2021届江西省九江市高三三模考试（数学）

这是一份2021届江西省九江市高三三模考试（数学），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省九江市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|2x﹣x2≥0}，则A∩（∁RB）＝（　　）
A．（﹣1，0] B．（﹣1，0） C．（0，1） D．[0，1）
2．若复数z满足（1﹣2i）z＝2，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．研究与试验发展（R&D）是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先如图是我国近五年（2016﹣2020年）R&D经费支出统计图，则下列说法中错误的是（　　）

A．近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系
B．近五年，R&D经费支出的中位数为19678
C．2020年，R&D经费支出相对于2016年增长超过50%
D．2020年，R&D经费支出增长速度最快
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，S6＝4S3，则a10＝（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣27 D．27
5．已知椭圆C的焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2，若椭圆C上存在点M，使得∠F1MF2＝90°，则椭圆C短轴长的取值范围是（　　）
A．（0，1] B． C．[2，+∞） D．（0，2]
6．函数，x∈[﹣2π，2π]的图像可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．已知曲线C1：y＝sinx，曲线C2：的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
B．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2
C．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
D．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2
8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，给出下列四个结论：
①DP长度为定值；
②三棱锥P﹣AB1D1的体积为定值；
③任意点P，都有DP⊥A1C；
④存在点P，使得A1P⊥平面AB1D1．
其中正确的是（　　）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左、右支上一点，若四边形OFAB是菱形，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．
10．蒙特•卡罗方法（MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法．某同学根据蒙特•卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率π的值，每次用计算机随机在区间（0，3）内取两个数，共进行了1000次实验，统计发现这两个数与3能构成钝角三角形的情况有280种，则由此估计π的近似值为（　　）

A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15
11．如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，O为BC的中点，E为AO的中点，DE⊥AO，BC＝4，，∠AOC＝45°，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（　　）

A． B． C． D．
12．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若xf（x）+x2f'（x）＝ex，f（1）＝e，则f（x）在（0，+∞）上（　　）
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线f（x）＝xcosx在x＝0处的切线方程为 　 　．
14．二项式的展开式中x的系数为 　 　．
15．已知点A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝4上的两点，且，则＝　 　．

16．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn+Sn﹣1＝an2（n≥2），设bn＝，则数列{bn}前n项和的取值范围为 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，A为锐角．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若G为BC边上靠近点B的三等分点，且AG＝2，求△ABC面积的最大值．

18．如图所示，在四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠CDA＝90°，△MBC，△MCD均为等边三角形，．
（Ⅰ）求证：平面MBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣MB﹣C的余弦值．

19．2020年9月22日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会﹣般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和，某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如表．
树苗高度（cm）
[120，140）
[140，160）
[160，180]
树苗售价（元/株）
4
6
8
（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选三株，求售价之和高于16元的概率；
（2）已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布N（μ，σ2），并用该企业采购的120株树苗作样本，来估计总体期望和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），且s2＝185．
①从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，记树苗高度超过150cm的株数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．
②若该育苗基地共有5000株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，请估计第114株树苗的高度．参考数据：若X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9544，≈13.6．

20．在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），P为直线y＝x﹣2上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．当P在y轴上时，OA⊥OB．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求点O到直线AB距离的最大值．
21．已知函数f（x）＝eaxlnx﹣x+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论f（x）在（0，1）内零点的个数．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲C1的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，记曲线C1与C2公共弦所在直线为l．
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）设过O点的直线l0与直线l交于点M，与曲线C1交于点N（异于原点O），求|OM|•|ON|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数的最大值为M．
（Ⅰ）求M的值；
（Ⅱ）若正实数a，b满足2a+b＝M，求a2b的最大值．


参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|2x﹣x2≥0}，则A∩（∁RB）＝（　　）
A．（﹣1，0] B．（﹣1，0） C．（0，1） D．[0，1）
解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|2x﹣x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，
∴∁RB＝{x|x＜0或x＞2}，
则A∩（∁RB）＝{x|﹣1＜x＜0}＝（﹣1，0）．
故选：B．
2．若复数z满足（1﹣2i）z＝2，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
解：∵（1﹣2i）z＝2，
∴，
∴z的虚部为．
故选：C．
3．研究与试验发展（R&D）是科技活动的核心指标，是衡量一个国家和地区科技发展水平的主要指标，同时也是反映企业自主创新能力的指标．我国一直以来都在大力促进科技创新，R&D经费支出增速保持世界领先如图是我国近五年（2016﹣2020年）R&D经费支出统计图，则下列说法中错误的是（　　）

A．近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系
B．近五年，R&D经费支出的中位数为19678
C．2020年，R&D经费支出相对于2016年增长超过50%
D．2020年，R&D经费支出增长速度最快
解：对于A，近五年，R&D经费支出与年份呈现正相关关系，故A正确；
对于B，五年，R&D经费支出的中位数为19678，故B正确；
对于C，∵≈1.56，即2020年R&D经费支出相对于2016年增长超过50%，故C正确；
对于D，2016年至2017年，R&D经费支出增长速度为≈1.123，
2017年至2018年，R&D经费支出增长速度为≈1.118，
2018年至2019年，R&D经费支出增长速度为≈1.125，
2019年至2020年，R&D经费支出增长速度为≈1.103，故D错误．
故选：C．
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，S6＝4S3，则a10＝（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣27 D．27
解：显然q＝1时，不满足题意；
当q≠1时，由S6＝4S3，a1＝1，得＝4×，则4﹣4q3＝1﹣q6，解得q3＝3，
所以a10＝a1q9＝27．
故选：D．
5．已知椭圆C的焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2，若椭圆C上存在点M，使得∠F1MF2＝90°，则椭圆C短轴长的取值范围是（　　）
A．（0，1] B． C．[2，+∞） D．（0，2]
解：不妨设椭圆C的焦点在x轴上，则c＝1，a2＝b2+1，
椭圆C的标准方程为，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝1，
联立，可得y2＝b4，所以，b4＝y2＝1﹣x2≤1，∵b＞0，可得0＜b≤1，
因此，椭圆C短轴长的取值范围是（0，2]．
故选：D．
6．函数，x∈[﹣2π，2π]的图像可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：设g（x）＝ln（﹣x），则g（﹣x）+g（x）＝ln（+x）（﹣x）＝ln1＝0，即g（﹣x）＝﹣g（x），则g（x）是奇函数，
则f（x）＝sinx•g（x）是偶函数，排除D，
当x＞0时，﹣x＝为减函数，则g（x）为减函数，则g（x）＜g（0）＝0，
则当0＜x＜π时，sinx＞0，则f（x）＜0，排除B，C，
故选：A．
7．已知曲线C1：y＝sinx，曲线C2：的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
B．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2
C．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
D．将曲线C1先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2
解：根据曲线C2：的部分图像可得，sinφ＝，∴φ＝．
再根据五点法作图可得ω×+＝π，求得ω＝2，故曲线C2的方程为y＝sin（2x+）．
故将曲线曲线C1：y＝sinx的图像先向左平移个单位长度，
再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2，
故选：B．
8．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，给出下列四个结论：
①DP长度为定值；
②三棱锥P﹣AB1D1的体积为定值；
③任意点P，都有DP⊥A1C；
④存在点P，使得A1P⊥平面AB1D1．
其中正确的是（　　）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图
则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0）、A1（1，0.1）、B1（1，1.1）、C1（0.1，1）、D1（0.0.1）
设点P（t，1，1﹣t），其中0≤t≤1．
对于①，|DF|＝不是定值，①错误；
对于②，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB＝C1D1，
所以，四边形ABC1D1为平行四边形，则BC1∥AD1
又BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，则BC1平面AB1D1，
又P∈BC1，则点P到平面AB1D1的距离为定值，故三角形AB1D1的面积也为定值，
所以，三棱锥P﹣AB1D1的体积为定值，②正确；
对于③，，，所以，＝﹣t+1﹣1+t＝0，
因此，对任意点P，都有DP⊥A1C，③正确；
对于④，＝（t﹣1，1，﹣t），＝（0，1，1），＝（﹣1，0.1），
所以，这样的t不存在．
所以不存在点P，使得A1P⊥平面B1D1，④错误．
故选：C．

9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的左焦点为F，A，B分别为双曲线C左、右支上一点，若四边形OFAB是菱形，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．
解：双曲线C：的左焦点为F，点A，B在双曲线C上，且四边形OFAB为菱形，
不妨A在x轴上方，可知A（﹣，），代入双曲线方程可得：＝1．
可得e4﹣8e2+4＝0，e＞1，
可得e2＝4+2．
可得e＝+1．
故选：B．
10．蒙特•卡罗方法（MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法．某同学根据蒙特•卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率π的值，每次用计算机随机在区间（0，3）内取两个数，共进行了1000次实验，统计发现这两个数与3能构成钝角三角形的情况有280种，则由此估计π的近似值为（　　）

A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15
解：每位同学随机写下一个实数对（x，y），其中0＜x＜3，0＜y＜3，
可用如图所示的正方形区域表示，
数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）需满足x+y＞3，x2+y2＜9，
可用如图所示的阴影部分区域表示，
设“数字x、y与1可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）”为事件A，
由几何概型中的面积型公式可得：
P（A）＝＝＝，
又数字x、y与3可以构成钝角三角形三边的实数对（x，y）为280个，
所以，
所以π≈＝3.12．
故选：A．

11．如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，O为BC的中点，E为AO的中点，DE⊥AO，BC＝4，，∠AOC＝45°，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（　　）

A． B． C． D．
解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，连接EF，
∵平面ABC⊥平面BCD，∴DF⊥平面ABC，
∵AO⊂平面ABC，∴AO⊥DF，
又DE⊥AO，DE∩DF＝D，∴AO⊥平面DEF，
∵FE⊂平面DEF，∴AO⊥EF．
设OE＝x，∵∠AOC＝45°，∴EF＝x，
在直角三角形DEF中，有DF⊥DE，∴DF＝，
则三棱锥A﹣BCD体积V＝＝，
当x2＝2﹣x2，即x＝1时，取等号．
故选：C．

12．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若xf（x）+x2f'（x）＝ex，f（1）＝e，则f（x）在（0，+∞）上（　　）
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值
解：f′（x）＝，设g（x）＝ex﹣xf（x），则g′（x）＝ex﹣f（x）﹣xf′（x）＝ex﹣＝ex，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（1）＝e﹣f（1）＝0，
所以f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线f（x）＝xcosx在x＝0处的切线方程为 　x﹣y＝0　．
解：函数f（x）＝xcosx的导数为f′（x）＝cosx﹣xsinx，
可得在x＝0处的切线斜率为cos0﹣0sin0＝1，
切点为（0，0），
可得在x＝0处的切线方程为y＝x，
即为x﹣y＝0．
故答案为：x﹣y＝0．
14．二项式的展开式中x的系数为 　15　．
解：＝，
Tr+1＝Cx6﹣r（﹣1）r，r＝0，1，...，6，
故展开式中x的系数为．
故答案为：15．
15．已知点A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝4上的两点，且，则＝　6　．

解：过点C作CD⊥AB于D，则AD＝AB＝，
∴cos∠BAC＝＝，
∴＝||•||cos∠BAC＝2×2×＝6．
故答案为：6．
16．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn+Sn﹣1＝an2（n≥2），设bn＝，则数列{bn}前n项和的取值范围为 　[﹣3，﹣2）∪（﹣2，﹣]　．
解：由a1＝1，且Sn+Sn﹣1＝an2（n≥2），an＞0，
令n＝2，可得S2+S1＝a22，即1+a2+1＝a22，解得a2＝2，
令n＝3，可得S3+S2＝a32，即3+a3+3＝a32，解得a3＝3，
当n≥3时，Sn﹣1+Sn﹣2＝an﹣12，
又Sn+Sn﹣1＝an2，
两式相减可得an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），
由an＞0，可得an﹣an﹣1＝1，
则数列{an}从第三项起是公差为1的等差数列，可得an＝a3+n﹣3＝n，
上式对n＝1，2也成立，
所以an＝n，n∈N*，Sn＝n（1+n），
bn＝＝2•（﹣1）n•＝2•（﹣1）n•（+），
所以数列{bn}前n项和Tn＝2[﹣1﹣++﹣﹣+...+（﹣1）n•+（﹣1）n•]，
当n为偶数时，Tn＝2（﹣1+），则Tn≤2（﹣1）＝﹣，且Tn＞﹣2；
当n为奇数时，Tn＝2（﹣1﹣），则Tn≥2（﹣﹣1）＝﹣3，且Tn＜﹣2．
综上可得，Tn的取值范围是[﹣3，﹣2）∪（﹣2，﹣]．
故答案为：[﹣3，﹣2）∪（﹣2，﹣]．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，A为锐角．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若G为BC边上靠近点B的三等分点，且AG＝2，求△ABC面积的最大值．

解：（Ⅰ）因为，可得2sin2＝•，
所以2sincos＝sinA＝，
因为A为锐角，
所以A＝．
（Ⅱ）因为＝+＝（﹣）＝+，
所以2＝（42+2+4•），
所以4＝（4c2+b2+4bc•cos），整理可得4c2+b2+2bc＝36，
所以36≥6bc，即bc≤6，当且仅当b＝2c＝2时等号成立，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤，即△ABC的面积的最大值为．
18．如图所示，在四棱锥M﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠CDA＝90°，△MBC，△MCD均为等边三角形，．
（Ⅰ）求证：平面MBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣MB﹣C的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：取BD的中点E，连接ME，CE，设△MBC、△MCD的边长均为2，
∵△MBC、△MCD均为等边三角形，则MB＝MC＝BC＝MD＝BD＝2，
∵E为BD的中点，∴CE⊥BD，同理可得ME⊥BD，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，则BD＝2，
∴CE＝BD＝，且MB2+MD2＝BD2，则∠BMD＝90°，得ME＝BD＝，
∴CE2+ME2＝MC2，即CE⊥ME，
∵CE∩BD＝E，∴ME⊥平面ABCD，
而ME⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：∵ME⊥平面ABCD，CE⊥BD，
以E为坐标原点，分别以EC、ED、EM所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设△MBC、△MCD的边长均为2，
则M（0，0，），B（0，﹣，0），C（，0，0），A（，，0），
，，，
设平面ABM的一个法向量为，平面BCM的一个法向量为，
由，取y＝1，得；
由，取y1＝﹣1，得．
∴cos＜＞＝．
由图可知，二面角A﹣MB﹣C为钝角，故二面角A﹣MB﹣C的余弦值为﹣．

19．2020年9月22日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会﹣般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和，某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如表．
树苗高度（cm）
[120，140）
[140，160）
[160，180]
树苗售价（元/株）
4
6
8
（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选三株，求售价之和高于16元的概率；
（2）已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布N（μ，σ2），并用该企业采购的120株树苗作样本，来估计总体期望和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），且s2＝185．
①从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，记树苗高度超过150cm的株数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．
②若该育苗基地共有5000株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，请估计第114株树苗的高度．参考数据：若X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9544，≈13.6．

解：（1）高度在[120，140）内的占比为（0.005+0.02）×10＝0.25，
高度在[140，160）内的占比为（0.03+0.02）×10＝0.5，
高度在[160，180]内的占比为（0.015+0.01）×10＝0.25，
从这120株树苗中，按售价分层抽取8株，其中2株4元，4株6元，2株8元，
再从中任选三株，售价之和高于16元，可以为（4，6，8），（6，6，6），（6，6，8），（4，8，8），（6，8，8），
故所求概率为＝；
（2）①μ＝125×0.05+135×0.2+145×0.3+155×0.2+165×0.15+175×0.1＝150cm，
若从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，高度超过150cm的概率为，
由题意可知，ξ～B（5，），
则P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝，
P（ξ＝5）＝＝，
所以ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

4

5

P












故E（ξ）＝5×＝；
②σ＝s＝
因为＝P（X≥μ+2σ），
所以μ+2σ≈177.2cm．
20．在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），P为直线y＝x﹣2上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．当P在y轴上时，OA⊥OB．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求点O到直线AB距离的最大值．
解：（Ⅰ）当P在y轴上时，即P（0，﹣2），
设过P的切线方程为y＝kx﹣2，
与x2＝2py联立，可得x2﹣2pkx+4p＝0，
由直线和抛物线相切的条件可得△＝4p2k2﹣16p＝0，
解得A（2，2），B（﹣2，2），
由OA⊥OB，可得2•（﹣2）+2×2＝0，解得p＝1，
所以抛物线C的方程为x2＝2y；
（Ⅱ）由x2＝2y即y＝x2的等式为y′＝x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y﹣y1＝x1（x﹣x1），即x1x＝y+y1，
同理可得x2x＝y+y2，
又P为直线y＝x﹣2上的动点，可设P（t，t﹣2），
可得x1t＝t﹣2+y1，x2t＝t﹣2+y2，
由两点确定一条直线，可得AB的方程为xt＝t﹣2+y，
即为t（x﹣1）+（y﹣2）＝0，
则直线恒过定点M（1，2），
所以点O到直线AB距离的最大值为|OM|＝＝．
21．已知函数f（x）＝eaxlnx﹣x+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论f（x）在（0，1）内零点的个数．
解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝lnx﹣x+1，f′（x）＝，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）①当a＝0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）上单调递增，
∴f（x）＜f（1）＝0，则f（x）在（0，1）内无零点；
②当a＞0时，由①知lnx＜x﹣1，∴f（x）＝eaxlnx﹣x+1＜eax（x﹣1）﹣x+1＝（eax﹣1）（x﹣1），
∵x∈（0，1），∴eax＞0，x﹣1＜0，可得f（x）＜0，f（x）在（0，1）内无零点；
③当a＜0时，f′（x）＝，令h（x）＝，
则h′（x）＝，令φ（x）＝，
得φ′（x）＝＞0，∴φ（x）在（0，1）上单调递增，
∴当x∈（0，1）时，φ（x）＜φ（1）＝2a﹣1＜0，
则h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减，
又f′（1）＝ea﹣1＜0，eax＞ea，alnx＞0，∴f′（ea）＞ea•e﹣a﹣1＝0，
∴∃x0∈（ea，1），使得f′（x0）＝0，
则f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，
∵f（1）＝0，f（x0）＞0，
∵eax＞ea，∴f（x）＜ealnx﹣x+1，令ealnx+1＝0，得x＝，故取∈（0，1），
有f（x′）＝﹣x′＜0，∴f（x）在（0，1）内存在唯一零点．
综上，当a≥0时，f（x）在（0，1）内无零点；
当a＜0时，f（x）在（0，1）内存在唯一零点．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲C1的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，记曲线C1与C2公共弦所在直线为l．
（Ⅰ）求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）设过O点的直线l0与直线l交于点M，与曲线C1交于点N（异于原点O），求|OM|•|ON|的值．
解：（Ⅰ）已知曲C1的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；
曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，转换为直角坐标方程为x2+y2＝1；
两圆相减得：2x+2y﹣1＝0．
根据，转换为极坐标方程为2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0；
（Ⅱ）设直线l0的方程为：，与直线l交于点M，
所以，整理得，
直线l0与曲线C1交于点N，
所以t2cos2α﹣2tcosα+t2sin2α﹣2tsinα＝0，
整理得：tON＝2（sinα+cosα），
所以：|OM|•|ON|＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数的最大值为M．
（Ⅰ）求M的值；
（Ⅱ）若正实数a，b满足2a+b＝M，求a2b的最大值．
解：（Ⅰ）f（x）＝，
画出y＝f（x）的图象，由图象可知，当x＝时，有最大值，最大值为4，
则M＝4；
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可得正实数a，b满足2a+b＝4，
∴b＝4﹣2a＞0，解得0＜a＜2，
∴a2b＝a2（4﹣2a）＝4a2﹣2a3，
设g（a）＝4a2﹣2a3，0＜a＜2，
∴g′（a）＝﹣6a2+8a＝﹣6a（a﹣），
当0＜a＜时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，
当＜a＜2时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，
∴g（a）max＝g（）＝4×﹣2×＝．
方法二：由（Ⅰ）可得正实数a，b满足2a+b＝4，
∴a2b≤（）3＝，当且仅当a＝b＝时取等号，
故a2b的最大值为．