八年级数学竞赛培优专题及答案 05 和差化积

专题05  和差化积

                       ——因式分解的应用

阅读与思考：

因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：

1．复杂的数值计算；

2．代数式的化简与求值；

3．简单的不定方程（组）；

4．代数等式的证明等.

有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：

1. ;

2. ;

3. ；

4.；

5. ．

例题与求解

【例1】已知，，那么的值为___________  .

                                                           （全国初中数学联赛试题）

解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．

【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于(  ).

    A. －1        B．－1或－7         C．1         D.1或7

                                                                  （江苏省竞赛试题）

解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，

 在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．

求代数式的值的基本方法有；

 (1)代入字母的值求值；

 (2)代入字母间的关系求值；

 (3)整体代入求值．

【例3】计算：(1)                    （“希望杯”邀请赛试题）

            （2）        （江苏省竞赛试题）

解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律．

【例4】求下列方程的整数解．

 (1);                                       （上海市竞赛试题）

 (2).                                     （四川省竞赛试题）

解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．

解不定方程的常用方法有：

 (1)穷举法；    (2)配方法；    (3)分解法；    (4)分离参数法．

用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.

【例5】已知，，求下列各式的值：

(1) ；    (2) ；    (3)．

解题思路：先分解因式再代入求值.

【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：是一个完全立方数．                                                                （北京市竞赛试题）

解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可．

能力训练

A  级

   1. 如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．

（烟台市初中考试题）

2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题）

3．方程的整数解是__________．             （“希望杯”邀请赛试题）

4. 如果是完全平方式，那么的值为__________．        （海南省竞赛试题）

5. 已知()，则的值是(      )．

   A．2，         B．2          C．            D．

6．当，的值为(      )．

    A. －1            B．0          C．2               D．1

7．已知，，则M与N的大小关

系是(      )．

   A. M＜N          B．M＞N       C．M＝N            D．不能确定

（“希望杯”邀请赛试题）

8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是(     )．

  A. 388944       B.388945        C.388954          D.388948

（五城市联赛试题）

9．计算：

(1)                                       （北京市竞赛试题）

(2)                                            (安徽省竞赛试题)

10. 一个自然数恰好等于另一个自然数的平方，则称自然数为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若＝19982＋19982×19992＋19992，求证：是一个完全平方数．

（北京市竞赛试题）

11. 已知四个实数，，，，且，，若四个关系式，，，同时成立.

 (1)求的值；

 (2)分别求，，，的值．

（湖州市竞赛试题）

B 级

1．已知是正整数，且是质数，那么____________ .

（“希望杯”邀请赛试题）

2．已知三个质数的乘积等于这三个质数的和的5倍，则＝________ .

（“希望杯”邀请赛试题）

3. 已知正数，，满足，则

   ＝_________ .                                 （北京市竞赛试题）

4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取＝9，＝9时，则各个因式的值是：，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式，取＝10，＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．

（浙江省中考试题）

5．已知，，是一个三角形的三边，则的值(    )．

   A.恒正        B．恒负       C．可正可负        D．非负

                                                             (太原市竞赛试题)

6．若是自然数，设，则(    )．

   A. 一定是完全平方数                B．存在有限个，使是完全平方数

   C. 一定不是完全平方数              D．存在无限多个，使是完全平方数

7．方程的正整数解有(    )组．

    A.3             B．2            C．1            D．0

（“五羊杯”竞赛试题）

8．方程的整数解有(    )组．

    A.2             B．4            C．6             D.8

（”希望杯”邀请赛试题）

9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？

（美国中学生数学竞赛试题）

10．当我们看到下面这个数学算式时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：

，，，，…

你能发现以上等式的规律吗？

11.按下面规则扩充新数：

已有，两数，可按规则扩充一个新数，而以，，三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：

 (1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；

 (2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．

（重庆市竞赛试题）

12.设，，为正整数．被整除所得的商分别为，.

(1)若，互质，证明与互质；

(2)当，互质时．求的值；

( 3)若，的最大公约数为5，求的值．

（江苏省竞赛试题）

专题05　和差化积

——因式分解的应用

例1　或

例2　D　提示：（a－b）（a－c）＝7．a－b>0，a－c>0．

例3　（1）　提示：设1997＝a，则原式＝　

（2）221　提示：

例4　（1）x＝1，y＝－1　提示：（2x－3）（2＋3y）＝1；

（2）提示：（2x＋y）（x＋2y）＝2007×1＝669×3＝223×9＝（－1）×（－669）＝（－9）×（－223）．

例5　（1）a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝2×3＝6．

（2）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5．

（3）．

例6　提示：设m＝19951993，则a＝．

A组

1．a＋3b　　　　　

2．36　　　　　

3．（x，y）＝（6，5）或（4，5）

4．1或－3

5．A

6．D　　　　　

7．B　

8．A

9．（1）3　（2）　提示：设a＝22223，b＝11112，则原式＝．10.设，则.

11.(1)由,得,故.

   (2)由 ,,得 ,而,

 ∴,从而,又.

  当时,,解得,,；

当时,,解得,,；

B      级

1. 3 提示：原式=，            
2. 78
3. 8  提示：      
4. 101030或103010或301010
5. Ｂ 提示：原式=
6. Ｃ 提示：     7.  Ｃ       8. Ｃ

9. 提示：原式=，共有个因数.

10. ===

11. (1)499就是扩充三次的最大数

(2)， 取可得新数   ∴ 取可得新数   ∴,设扩充后的新数为，则总可以表示为，式中为整数.  当时,,又,故1999可以通过上述规则扩充得到.

12.(1)设s为与的最大公因数，则，（于是 .可见,是的因数,∵互质, ∴也互质,可见, 即与互质,同理可得: 与互质.

(2) ∵,∴.又都是正整数，

∴整除.因与互质，∴整除116，即.

而,具有相同的奇偶性,且,

∴或,解得或,∵互质, .

∴,∴.

(3)若设,则同(2)有

即,,且.根据(2)有,.∴.