2022-2023学年江苏省苏州市吴江区八年级（下）期中数学试卷-（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市吴江区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列调查中，适合采用抽样调查方式的是(    )

A. 调查你所在班级同学的视力情况 B. 调查黄河的水质情况
C. 对旅客上飞机前的安检 D. 检查神州十五号飞船的零部件状况

3.  若分式中的和都扩大倍，那么分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 缩小倍

4.  已知反比例函数，其图象在平面直角坐标系中可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在平行四边形中，过点作交延长线于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，点，分别是，的中点，以点为圆心，为半径作圆弧交于点若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，四边形中．，，为的平分线，，，分别是，的中点，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示，已知，为反比例函数 图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  妈妈做菜时，为了了解菜品的咸淡是否合适，取了一点品尝．妈妈的这种做法属于______从“普查”和“抽样调查”中选一．

10.  在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是______ ．

11.  已知，则 ______ ．

12.  如图，两条宽都为的纸条交叉成角重叠在一起，则重叠四边形的面积为______．

13.  方程：的根为______ ．

14.  如图，点是矩形的对称中心，，，若反比例函数的图象经过点，交于点，则点的坐标为        ．

15.  如图，在中，点，点分别是，的中点，点是上一点，且，若，，则的长为______ ．

16.  如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形，正方形的对角线交于点，连接，如果，，那么        ．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.  计算：

四、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
下面是一位同学化简代数式的解答过程：

这位同学的解答，在第______ 步出现错误．
请你写出正确的解答过程，并求出当时，原式的值．

19.  本小题分
某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高元，用元单独购买甲物品的数量是用元单独购买乙物品数量的倍．
求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？
如果该单位计划购买甲，乙两种物品共件，且总费用不超过元，求最多能购买甲物品多少件？

20.  本小题分
月日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．

______ ， ______ ，补全频数分布直方图；
在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为______ ；
若成绩达到分以上为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数．

21.  本小题分
如图，在中，，点是上的中点，将绕着点旋转得．
求证：四边形是菱形；
如果，，求菱形的面积．

22.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
根据函数图象，直接写出不等式的解集；
若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．

23.  本小题分
如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．
求证：；
如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

24.  本小题分
在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使与重合．
求证是等腰三角形；
求折痕的长．

25.  本小题分
问题情境：

如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接，
猜想证明：
试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，若、请猜想线段与的数最关系并加以证明，解决问题；
如图，若的面积为，，请直接写出的长．

26.  本小题分
定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．

如图，在平行四边形中，，是它的两条对角线，，请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形；
如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论；
如图，将中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，中的结论是否仍然成立，请说明理由．

27.  本小题分
如图，四边形是菱形，点在的正半轴上，直线交轴于点轴交轴于点，反比例函数的图象经过点．

求直线的解析式；
如图，点是直线上一动点，点是轴上一动点点不与点点重合当最小时，求点的坐标；
如图，点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒，的面积为，求与的函数关系式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：调查你所在班级同学的视力情况，工作量比较小，适合全面调查；
B.调查黄河的水质情况工作量非常大，适合抽样调查；
C.对旅客上飞机前的安检非常重要，适合全面调查；
D.检查神州十五号飞船的零部件状况非常重要，适合全面调查．
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少分析解答即可．
本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，，
原式中的和都扩大倍，分式的值缩小倍，
故选：．
当把分式中的和都扩大倍得到得，然后根据分式的基本性质化简得，据此可得答案．
本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
该函数图象在第一、第三象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，，，则，，
．
故选：．
由“平行四边形的对边相互平行”的性质推知，，则，，据此进行解答．
本题主要考查了平行四边形的性质，解题时，利用“平行四边形的对边相互平行”的性质求得相关角的度数．
 

6.【答案】 

【解析】解：以点为圆心，为半径作圆弧交于点，，
．
在中，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
．
，即．
故选：．
由三角形中位线定理知：结合已知条件可以推知，所以由图形得到．
本题主要考查了三角形中位线定理，根据已知条件“以点为圆心，为半径作圆弧交于点”得到是解题的突破口．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，连接并延长交于，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】
解：，
，
，，
由勾股定理得，
，
，
为的平分线，
，
，
，
连接并延长交于，

，
，
是的中点，
，
在和中，

≌，
，，
，
是的中点，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：把，代入 得，，则点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
所以直线的解析式为，
因为，
所以当点为直线与轴的交点时，线段与线段之差达到最大，
把代入，得解得，
所以点坐标为．
故选D．
先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法确定直线的解析式为，然后根据三角形三边的关系得到，当点为直线与轴的交点时，取等号，则线段与线段之差达到最大，然后确定直线与轴的交点坐标即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

9.【答案】抽样调查 

【解析】解：由抽样调查的意义可知，
“了解菜品的咸淡是否合适，取了一点品尝”属于抽样调查，
故答案为：抽样调查．
根据抽样调查与全面调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，掌握抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
盒子中白色球的有：个，
故答案为：．
根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数．
本题考查利用频率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
利用比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，过点作于，
由题意可得，，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是菱形，
，，
，
，
，
即重叠四边形的面积为，
故答案为：．
过点作于，过点作于，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，求出的长是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
去分母得：，
解得：，
当时，，
是原方程的增根；
当时，，
原方程的解为．
故答案为：．
先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
是矩形的对称中心，
，
设反比例函数的解析式为，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，解得，
故的坐标为．
故答案为：．
根据矩形的性质求得，由是矩形的对称中心，求得，设反比例函数的解析式为，代入点的坐标，即可求得的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得点的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，
是的中线，
，
，
，
在中，，点是的中点，，
，
，
故答案为：．
根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可．
本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：过点作交的延长线于点，作于点，

，
，
四边形是矩形，
，
正方形的对角线交于点，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
矩形是正方形，，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
过点作交的延长线于点，作于点，易证四边形是矩形，利用已知条件再证明≌，因为，，所以平分，进而求出的长，根据勾股定理即可求出的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解答时作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】先化简各二次根式、取绝对值符号，再合并同类二次根式即可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及绝对值的性质．
 

18.【答案】 

【解析】解：第步出现错误，
故答案为：；




，
当时，原式．
根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断；
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：设乙物品的单价是元，则甲物品的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲物品的单价是元，乙物品的单价是元．
设购买件甲物品，则购买件乙物品，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多能购买甲物品件． 

【解析】设乙物品的单价是元，则甲物品的单价是元，利用数量总价单价，结合用元单独购买甲物品的数量是用元单独购买乙物品数量的倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入中，可求出甲物品的单价；
设购买件甲物品，则购买件乙物品，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】     

【解析】解：条形图中，的有人，扇形图中所占比例是，
，即本次抽样的总量是人，
，
条形图中的有人，
条形图中的有人，
，
，
故答案为：，；
补全补全频数分布直方图如图所示，

“”的人数为人，
所占比例为，
所对圆心角的度数为，
故答案为：．
达到分以上的人数有人，
所占比例为，
全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数大约为人．
条形图中，的有人，扇形图中所占比例是，由此即可求解；
扇形的圆心角等于该组所占比例乘以，由此即可求解；
先计算出达到分以上的人所占的比例，即可求解．
本题主要考查统计的相关知识，理解条形图，扇形图的意义，掌握计算总量的方法，圆心角的计算方法，用样本估算总体的计算方法是解题的关键．
 

21.【答案】证明：将绕着点旋转得，
，，
，
，
四边形是菱形；

解：如图，过点作于点，

，，
是等边三角形，
，，
，
．
故菱形的面积为． 

【解析】根据旋转的性质可得，，从而得到，即可求证；
过点作于点，先证明是等边三角形，可得，，再由勾股定理可得，再由菱形的面积公式计算，即可求解．
本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：点、在反比例函数的图象上，
分别把，代入，
解得：，，
所以，，
点、在一次函数图象上，
分别把，代入，
可得：，
解得，
一次函数的解析式是：，
一次函数的图象如图所示：

，即一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
由图象可知：或．
点与点关于轴对称，
点，
，上的高是，
的面积为：． 

【解析】根据反比例函数求点、的坐标，再利用待定系数法求一次函数的表达式，最后求出一次函数图象与轴和轴的交点，即可作出图象；
根据图象直接写出不等式的解集即可；
根据对称求出点的坐标，再利用点、、的坐标求出的高和底，即可求出面积．
本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质、三角形面积公式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：
，
，
是的中点，
，
，
≌，
，
，
；

四边形是矩形．
理由：
，是的中点，
，

，
过点作的平行线交的延长线于点，即，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形． 

【解析】先由，利用平行线的性质可证，而是中点，那么，，利用可证≌，那么有，又，从而有；
四边形是矩形．由于平行等于，易得四边形是平行四边形，又，，利用等腰三角形三线合一定理，可知，即，那么可证四边形是矩形．
本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．
 

24.【答案】证明：如图，矩形纸片折叠后，设与重合，过点作于点，

由折叠的性质得：，，，，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是等腰三角形．
解：，
，
，，
，，
设，则，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
． 

【解析】根据轴对称的性质得到，再由矩形的性质得到，从而可推出，进而可求解；
过点作于点，根据轴对称的性质得到，由勾股定理即可求得的值．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等众多知识点，解答时根据轴对称的性质求解是关键．
 

25.【答案】解：四边形是正方形．理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；

；理由如下：
如图，过点作于点，

，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
≌，
．
将绕点按顺时针方向旋转，
．
四边形是正方形，
，
，
；

，理由如下：
作于，如图．

由可知，≌，
由将绕点按顺时针方向旋转得可知，
≌，
≌≌，
，
，
设，则，
由得，
解得，
，
四边形是正方形，
，
在中，
，
，
四边形是正方形，
，
，
． 

【解析】根据旋转性质得到，，再由题意可得，，即可得四边形是正方形；
过点作于点，可证明≌，则有，根据正方形的性质即可解决；
作于，设，由求得，在中，由勾股定理得，由即可求出．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，证明≌是关键．
 

26.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
平行四边形是矩形；
解：线段与的数量关系为：，证明如下：
如图，连接，

是的中点，
，
由折叠的性质得：，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：中的结论仍然成立，理由如下：
如图，连接，

是的中点，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，再证≌，得，则，即可得出结论；
连接，易得，由折叠的性质得，，则，再证≌，即可得出结论；
连接，同得，则，再证，则，即可得出结果．
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，综合性强，熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

27.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，即，
点为，
，
四边形是菱形，
，
点的坐标为：；
设直线为，
，
解得，
直线的解析式；

当时，最小，设点坐标为，
，
当时，有最小值，
，
点的坐标为；

在函数中，令，，
点为，
，，，
≌，
，，
；
当点在线段上运动时，即时，
；
当点在线段上运动时，即时，
；
与的函数关系式为：． 

【解析】由平行四边形的性质，先求出点、点的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
当时，最小，设点坐标为，利用两点之间的距离公式解答即可求出点的坐标；
先求出和的长度，然后分两种情况进行分析：当点在线段上运动时，即时；当点在线段上运动时，即时；分别求出解析式即可．
本题考查了反比例函数的性质，一次函数的图象和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析点的运动情况进行解题．