是

A．5 B．-5 C．± D．±5

【答案】D

【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D．

【例4】设a-3是一个数的算术平方根，那么

A．a≥0 B．a>0 C．a>3 D．a≥3

【答案】D

【解析】∵是一个数的算术平方根，∴，解得，故选D．

【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a的算术平方根．

【例5】下列说法正确的是

①–是2的一个平方根

②–4的算术平方根是2

③的平方根是±2

④0没有平方根

A．①②③ B．①④ C．①③ D．②③④

【答案】C

【解析】①–是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误；

③的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C．

【例6】求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】（1）=12．

（2）=-0.9．

（3）=．

（4）=56．

二、算术平方根非负性的应用

常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．

【例7】当式子的值取最小值时，a的取值为

A．0 B．− C．–1 D．1

【答案】B

【解析】∵2a+1≥0，∴当式子的值取最小值时，2a+1=0，

∴a的取值为–．故选B．

【例8】若实数x，y满足，则xy的值为__________．

【答案】

【解析】根据题意得：，解得，则xy=，故答案为：．

【例9】x、y是实数，+＝0，则xy=__________．

【答案】–6

【解析】由题意可知：x+2=0，y–3=0，∴x=–2，y=3，∴xy=–6，故答案为：–6．

三、利用平方根的知识解方程

先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解．

【例10】求下列各式中的x．

（1）x2=17；（2）=0．

【解析】（1）因为，

所以x=．

（2），

，

x=．

【例11】求下列各式中x的值：

（1）4（x-1）2-16=0；

（2）8（2x+1）3-1=0.

【解析】（1）4（x-1）2-16=0，

4（x-1）2=16，

（x-1）2=4，

x-1=±2，

x=-1或x=3．

（2）8（2x+1）2-1=0，

8（2x+1）2=1，

（2x+1）2=，

2x+1=±，

2x=-1±，

x=-或x=-+．

四、平方根和算术平方根定义和性质的综合运用

若一个数的平方根是它本身，则这个数是0；若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1．

【例12】若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的正数的平方根是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据一个正数的算术平方根是a，则这个正数为，则比这个数大3的正数的平方根是，故选C．

【例13】已知2a-1的平方根是±3，的算术平方根是b，求．

【解析】∵2a-1的平方根是±3，

∴2a-1=9，∴a=5，

∵的算术平方根是b，且=16，

即16的算术平方根是b，

∴b=4，∴==3．

【名师点睛】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，由平方根和算术平方根的定义得到2a-1=9，b=4是解题的关键．

【例14】已知9的算术平方根是a，b的平方是25，求ab的值．

【名师点睛】本题目是一道考查平方根和算术平方根的问题，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数．

1．1的平方根是

A． B． C．1 D．±1

2．若=3，则a的值为

A．3 B．±3 C． D．–3

3．的平方根是

A． B． C． D．

4．若一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是．

A．3 B．9 C．25 D．49

5．如果x是4的算术平方根，那么x的平方根是

A．4 B．2 C．± D．±4

6．估算＋的运算结果应在

A．3到4之间 B．4到5之间 

C．5到6之间 D．6到7之间

7．已知a为实数，那么等于

A．a B．-a C．-1 D．0

8．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为

A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1

9．x的算术平方根是2，y是36的算术平方根，则x+2y的平方根是__________．

10．若一个数的算术平方根是，则这个数是__________．

11．如果某数的一个平方根是-6，那么这个数的另一个平方根是__________，这个数是__________．

12．已知：若≈1.910，≈6.042，则≈__________．

13．一个正方形的面积是6平方厘米，则这个正方形的边长等于__________厘米．

14．求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）．

15．求下列各式中x的值：

（1）9x2–25=0；（2）2（x+1）2–32=0．

16．已知，求的平方根．

17．已知x，y是实数，且（y-2）2与互为相反数，求x2+y3的平方根．

18．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是

A．x+1 B．x2+1 C．+1 D．

19．估计+2的值

A．在2和3之间  B．在3和4之间

C．在4和5之间  D．在5和6之间

20．如果的小数部分为，的整数部分为，则=__________．

21．求下列代数式的值

（1）如果a2=4，b的算术平方根为3，求a+b的值．

（2）已知x是25的平方根，y是16的算术平方根，且x<y，求x–y的值．

22.（2018•铜仁市）9的平方根是

A．3 B．–3 C．3和–3 D．81

23.（2018•南京）的值等于

A． B．– C．± D．

24.（2018•杭州）下列计算正确的是

A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±2

25.（2018•贺州）4的平方根是

A．2 B．–2 C．±2 D．16

26.（2018•安顺）的算术平方根是

A．± B． C．±2 D．2

27.（2018•株洲）9的算术平方根是

A．3 B．9 C．±3 D．±9

28.（2018•济南）4的算术平方根是

A．2 B．–2 C．±2 D．

1．【答案】D

【解析】1的平方根是±1．故选D．

2．【答案】B

【解析】因为=3，所以a2=9，所以a=±3．故选B．

5．【答案】C

【解析】因为x是4的算术平方根，所以x=2，所以x的平方根=±，故选C．

6．【答案】C

【解析】9<15<16,3<<4，5<<6，故选C．

7．【答案】D

【解析】根据非负数的性质a2≥0，根据二次根式的意义，-a2≥0，故只有a=0时，有意义，所以，=0，故选D．

8．【答案】B

【解析】因为与是同一个数的平方根，所以，解得，故选B．

9．【答案】±4

【解析】∵=2，∴x=4．∵=6，∴y=6，∴±，故答案为：±4．

10．【答案】11

【解析】∵一个数的算术平方根是，∴这个数是11，故答案为：11．

11．【答案】6；36

【解析】∵某数的一个平方根是-6，∴这个数的另一个平方根为：6，这个数=，故答案为：6；36．

12．【答案】604.2

解析】若≈1.910，≈6.042，则≈604.2，故答案为：604.2．

13．【答案】4

【解析】设正方形的边长是x平方厘米，则x2=16，∵x>0，∴x=4，故答案为：4．

14．【解析】（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

15．【解析】（1）9x2–25=0，

x2=，

故x=±；

（2）2（x+1）2–32=0

则（x+1）2=16，

故x+1=±4，

解得：x=3或–5．

16．【解析】根据平方根的意义可得，

解得，

然后代入原式可得，

把代入，

所以的平方根是．

17．【解析】由题意得（y-2）2+=0，

∴y-2=0，2x+2=0，

∴x=-1，y=2，

∴x2+y3=9，

∴x2+y3的平方根为±3．

18．【答案】D

【解析】一个自然数的算术平方根是x，则这个自然数是，则它后面一个数的算术平方根是，

故选D．

19．【答案】C

【解析】∵<<，即2<<3，∴4<+2<5，故选C．

22.【答案】C

【解析】9的平方根是±3，故选C．

23.【答案】A

【解析】＝，故选A．

24.【答案】A

【解析】A、=2，故原题计算正确；

B、=2，故原题计算错误；

C、=4，故原题计算错误；

D、=4，故原题计算错误；

故选A．

25.【答案】C

【解析】∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故选C．

26.【答案】B

【解析】=2，2的算术平方根是．故选B．

27.【答案】A

【解析】∵32=9，∴9的算术平方根是3．故选A．

28.【答案】A

【解析】∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选A．