八年级数学竞赛培优专题及答案 19 平行四边形、矩形、菱形

专题19 平行四边形、矩形、菱形(吴梅录入)

阅读与思考

平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.

连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.

熟悉以下基本图形：

例题与求解

【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.

【例2】下面有四个命题：

①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；

②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；

其中，正确的命题的个数是（    ）

A.1    B. 2   C. 3   D.4

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.

【例3】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF＝2.

（1）判断△BEF的形状，并说明理由；

（2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

(烟台中考试题)

解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE的取值范围.

【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于点G，延长GP并在春延长线上取一点D，使得PD＝PC.

求证：BC⊥BD，BC＝BD.

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：只需证明△CPB≌△DPB，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.

【例5】在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F.

（1）在图1中证明CE＝CF；

（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG（如图3），求∠BDG的度数.

(北京市中考试题)

解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；

对于（2），用测量的方法可得∠BDG=45°，进而想到等腰直角三角形，连CG，BD，只需证明△BGC≌△DGF，这对解决（3），有不同的解题思路.

对于（3）

【例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM与BN相交于点P.

求证：∠BPM＝45°.

(浙江省竞赛试题)

解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN或AC，即作ME⊥AN，ME＝AN，构造平行四边形.

能力训练

A级

1. 如图，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的面积为________.

2. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为 ________.

(浙江省中考试题)

3. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连结AF与BC相交于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是________.

(“希望杯”竞赛试题)

4. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF的大小是________.

(“希望杯”邀请赛试题)

5. 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且满足，则这个四边形一定是（    ）

A.两组角分别相等的四边形    B. 平行四边形  

C. 对角线互相垂直的四边形    D. 对角线相等的四边形

6.现有以下四个命题：

①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.

其中，正确的命题有（    ）

A. ①②  B.③④   C. ③   D. ①②③④

7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BD于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED.正确的是（    ）

A. ②③   B.③④   C.  ①②④  D. ②③④

(齐齐哈尔中考试题)

8. 如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则＝（    ）

A.    B.     C.    D.

(“缙云杯”竞赛试题)

9. 已知四边形ABCD，现有条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D.从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.

(江苏省竞赛试题)

10. 如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD＝BF， 以AD为边作等边△ADE.

（1）求证：△ACD≌△CBF ；

（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF＝30°，证明你的结论.

(江苏省南通市中考试题)

11. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D为BC上任一点，DF⊥AC于F，DE⊥AC于E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.

(河南省中考试题)

12. 如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积.

(山东省竞赛试题)

B级

1. 如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE＝2EC，F在AB上，BF＝2AF，如果△BEF的面积为2，则□ABCD的面积是________.

(“希望杯”竞赛试题)

2. 如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝________.

(山东省竞赛试题)

3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF长为________.

(武汉市竞赛试题)

4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为 ________.

 (山东省竞赛试题)

5. 如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为________.

(全国初中数学联赛试题)

6. 如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________.

(“希望杯”邀请赛试题)

7. 如图，△ABC的周长为24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（    ）

A. 30   B. 24   C.16    D.12

(全国初中数学联赛试题)

8. 如图，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（    ）

A. 60°   B. 65°   C.70°    D.75°

9. 如图，已知∠A＝∠B，，，均垂直于，＝17，＝16，＝20，＝12，则AP+PB的值为（    ）

A. 15   B.14    C. 13   D.12

(全国初中数学联赛试题)

10. 如图1，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图2）.

解答问题：

（1）设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为，，则________（填“＞”、“＝”或“＜”）.

（2）如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.

（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.

（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？

(陕西中考试题)

11.四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝120°，M为BC上一点，N为CD上一点.求证：若△AMN有一个内角等于60°，则△AMN为等边三角形.

12. 如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.

求证：该六边形的各角相等.

(全俄数学奥林匹克试题)

专题19   平行四边形、矩形、菱形

例1  75°       例2   A   只有命题③正确.

例3 （1）△BEF为正三角形  提示：由△ABD和△BCD为正三角形，可证明△BDE≌△BCF，

得：BE=BF，∠DBE=∠CBF.

∵∠DBC=∠CBF+∠DBF=∠DBE+∠DBF=60°，即∠EBF=60°，故△BEF为等边三角形.

(2)设，则可得：，

当BE⊥AD时，有最小值为.

∴.

当BE与AB重合时，有最大值为2，

∴. ∴.

例4  提示：PC=EF=PD，，可证明

△CPB≌△DPB.

例5 （1）略    （2）45°   （3）60°如图，延长AB至H，使AH=AD，连DH，则

△AHD是等边三角形.

∵AH=AD=DF，∴BH=GF，

又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF，

∴△DBH≌△DGF，∠BDH=∠GDF，

∴

例6 如图过M作，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，得NE=AM，ME⊥BC.

∵ME=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC.

∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4.

∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE.

∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°.

∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°.

           A级

1.          2.

3. 26° 提示：作FG边上中线，连接EC，则EF=EC=AC.

4. 20° 提示：连接AC，则△AFC≌△AEB，△AEF为等边三角形. 5.C   6.B  7.D

8. A    提示：E、F分别为AB、BC中点.

9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD是平行四边形的有以下9种

情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥.

10.  提示：（2）当D为BC中点时，满足题意.

11.  提示：连AM，证明△AMF≌△BME，可证△MEF为等腰直角三角形.

12. 6  提示：由△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC得：AC=DF=AE，AB=EF=AD.故四边形AEFD为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE=360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F到AD的距离为2，故.

B级

1. 9   2.    提示：可以证明.   3.

4. 10   提示：可先证：AF=CF.设，则，

∴. ∴. ∴.

5.   提示：过A作AG⊥BD于G可证PE+PF=AG，

由可得：.

6. cm  提示：A，C关于BD对称，连AE交BD于P.

∴PE+PC=AE.

又∵AE⊥BC且∠BAE=30°，∴为最小.

7. B

8. B   提示：取DE中点为G，连结AG，则AG=DG=EG.

9. C

10.(1)=；图略     （2）1；图略     （3）3；图略     （4）以AB为边的矩形周长最小，用面积法证明．

11．证明：连AC，如图，则易证△ABC与△ADC都为等边三角形．

(1)若∠MAN＝60°，则△ABM≌△ACN．

∵AM＝AN，∠MAN＝60°，

∴△AMN为等边三角形．

(2)∠AMN＝60°，过M作CA的平行线交AB于P．

∵∠BPM＝∠BAC＝60°，∠B＝60°，

∴△BPM为等边三角形，BP＝BM，BA＝BC．∴AP＝MC．

又∠APM＝120°＝∠MCN．

∠PAM＝∠AMC－∠B＝∠AMC－60°＝∠AMC－∠AMN＝∠CMN，

∴△PAM≌△CMN．∴AM＝MN，又∠AMN＝60°．

故△AMN为等边三角形．

12．提示：如图，分别过点A作AM∥EF，过点C作CP∥AB，过点E作EN∥AF，它们分别交于N，M，P点，得ABCM、CDEP、EFAN，则EF＝AN，AB＝CM，CD＝PE，BC＝AM，CP＝DE，AF＝NE，由条件得△NMP为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．