2023年广东省深圳大学附中中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省深圳大学附中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金发展元旦当天小明妈妈收到微信红包元记作元，则小明妈妈微信转账支付元记作(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

2.  党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  为更好地学习贯彻“年全国两会”精神，牢记使命担当，奋进新时代，筑梦新征程．某校举办了“年全国两会”知识竞赛，某班参赛的名同学的成绩单位：分分别为：，，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为，向前走米到达处，测得点的仰角为，已知测倾器的高度为米，则楼房的高度约为结果精确到米，(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

8.  下列命题中，真命题是(    )

A. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
B. 圆内接四边形的是菱形
C. 顺次连接一个四边形的四边中点得到的四边形是平行四边形
D. 相似三角形一定不是全等三角形

9.  某市政工程队准备修建一条长的污水处理管道在修建完后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前天完成任务设原计划每天修建管道，依题意列方程得(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论：
若，则；
若时，则；
若点，，在抛物线上，，且，则；
当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．
其中结论正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  如图，在中，平分，，，，面积为        ．

13.  北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时头顶与水平线的夹角的度数为______ ．

14.  已知，则代数式值 ______ ．

15.  如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组：．

17.  本小题分
在平面直角坐标系内，的位置如图所示．
将绕点顺时针旋转得到，作出．
以原点为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为：．

18.  本小题分
“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共个，其中有个为八年级班级分别用、表示，个为九年级班级分别用、、表示，由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．
第一周选择的是八年级班级的概率为______ ；
请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．

19.  本小题分
年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各个，共花费元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵元．
甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的不计其他成本已知甲、乙纪念品售价分别为元个，元个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？

20.  本小题分
如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．

21.  本小题分
综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在▱中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明．

独立思考：请解答老师提出的问题；
实践探究：希望小组受此问题的启发，将▱沿着为的中点所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明．
问题解决：智慧小组突发奇想，将▱沿过点的直线折叠，如图，点的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点该小组提出一个问题：若此▱的面积为，边长，，求图中阴影部分四边形的面积请你思考此问题，直接写出结果．

22.  本小题分
我们定义【，，】为函数的“特征数”如：函数的“特征数”是【，，】，函数的“特征数”是【，，】，函数的“特征数”是【，，】．
若一个函数的特征数是【，，】，将此函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______ ．
将“特征数”是【，，】的函数图象向上平移个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______ ．
当“特征数”是【，，】的函数在直线和直线之间的部分包括边界点的最高点的纵坐标为时，求的值．
点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点当若中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为时，直接写出的值为常数

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如果微信红包元记作元，那么微信转账支付元记为元．
故选：．
根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
本题考查了正数和负数，理解相反意义的量是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，可得如选项B所示的图形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，处于中间位置的那个数是和，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故选：．
中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故选：．
利用三角形的外角的性质解决问题即可．
本题考查了三角形的外角性质，熟记性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：阻力阻力臂动力动力臂，且阻力和阻力臂分别为和，
动力关于动力臂的函数解析式为：，
即，是反比例函数，
又动力臂，
故B选项符合题意．
故选：．
直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而得出动力关于动力臂的函数关系式，从而确定其图象即可．
本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过作于，作，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过作于，作，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B.圆内接四边形的是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C.顺次连接一个四边形的四边中点得到的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D.相似三角形可能是全等三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：．
利用圆周角定理、菱形的判定方法、平行四边形的判定方法及相似三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：采用新技术，工作效率比原来提升了，且原计划每天修建管道，
采用新技术后每天修建管道．
依题意得：．
故选：．
由采用新技术前后工作效率间的关系可得出采用新技术后每天修建管道，利用工作时间工作总量工作效率，结合时间比原计划提前天完成任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，则，
抛物线过，
，
，
，
当时，；当时，；
联立此两个不等式，将代入以上不等式，
可解得；故错误；
当时，对称轴是直线，
，
当时，，
，即，
，故错误；
由题意，抛物线的对称轴是直线，
，
，即，
点，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，

，
，，
，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故正确，
如果，则，
如果，根据，则；
又抛物线过，，
，
，
当时，，当时，，
根据图象知，直线与该二次函数有一个公共点，
则，
，
故错误．
故选：．
根据和过点，可得，根据，列不等式组可解答；
根据对称轴是直线，计算，最后将点的坐标代入抛物线的解析式可解答；
计算对称轴，确定，可知：点到对称轴的距离点到对称轴的距离，开口向下时可得的大小；
列方程计算可解答；
根据已知确定解析式，列方程计算可解答．
本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据提公因式法可进行求解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作，交的延长线于点，

平分，，，，
，
，
面积

，
故答案为：．
过点作，交的延长线于点，先利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：延长交直线于点，

，
，
根据题意得，
，
故答案为：．
延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果．
本题考查的是平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
，
，
，
故答案为：．
由得出，即，再两边平方，进一步求解即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作于．

四边形是正方形，，
，，
，，
，
，
，，
，
在中，，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
∽，
，
，
．
故答案为．
如图，作于利用勾股定理求出，再证明∽，可得，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所作．

如图，即为所作． 

【解析】分别作出点、、绕点顺时针旋转后的对应点、、，顺次连接即可；
分别连接、、并分别延长到点、、，使得、、，顺次连接、、即可．
此题考查了旋转和位似图形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题意得：第一周选择的是八年级班级的概率为；
故答案为：；
根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有种情况，
两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．
直接根据概率公式计算，即可求解；
根据题意画出树状图，可得共有种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有种情况，再根据概率公式计算，即可求解．
本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
 

19.【答案】解：设甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元，
由题意得
解得：，
答：甲种纪念品每件进价是元，乙种纪念品每件进价为元．
设新购甲种纪念品件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为元．
由题意可得，，解得．
．
，
随的增大而减小，
且，
当时，有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品件，乙种纪念品件时利润最大． 

【解析】设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元，利用总价单价数量，结合题目条件即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设新购甲种纪念品件，则乙种纪念品为件，销售完这批纪念品获得的利润为元．利用总利润单个利润数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式、根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

20.【答案】证明：连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：过点作于，
则四边形为矩形，
，
，
由勾股定理得，，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点作于，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

21.【答案】解：结论：．
理由：如图中，如图，作交于．

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
结论：．
理由：连接．

是由翻折得到，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
．

如图中，过点作于，过点作于．

，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】结论：如图中，如图，作交于证明垂直平分线段即可．
结论：证明四边形是平行四边形，可得结论．
如图中，过点作于，过点作于根据，求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

22.【答案】【，，】   

【解析】解：函数的特征数是【，，】，
函数为，
将函数向左平移个单位，再向上平移个单位得到，
函数的“特征数”是【，，】，
故答案为：【，，】；
函数的“特征数”是【，，】，
函数解析式为，
将函数的图象向上平移个单位得新函数解析式为，
故答案为：；
“特征数”是【，，】的函数解析式为，
抛物线的顶点为，对称轴是直线，
由抛物线的性质可知，当与时，相等且，
当，即时，抛物线的最高点在处取得，
，
解得，不符合题意，舍去；
当，即时，抛物线的最高点在处取得，
，
解得或舍去，
当，即时，抛物线的最高点在取得，
，
解得舍去或舍去，
当，即时，抛物线的最高点在处取得，
，
解得，
综上所述，的值为或；
由知抛物线的顶点坐标为，且，
当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
，即时，
需要分以下两种情况：
抛物线与直线有两个交点，如图，

两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为，
，
，；
，
解得，
抛物线与矩形相邻两边有交点，如图，

两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为，到轴距离与到轴距离都为，
到轴距离为，即，
，
，
解得舍去或；
当时，如图：

两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为，
，
又，
，
，
，
解得或舍去，
综上所述，的取值为或或．
由函数的特征数是【，，】，知函数为，将函数向左平移个单位，再向上平移个单位得到，即可得到答案；
由函数的“特征数”是【，，】，得函数解析式为，将图象向上平移个单位得新函数解析式为；
“特征数”是【，，】的函数解析式为，抛物线的顶点为，对称轴是直线，分四种情况：当，即时，抛物线的最高点在处取得，有，当，即时，抛物线的最高点在处取得，有，当，即时，抛物线的最高点在取得，有，当，即时，抛物线的最高点在处取得，有，分别解方程可得答案；
由抛物线的顶点坐标为，且，分四种情况：当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；，即时，有两种情况：抛物线与直线有两个交点，可得，，故，抛物线与矩形相邻两边有交点，可得，故，当时，可得，故，解方程可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，平移变换和对称变换，解题的关键是分类讨论思想的应用，有一定的难度．