2023年浙江省宁波市江北区中考一模数学试题（含答案）

2022学年第二学期九年级学业质量检测（数学试题）

试题卷Ⅰ

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．在，，0，2这四个数中，最小的数是（    ）

A． B． C．0 D．2

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．“宁波地铁”发文称，2023年2月13日至6月30日，每天晚上8点后及法定节假日全天，宁波地铁1—5号线全线网皆可免费乘车，免费时段无需购票、刷卡、扫码，可直接进站乘车．2月17日，宁波地铁限时段免费后的首个周五，地铁客流量达到约107.6万人次．数107.6万用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．如图是某品牌的多功能笔筒，其俯视图为（    ）

A． B． C． D．

5．能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（    ）

A． B． C． D．

6．某鞋店对某款女鞋一周的销售情况进行统计，结果如下：

根据上表信息，该店主决定下周多进一些37码的鞋子，影响店主进货决策的统计量是（    ）

A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差

7．如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点．接着分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点．作射线，交于点．再以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（    ）

A． B． C． D．

8．《张丘建算经》是中国古代数学著作，其中提出了许多数学问题，比如：“今有甲乙怀钱各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍；乙得甲十钱，适等；问甲乙怀钱各几何？”可以理解为：甲乙两人各有一些钱，若乙给甲10元，则甲的钱比乙多5倍；若甲给乙10元，则两人的钱一样多．不妨设甲原有钱元，乙原有钱元，则可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

9．如图是由4个全等的大正方形和5个全等的小正方形组成的图形．若要求线段的长度，只需要知道顶点与正方形某个顶点之间的距离即可，这个点是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

10．已知抛物线经过，，三点，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则的值为（    ）

A． B．3 C． D．4

试题卷Ⅱ

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．______．

12．因式分解：______．

13．如图，小江，小北周末都在荪湖公园踏春．小江在三岔路口处，随意选择一条路准备出园，小江与在其中一条路上的景点处游玩的小北邂逅的概率是______．

14．如图，在中，分别以，为斜边在同侧作两个等腰直角与，若点是的重心，则______．

15．如图1，在中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后停止运动．设运动时间为，

的面积为，与的大致函数关系如图2所示．则当时，的值为______．

16．如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图象上，对角线交轴于点，，且的面积为15，则______；延长交轴于点，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）

17．（本题8分）（1）计算：．

（2）解不等式组：．

18．（本题8分）如图，下列3×4网格图均由12个相同的小正方形组成，每个网格图中有2个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．

（2）使得4个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．

请将以上两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形即可．

19．（本题8分）今天，4月20日恰逢24节气中的谷雨．播谷降雨，雨生百谷，这也是春季的最后一个节气．在古代，各地都有着不同的习俗活动来迎接与庆祝，有赏花、品茗、走谷雨（踏春）、洗桃花水（沐浴）、吃椿（香椿）等．为了了解学生最感兴趣的一项活动的人数分布情况，学校从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，并绘制了如下两幅统计图．

（1）请计算最感兴趣活动为“洗桃花水（沐浴）”的学生总人数，并补全条形统计图．

（2）请计算最感兴趣活动为“走谷雨（踏春）”的女生人数．

（3）男生最感兴趣活动中“洗桃花水（沐浴）”和“吃椿（香椿）”的人数相同吗？为什么？

20．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；

（2）根据图象直接写出满足当时，的取值范围．

21．（本题10分）桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．

（1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度．

（2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．

（参考数据：，，，，，精确到0.1米）

22．（本题12分）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且销售单价为18元/盒时，日销售纯利润为1180元．

（1）求乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式；

（2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗．端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客．在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元？

（3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．

23．（本题12分）

【基础巩固】

（1）如图1，在中，是的中点，是的一个三等分点，且．连结，交于点，则______；______．

【尝试应用】

（2）如图2，在中，为上一点，，，若，，，求的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在中，为上一点，为中点，与，分别交于点，，若，，，，求的长．

24．（本题14分）如图，等腰内接于，其中，点在上运动，，分别交、于点、，交于点．

（1）求证：．

（2）连结，当为的直径时，

①求证：．

②连结，若，求的值．

③连结，设，，请直接写出关于的函数表达式．

2022学年第二学期九年级学业质量检测（数学）

参考答案与评分参考

一、选择题（每小题4分，共40分）

9．方法一：如图，将平移至，易知为等腰直角三角形，∴．

方法二：设黑色正方形的边长为，白色正方形的边长为，则有

，，∴，即．

10．由可得：，两点关于对称轴对称．

∴，即抛物线解析式为．

由可得点在点的右侧，且有，即．

情况1：如图1，当点与点均在对称轴的左侧时，此时；

当时，二次函数取到最大值为；

当时，二次函数取到最小值为，∴，解得（舍去）．

情况2：如图2，当点与点在对称轴的两侧时，此时；到对称轴的水平距离为．到对称轴的距离为，当时，二次函数取到最大值为；当时，二次函数取到最小值为，∴，解得或（舍）．

综上，．

二、填空题（每小题5分，共30分）

15．四边形是平行四边形，∴，，

当时，如图，，，，

∴

当时，或（舍）

当时，，解得

∴或．

16．方法一：延长交轴于点，设，那么，，

∵，∴，∴中，，，∴，

∵，∴，∴

过作轴，则，即，∵，∴，即．

∵，∴，过点作于，易证，

∵，∴，，∴，联立得，∴

方法二：过作轴，延长交轴于点，设，那么，，

易证，∴．∵，∴．

∵，∴．∴．

（求点坐标同方法一）

三、解答题（本大题有8个小题，共80分）

17．（8分）解：（1）原式

或原式

（2）由①得，由②得，∴不等式组的解集为

18．（8分）（1）答案不唯一．如等．

（2）答案不唯一．如等．

19．（8分）（1）（人）

（2）（人）

（3）不同，因为喜欢“洗桃花水”和“吃椿”的总人数不同．

也可通过计算说明：

洗桃花水：（人），吃椿：（人）

20．（8分）解：（1）把代入得，∴，

把代入得，把，代入得，解得，

∴．

（2）或

21．（10分）解：

（1）过作，∵，，∴，

在中，，∴

（2）过点作，当时，；当时，

①，

②，

∴与地面的距离范围为

22．（12分）（1）设，，解得，∴

（2）当时，，即销售200盒的纯利润为1180元，

∴成本价为：（元），，

（舍），，（元）

答：当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元

（3）设日销售纯利润为元

当时，有最大值1580元

答：当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元

23．（12分）（1），

（2）作交于，

设，∵，∴，

即，，∵，，∴，，，

∴，∵，∴，即，

∵，∴∽，∴，∴，

解得，∴

（3）作交于，设，

∵，∴，即，，

∵，∴，∴，即．

∵是中点，∴，从而，∴，，

∵，∴，又，∴，

∴，代入得，解得，

∵，∴，∴．

24．（14分）（1）∵，∴，∵，∴，即

（2）①解法一：∵为直径，∴

∵由（1）知，∴，∴，∴

解法二：令，∵，∴，

∵为直径，∴，，

∵，∴，∴

∴，∴

②连结．

∵，∴，，∴

∵，∴，，∴

∵，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，∴

③

过程如下：

令，∵，∴，∴

∵为直径，∴，

∵，∴，∴，∴

∴，∴，设，，∴，

∵，∴，连结，∴为直径，∴，

在中：

∵，，∴，

∵为直径，∴，∴，∴

∴，即