人教版八年级上册数学讲义练习 第13章 章末检测

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

第十三章  轴对称

12.2 章末检测

(时间：90分钟  满分：120分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．若等腰三角形的底角是顶角的2倍，则这个等腰三角形的底角的度数是

A．36°    B．72°    C．36°或72°   D．无法确定

2．点M（-1，-2）关于x轴对称的点的坐标为

A．（-1，-2）  B．（1，-2）  C．（-1，2）  D．（1，2）

3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是

A．30°    B．35°    C．40°    D．45°

4．下列说法中错误的是

A．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴

B．关于某直线对称的两个图形全等

C．面积相等的两个四边形对称

D．轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合

5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则

∠CBE的度数为

A．80°    B．70°    C．40°    D．30°

6．如图，中，，AD平分，点E为AC的中点，连接DE，若的周长为26，则BC的长为

A．20    B．16    C．10    D．8

7．如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为

A．7     B．8    C．9    D．10

8．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F的度数是

A．40°    B．70°    C．50°    D．45°

9．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是

A．1号袋    B．2号袋   C．3号袋   D．4号袋

10．如图所示，△ABP与是两个全等的等边三角形，且，有下列四个结论：①；②；③；④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

11．等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3 cm，则腰长为__________．

12．已知：点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（m+n）2018=__________．

13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E，F为AD上的两点，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积是__________．

14．我国传统的木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这种图案有__________条对称轴．

15．若二元一次方程组的解的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则的值为__________．

16．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=40°，则∠CDE的度数为__________．

17．如图，点D为△ABC边AB的中点，将△ABC沿经过点D的直线折叠，使点A刚好落在BC边上的点F处，若，则的度数为__________．

18．如图，在3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B在格点上，如果点C也在格点上，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有__________个．

19．如图，已知是等边三角形，D为BC延长线上一点，CE平分，那么AE的长度是__________．

20．如图，在线段AB上取一点C（非中点），分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于F，连接BD交CE于G，AE和BD交于点H，则下列结论：①AE=DB；②不另外添加线，图中全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG．其中正确的是__________（填序号）．

三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E，试说明：△CDM是等腰三角形．

22．已知：在中，为的中点，，垂足分别为点，且．求证：是等边三角形．

23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE∶∠DAE=1∶2，求∠B的度数．

24．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标分别是．

（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；

（2）请画出关于轴对称的；

（3）请在轴上求作一点，使的周长最小，并写出点的坐标．

25．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE．

（1）求证：BD=CE；

（2）连接DC．如果CD=CE，试说明直线AD垂直平分线段BC．

26．如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．

（1）求证：OB=DC；

（2）求∠DCO的大小；

（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．

27．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD=CE．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．

①求∠AEB的度数；

②证明：AE=BE+2CM．

28．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？请说明理由．

（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并说明理由．

（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？并说明理由．

1．【答案】B

【解析】设顶角为x度，则底角为2x度，则x+2x+2x=180，

解得x=36，∴2x=72，故选B．

2．【答案】C

【解析】因为点M（-1，-2）关于x轴对称，所以对称点的坐标为（-1，2），故选C．

3．【答案】C

4．【答案】C

【解析】根据轴对称的性质，两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴，故A正确；

根据轴对称的性质，关于某直线对称的两个图形全等，故B正确；

根据面积相等的两个四边形不一定全等，故不一定轴对称，故C错误；

根据轴对称的概念，可知轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合，故D正确．故选C．

5．【答案】D

【解析】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°−∠A）÷2=70°，

∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，故选D．

6．【答案】A

【解析】∵，AD平分，∴，∴，

∵点E为AC的中点，∴．

∵的周长为26，∴，∴．故选A．

7．【答案】D

8．【答案】A

【解析】∵以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，∴EB=ED，∴∠EDB=∠B=70°，

∴∠BED=180°-∠B=∠BDE=40°．

∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠EDB=∠ACB，∴EF∥AC．

∵E是AB的中点，即BE=AE，∴BD=CD．

在△EBD和△FCD中，∵DE=DF，∠EDB=∠CDF，BD=CD，∴△EBD≌△FCD（SAS），

∴∠F=∠BED=40°．故选A．

9．【答案】A

【解析】如图，根据反射的对称性，画出球反射后的路线，即可得到答案.

故选A．

10．【答案】D

【解析】根据题意，，

∵，∴，①正确；

根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，④正确；

∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，∴AD∥BC，②正确；

∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，∴PC⊥AB，③正确，所以四个命题都正确，故选D．

11．【答案】8 cm

12．【答案】1

【解析】∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m=-3，n=2，∴（m+n）2018=1，故答案为：1．

13．【答案】6

【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，

∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴，∴图中阴影部分的面积是．

故答案为：6．

14．【答案】2  学@科网

【解析】这是一个组合图形，它的外部是一个长方形，再根据它的组合特点，显然有2条对称轴，即两组对边的垂直平分线．故答案为：2．

15．【答案】2

【解析】，①−②得：y=3−m，将y=3−m代入②得：x=3m−3，

根据x与y为三角形边长，得到，即1<m<3，

若x为腰，则有2x+y=6m−6+3−m=7，解得：m=2；

若x为底，则有x+2y=3m−3+6−2m=7，解得：m=4，不合题意，舍去，则m的值为2．故答案为：2．

16．【答案】60°

【解析】∵，

∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，故答案为：60°．

17．【答案】84°

【解析】∵点D为△ABC边AB的中点，∴AD=BD．∵△ABC沿经过点D的直线折叠，点A刚好落在BC边上的点F处，∴AD=DF，∴BD=DF，∴∠B=∠BFD=48°．

在△BFD中，∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-48°-48°=84°．故答案为：84°．

18．【答案】6

19．【答案】7

【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACD=120°．

∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACD=60°．在△ABD和△ACE中，

∵，∴△ABD≌△ACE，∴AE=AD=7．故答案为：7．

20．【答案】①③④

【解析】∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，∴∠BCD=∠ACE．在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；

∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDG．∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠DCE．在△ACF与△DCG中，，∴△ACF≌△DCG，同理△BCG≌△ECF，故②错误；

∵△ACF≌△DCG，∴CF=CG．∵∠FCG=60°，∴△FCG是等边三角形；故③正确；

过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，∴∠AMC=∠DNC=90°．

在△ACM与△DNC中，，∴△ACM≌△DCN，∴CM=CN，∴CH平分∠FHG，故④正确．故答案为：①③④．

21．【解析】∵BC=DE，

22．【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．

∵D为AC的中点，∴DA=DC．

又∵DE=DF，∴Rt△AED≌Rt△CDF（HL），

∴∠A=∠C，

∴∠A=∠B=∠C，

∴△ABC是等边三角形．

23．【解析】设∠CAE=x°，

∵∠CAE∶∠DAE=1∶2，

∴∠DAE=2x°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠B=∠DAE=2x°，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴∠B+∠BAC=90°，

∴2x+3x=90°， 

解得：x=18°，∴∠B=36°．

24．【解析】（1）（2）如图所示：

25．【解析】（1）∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE．

在△ABD和△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE．

（2）由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD=CE．

∵CD=CE，∴CD=BD，

∴点D在BC的中垂线上．

∵AB=AC，∴点A在BC的中垂线上，

∴AD垂直平分线段BC．

26．【解析】（1）∵∠BAC=∠OAD=90°，

∴∠BAC-∠CAO=∠OAD-∠CAO，

∴∠DAC=∠OAB，

在△AOB与△ADC中，，

∴∠ODA=45°，学@科网

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°，

又∠AOB=∠ADC=α，

∴α=115°；

当OD=CO时，∴∠DCO=∠CDO=40°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°，

∴α=85°；

当CD=OD时，∴∠DCO=∠DOC=40°，

∠CDO=180°-∠DCO-∠DOC=180°-40°-40°=100°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°，

∴α=145°，

综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．

27．【解析】（1）∵∠BAC=∠DAE=40°，

∴∠ADC=180°-45°=135°，∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°．

②∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，

∴CM=DM=EM，

∴DE=DM+EM=2CM，

∴AE=AD+DE=BE+2CM．

28．【解析】（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：

∵D为BC中点，∴BD=CD，

∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，

在△BED和△CFD中

∠B=∠C，∠DEB=∠DFC，BD=CD，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF．

（2）DE+DF=CG．

理由：连接AD，