初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理精品课后练习题

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

第十七章  勾股定理

17.1  勾股定理

1．勾股定理

勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．

【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．

（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．

2．勾股定理的证明

在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．

对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等．

3．勾股定理的应用

勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：

（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；

（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；

（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；

（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．

K知识参考答案：

一、勾股定理

已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．

【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为

A．5     B．    C．或5   D．

【答案】A

【解析】由勾股定理得：斜边=．故选A．

二、勾股定理的证明

勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．

【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若，．请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明；

（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求的值．

三、勾股定理点的应用

利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．

【例3】如图，有一只小鸟在一棵高13 m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12 m，高8 m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2 m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

【解析】过B作BC⊥AD，垂足为点C，如图，

根据题意，得AC=AD-BE=13-8=5 m，BC=12 m．

根据勾股定理，得AB==13 m．

则小鸟所用的时间是13÷2=6.5（s）．

答：这只小鸟最短要飞13 m，至少6.5 s才可能到达小树和伙伴在一起．

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．若a=5，b=12，则c的长为

A．        B．13

C．18         D．169

2．如果Rt△的两直角边长分别为k2-1，2k（k>1），那么它的斜边长是

A．2k         B．k+1

C．k2-1         D．k2+1

3．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为

A．4米    B．8米    C．9米    D．7米

4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3 m处折断，树顶端落在离树底部4 m处，则树折断之前高

A．5 m    B．7 m    C．8 m    D．10 m

5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为

A．8     B．9    C．10    D．11

6．若直角三角形的三边长分别为、a、，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为

A．22    B．32    C．62    D．82

7．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．

8．若△ABC中，∠C=90°．

（1）若a=5，b=12，则c=__________；

（2）若a=6，c=10，则b=__________；

（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=__________，b=__________．

9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．

10．如图，在东西走向的铁路上有A，B两站，在A，B的正北方向分别有C，D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米．在铁路AB上有一个蔬菜加工厂E，蔬菜基地C，D到E的距离相等，且AC=BE，则E站距A站__________千米．学_科网

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

（1）若a∶b=3∶4，c=75 cm，求a、b；

（2）若a∶c=15∶17，b=24，求△ABC的面积；

（3）若c-a=4，b=16，求a、c；

（4）若∠A=30°，c=24，求c边上的高hc；

（5）若a、b、c为连续整数，求a+b+c．

12．已知：△ABC中，AD为BC中线，求证：．

13．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长．

14．如图，一个圆桶，底面直径为16 cm，高为18 cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）

A．50 cm   B．40 cm   C．30 cm   D．20 cm

15．若直角三角形的三边长分别为、a、，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为

A．22    B．32    C．62    D．82

16．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=60°，则AB的长为

A．12米    B．6米   C．6米    D．2米

17．如图，，，，，垂足分别为，，，，则__________．学科=网

18．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7 m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动了__________m．

19．古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm（如图）．请部：水深多少？

20．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高．

21．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东50°航行，乙船向北偏东40°航行，3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若C，B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？

22．（2018·山东滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为

A．5       B．6       C．7       D．8

23．（2018·湖北襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为__________．

1．【答案】B

【解析】∵三角形ABC是直角三角形，∠C=90°，∴c====13．故选B．

2．【答案】D

【解析】设斜边长为c，根据勾股定理得：c2=（k2-1）2+（2k）2=k4-2k2+1+4k2=k4+2k2+1=（k2+1）2，

∴c=k2+1．故选D．

3．【答案】D

【解析】由勾股定理得：楼梯的水平宽度==4，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4=7米．故选D．

4．【答案】C

【解析】如图，

由题意得，在中，根据勾股定理得，所以大树的高度是3+5=8（米）．故选C．

5．【答案】C

【解析】如图，

由于a、b、c都是正方形，所以，．∵，∴，在和中，，∴≌，

∴，，在中，由勾股定理得：，

即，∴的面积为10，故选C．

6．【答案】B

【解析】由题可知（a-b）2+a2=（a+b）2，解得a=4b，所以直角三角形三边分别为3b，4b，5b，当b=8时，4b=32，故选B．

9．【答案】6，8，10

【解析】设中间的偶数是x，则另外两个是x-2，x+2，根据勾股定理，得（x-2）2+x2=（x+2）2，

解得x=8或0（0不符合题意，应舍去），所以它的三边是6，8，10．故答案为：6，8，10．

10．【答案】12

【解析】由题意得，CA⊥AB，DB⊥AB，∴AE2+AC2=CE2，BE2+BD2=DE2，∵CE=DE，AC=BE，

∴AE2=BD2，∴AE=BD=12（km），故答案为：12．

11．【解析】（1）设a=3x，b=4x，则，

解得x=15，故可得a=45 cm，b=60 cm．

（2）设a=15x，c=17x，则，

解得x=3，则a=45，故△ABC的面积．

（3），即，

∵c−a=4，

∴，

则，

解得：，

即a=30，c=34．

（4）∵，

∴，

则，

解得：．

（5）设a=x−1，b=x，c=x+1，

则可得：，

解得：x=4或x=0（舍去），即a=3，b=4，c=5，

故a+b+c=12．

12．【解析】如图，过A作AE⊥BC于E．

由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AC2=AE2+EC2．

∵AD为中线，∴BD=DC，

∴AB2=（BD+DE）2+AE2，AC2=AE2+（BD-DE）2，

∴AB2+AC2=（BD+DE）2+AE2+AE2+（BD-DE）2=2BD2+2AE2+2DE2=2BD2+2AD2=2（BD2+AD2）．

13．【解析】依题意可得：BC=AD=AF=10，DE=EF．

在△ABF中，∠ABF=90°，∴，∴FC=10-6=4，

设EC=x，则EF=DE=8-x．

∵∠C=90°，∴EC2+FC2=EF2，∴x2+42=（8-x）2，

解得x=3，∴EC=3（cm）．

14．【答案】C

【解析】展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．

由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB==30 cm．

故选C．

15．【答案】B

【解析】由题意得：（a-b）2+a2=（a+b）2，解得：a=4b，所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b．

∵只有32是4的倍数，故一边长为32．故选B．

16．【答案】B

【解析】由题意可知，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=6米，∴∠CAB=30°，∴AC=2BC=

12（米），∴AB=（米）．故选B．

17．【答案】7

【解析】∵AC=13，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，∴BC=13，∠BEC=∠CDA=∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD，∴△BCE≌△CAD，∴CD=BE=5，∵在△BCE中，

∠BEC=90°，BC=13，BE=5，∴CE=，∴DE=CE-CD=12-5=7．故答案为：7．

18．【答案】2.5

【解析】如图，

已知AE=1.3米，AC=0.7米，BD=0.9米，设CD=x，AB=DE=y，则BC=0.9+x，则在直角△ABC中，y2=（0.9+x）2+0.72，在直角△CDE中，y2=x2+（1.3+0.7）2，解方程组得：x=1.5米，y=2.5米，故答案为：2.5．

21．【解析】根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，

∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里，

∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=（海里）．

则乙船的速度是36÷3=12海里/时．

22．【答案】A

【解析】∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为．故选A．

23．【答案】或

【解析】分两种情况：

当是锐角三角形，如图1，

∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4-1=3，

∴BC；

当是钝角三角形，如图2，

同理得：AC=2，AB=4，∴BC=．综上所述，BC的长为或，

故答案为：或．