专题17 热学中的液柱问题——【备考2023】高考物理计算题专题精讲精练学案（原卷版+解析版）

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①热力学温度与摄氏温度的关系：；
②玻意耳定律：；（是常量）或
③盖—吕萨克定律：（是常量）；或或；
④查理定律：（是常量）；或或；
⑤理想气体状态方程：或；
⑥热力学第一定律：；
在解决热力学中的液柱问题时，首先要确定研究对象：力学研究对象一般为：液柱、玻璃管等；热学研究对象：一定质量的理想气体。
其次要分别对力学研究对象和热学研究对象进行分析：
①对力学研究对象，要先进行受力分析，再依据力学规律列出方程，求出气体压强；
②针对热力学研究对象，确定初、末状态及状态变化过程。
第三要根据题目和分析结果以及根据液柱长度与玻璃管长度、气柱长度的关系等列出相关辅助方程。或依据气体实验定律或理想气体状态方程列式求解。
1.液片法解决压强问题：选取假想的液体薄片（自身重力不计）为研究对象，分析液片两侧的受力情况，建立平衡方程，消去面积，得到液片两侧压强相等的方程，求得气体的压强。
2.力平衡法解决压强问题：选取与气体接触的液柱（或活塞）为研究对象进行受力分析，得到液柱（或活塞）的受力平衡方程，求得气体的压强。如图甲所示，活塞处于平衡状态，则；如图乙所示，液柱处于平衡状态，则。
3.等压面法解决压强问题：连通器内静止的同一种液体（中间不间断）在同一水平面上各处压强相等。如图丙所示，U形管竖直放置，图中虚线高度处有。
典例1：（2022·广东·高考真题）玻璃瓶可作为测量水深的简易装置。如图所示，潜水员在水面上将水装入容积为的玻璃瓶中，拧紧瓶盖后带入水底，倒置瓶身，打开瓶盖，让水进入瓶中，稳定后测得瓶内水的体积为。将瓶内气体视为理想气体，全程气体不泄漏且温度不变。大气压强取，重力加速度g取，水的密度取。求水底的压强p和水的深度h。
【答案】，10m
【规范答题】对瓶中所封的气体，由玻意耳定律可知
即
解得
根据
解得
h=10m
典例2：（2021·全国·高考真题）如图，一玻璃装置放在水平桌面上，竖直玻璃管A、B、C粗细均匀，A、B两管的上端封闭，C管上端开口，三管的下端在同一水平面内且相互连通。A、B两管的长度分别为，。将水银从C管缓慢注入，直至B、C两管内水银柱的高度差。已知外界大气压为。求A、B两管内水银柱的高度差。
【答案】
【规范答题】对B管中的气体，水银还未上升产生高度差时，初态为压强，体积为，末态压强为，设水银柱离下端同一水平面的高度为，体积为，由水银柱的平衡条件有
B管气体发生等温压缩，有
联立解得
对A管中的气体，初态为压强，体积为，末态压强为，设水银柱离下端同一水平面的高度为，则气体体积为，由水银柱的平衡条件有
A管气体发生等温压缩，有
联立可得
解得
或
则两水银柱的高度差为
典例3：（2021·广东·高考真题）为方便抽取密封药瓶里的药液，护士一般先用注射器注入少量气体到药瓶里后再抽取药液，如图所示，某种药瓶的容积为0.9mL，内装有0.5mL的药液，瓶内气体压强为，护士把注射器内横截面积为、长度为0.4cm、压强为的气体注入药瓶，若瓶内外温度相同且保持不变，气体视为理想气体，求此时药瓶内气体的压强。
【答案】
【规范答题】以注入后的所有气体为研究对象，由题意可知瓶内气体发生等温变化，设瓶内气体体积为V1,有
注射器内气体体积为V2，有
根据理想气体状态方程有
代入数据解得
1．（2022·新疆·博乐市高级中学（华中师大一附中博乐分校）模拟预测）如图，一个粗细均匀、导热良好的U形细玻璃管竖直放置，A端封闭，D端开口。玻璃管内通过水银柱封闭a、b两段气体，a气体下端浮有一层体积、质量均可忽略的隔热层，各段长度如图。已知大气压强，环境温度为。取。
（1）通过加热器对b气体缓慢加热，使其温度升高到时玻璃管内剩余水银柱的总长度为多少？
（2）保持b气体温度不变，以BC为轴将玻璃管缓慢旋转至U形管躺平且不漏气，则玻璃管内剩余水银柱的总长度为多少？
【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）假设b气体膨胀过程中未到达C，膨胀过程中水银不断从D口流出但水银柱高度不变，气体b的压强不变，a气体体积不变，b做等压膨胀，对b气体由盖-吕萨克定律
得
解得
故b气体的长度变为，而因为b的气压没有改变，所以a的气压也不变，即a的体积不会发生变化，所以b只会向右移动，故
故假设成立，玻璃管内剩余水银柱的总长度为：
（2）以BC为轴将玻璃管旋转到水平状态，a、b两部分气体均做等温变化，且压强均变为，a气体初状态的压强
根据玻意耳定律
得
对b气体，初状态的压强为
根据玻意耳定律有
得
则剩余水银柱的长度
2．（2022·安徽·定远县育才学校模拟预测）水火箭又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是一个利用气压作用设计的玩具。在学校科技节上，科技小组同学用容积为2.0L的可乐瓶制作了一支水火箭，箭身及其配重总质量M=0.1kg。现向瓶中装入0.5L的水后用带气嘴的橡胶塞塞紧瓶口，将火箭竖直放置，火箭内气体的压强为1atm，如图所示。用打气筒向里打气，已知打气筒每打一次气能把体积为0.5L、压强为1atm的空气压入瓶内，当瓶内空气压强达到5atm时橡胶塞脱落，水流高速喷出，火箭向上飞起。
（1）水喷出后瞬间，箭体内气体的温度升高还是降低，简要说明理由：
（2）设打气过程气体温度保持不变，求需打气的次数。
【答案】（1）降低；（2）12
【规范答题】（1）水喷出后瞬间，箭体内气体对外做功，内能减小，温度降低。
（2）火箭内气体体积为
设p0=1atm下，打入气体后，总体积V1，则
V1=V+V0
打入气体后体积
V2=V0
压强
p2=5atm
根据
解得
V=6L
需打气的次数
3．（2022·广东·模拟预测）如图所示，在一端封闭的U形管中用水银柱封闭一段空气柱，当温度为27℃时被封空气柱长度为L=13cm，且左侧管中水银柱比右侧管中水银柱高h=3cm，已知大气压强p0=75cmHg。为使右侧管中水银柱比左侧管中水银柱高h=3cm，封闭气体温度应变为多少K？
【答案】400K
【规范答题】设封闭气体初始状态参量分别为、、，温度变化后状态参量分别为、、。由题意可知，初状态
末状态
由理想气体状态方程可得
代入数据解得
4．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测）如图所示，一支下端封闭上端开口的粗细均匀玻璃管竖直放置，管内用长度分别为 h1=2cm 和 h2=6cm 的两段水银柱封闭两部分理想气体。当温度为时，管内气柱的长度分别为 L1=14.5cm 和 L2=29cm，大气压强p0=76cmHg。
（1）当温度升高到时，玻璃管足够长，求稳定后上段气柱的长度。
（2）若温度保持不变，将玻璃管在竖直平面内缓慢旋转60°，要使上段水银柱不溢出，求稳定后玻璃管至少需要多长？（结果保留两位小数）
【答案】（1）15cm；（2）53.14cm
【规范答题】（1）设玻璃管内截面积为S，对于上段气体初态时，气柱长，温度，末态时，设气柱长为，温度，由等压过程知
解得
（2）对于上段气体初态时，气柱长14.5cm，压强，末态时，压强，由等温变化
可得
同理对于下段气体初态时，气柱长，压强；末态时，设气柱长为，压强，由等温变化
解得
=30.45cm
则稳定后玻璃管至少需要
5．（2022·安徽淮北·二模）如图所示，在一端封闭的U形管中用水银柱封闭一段空气柱，当温度为27℃时被封空气柱长度为L=13cm，且左侧管中水银柱比右侧管中水银柱高h=3cm，已知大气压强p0=75cmHg。
（1）为使右侧管中水银柱比左侧管中水银柱高h=3cm，封闭气体温度应变为多少K?
（2）若封闭气体的温度重新回到27℃，向右侧开口端缓慢注入水银，注入的水银柱长度为多少时右侧管中水银柱比左侧管中水银柱高3cm?
【答案】（1）400K；（2）8cm
【规范答题】（1）设封闭气体初始状态参量分别为、、，温度变化后状态参量分别为、、。由题意知
初状态
末状态
由理想气体状态方程可得
代入数据解得
（2）由题意知注入水银的过程中气体经历等温变化，设注入水银后空气柱的长度为L3，则
初状态
，
末状态
，
由玻意耳定律得
代入数据解得
则注入水银柱的长度为
6．（2022·河南·濮阳一高模拟预测）如图所示，玻璃泡中充有一定质量的理想气体，玻璃泡与粗细均匀的玻璃管连接，玻璃管竖直插在水银槽中，玻璃管的内截面积为0.1cm2，这时环境温度为300K，大气压强为75cmHg，玻璃管中水银柱液面与水银槽中水银液面高度差为15cm，水银柱以上玻璃管长为5cm，当环境温度升高到420K时，玻璃管中水银柱液面与水银槽中水银液面高度差为5cm，水银槽足够大、足够深，求∶
（1）玻璃泡的容积；
（2）若环境温度保持300 K不变，将玻璃管缓慢向下移，当水银液面刚好上升到玻璃管上管口时，玻璃管下移的距离。 （结果保留1位小数）
【答案】（1）；（2）11.7cm
【规范答题】（1）开始时封闭气体的压强
玻璃管中气体的体积
升温后气体的压强
玻璃管中气体的体积
设玻璃泡的容积为V，则根据理想气体的状态方程
解得
（2）设水银上升到玻璃管上管口时，封闭气体的压强为p3，则
解得
则槽口水银面上方玻璃管长为，则玻璃管下移的距离
7．（2022·云南昆明·一模）如图所示，新冠疫情期间，学校杀菌消毒用的压缩式喷雾器储液桶的总容量为6.0L，现倒入5.0L的消毒药液后盖紧盖子，开始打气，每打一次都能把体积为200mL、压强与大气压相同的空气打进储液桶，假设打气过程中药液不会向外喷出，储液桶气密性良好，出液管体积及出液口与储液桶底间高度差不计，周围环境温度不变，气体可视为理想气体，外界大气压恒为。求：
（1）当打气20次后，喷雾器内空气的压强及这个压强下最多能喷出的药液体积；
（2）要使喷雾器内的药液一次性全部喷完，至少需要打气的次数。
【答案】（1），；（2）
【规范答题】（1）在将气体打进储液桶之前，有
，
倒入药液后，储液桶中气体部分的体积为
打气过程，气体保持温度不变，根据玻意耳定律可得
联立解得
药液喷出过程，气体温度保持不变，根据玻意耳定律可得
解得
因此能喷出的药液的体积为
（2）设至少需要打气次，才能将喷雾器内的药液一次性全部喷完，根据玻意耳定律可得
解得
要使喷雾器内的药液一次性全部喷完，至少需要打气次。
8．（2022·广东·模拟预测）如图所示，两端封闭的直玻璃管竖直放置，一段水银将管内的理想气体分隔为甲、乙两部分，两部分气体的温度相等、物质的量相同，它们的体积之比。请直接判断k大于1还是小于1，并求甲、乙两部分气体的压强之比
【答案】，
【规范答题】甲乙的物质的量相同即质量相同，乙气体的压强大可知体积小，甲的压强小可知体积大
由于甲、乙两部分气体的温度相等、物质的量相同，根据理想气体状态方程可得
解得
9．（2022·河南·三模）如图所示，内径相同的两U形玻璃管竖直放置在空气中，中间用细软管相连，左侧U形管顶端封闭，右侧U形管开口，用水银将部分气体A封闭在左侧U形管内，细软管内还有一部分气体。已知环境温度恒为17℃，大气压强为，稳定时，A部分气体长度为20 cm，管内各液面高度差分别为、。求
①A部分气体的压强；
②现仅给A部分气体加热，当管内气体温度升高了40℃时，A部分气体长度为22 cm，求此时右侧U形管液面高度差。
【答案】①；②
【规范答题】①设左侧A部分气体压强为，软管内气体压强为，由图中液面的高度关系可知，
联立解得
②由理想气体状态方程可得
其中
解得
由于空气柱长度增加，则水银柱向右侧移动，因此左侧U形管液面高度差为
由
解得
10．（2022·广西·合山高中模拟预测）如图所示，粗细均匀的“L”形细玻璃管竖直放置，用水银柱封闭一段长度h= 10cm的空气柱（视为理想气体），大气压强恒为p0 =76cmHg，竖直管中水银柱的长度L1=6cm，水平管中水银柱的长度L2=9cm，环境的热力学温度恒为T1= 300K。（结果均保留一位小数）
（i）若将竖直管绕水平管的轴线缓慢转过90°（玻璃管水平），求水平管中水银柱的长度L；
（ii）若竖直管不转动（保持竖直），对管中空气柱缓慢加热，求竖直管中水银柱的长度变为时，空气柱的热力学温度T2。
【答案】（i）8.2cm；（ii）406.7K
【规范答题】（i）转动前，管中空气柱的压强为
设竖直管绕水平管的轴线缓慢转过90°后空气柱的长度为x，根据玻意耳定律有
解得
根据几何关系可知
（ii）加热后，管中空气柱的压强为
根据理想气体状态方程有
解得
11．（2022·河北·模拟预测）如图所示，粗细均匀的U形管，右端口封闭，左端口开口，右管中用水银封闭着长10cm的理想气体，当气体的温度为27℃时，两管水银面的高度差为5cm，外界大气压为75cmHg，若对封闭气体缓慢加热，为了使左、右两管中的水银面高度差仍为5cm，求：
（1）气体升高后的温度为多少？
（2）若不给气体加热，保持气体温度不变，使玻璃管始终保持竖直状态向下做自由落体运动，水银柱稳定时，左、右两管中水银液面高度差为多少？
【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）开始时，气体的压强为
升温后，气体的压强
根据理想气体状态方程
，，
解得
（2）若保持温度不变，使玻璃管始终保持竖直状态向下做自由落体运动，则管中水银处于完全失重状态，则封闭气体的压强
设气柱的长为，则
解得
则左、右两管中水银液面高度差为
12．（2022·新疆·三模）如图所示，导热性能良好的形管开口向上竖直放放置，两端口等高，左端开口右端封闭，左端横截面积为右端的三倍，此时左端水银面到管口的距离，比右端水银面高。现用厚度不计的轻质活塞封闭左端端口并缓慢向下推动活塞，最终使两管水银面相平。外界大气压强，环境温度保持不变，求：
（i）最终右管气体的压强；
（ii）活塞向下推动的距离。
【答案】（i）；（ii）
【规范答题】（i）设左管水银面下降，则右管水银面上升，由题意可得
解得
以右管气体为研究对象，初始压强为
根据玻意耳定律可得
解得
（ii）以左管气体为研究对象，根据玻意耳定律可得
解得
活塞向下推动的距离为