函数与导数-浙江省杭州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

这是一份函数与导数-浙江省杭州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编，共33页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
函数与导数-浙江省杭州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题
1．（2021·浙江杭州·统考二模）已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（    ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·浙江杭州·统考二模）已知集合，，则（    ）．
A． B．
C． D．
3．（2021·浙江杭州·统考二模）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
4．（2022·浙江杭州·模拟预测）的最小值是，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
5．（2022·浙江杭州·模拟预测）设，则“”是“函数在为减函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．（2022·浙江杭州·统考二模）已知函数，且，则（    ）
A． B．
C． D．
7．（2022·浙江杭州·统考二模）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
8．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知，函数满足：恒成立，其中是的导函数，则下列不等式中成立的是
A． B．
C． D．
9．（2023·浙江杭州·统考一模）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江杭州·统考一模）若，则（    ）
A． B． C． D．
11．（2023·浙江杭州·统考一模）已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
12．（2023·浙江杭州·统考二模）设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
13．（2023·浙江杭州·统考二模）已知，，且，则ab的最小值为（    ）
A．4 B．8 C．16 D．32

二、多选题
14．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知，且，则（    ）
A． B．
C． D．
15．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（    ）
A． B．的一个周期是4 C．是偶函数 D．
16．（2023·浙江杭州·统考一模）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ）
A． B．
C． D．

三、双空题
17．（2021·浙江杭州·统考二模）已知，则______；若，则______．

四、填空题
18．（2022·浙江杭州·统考二模）对于二元函数，表示先关于y求最大值，再关于x求最小值.已知平面内非零向量，，，满足：，，记（m，，且，），则______.
19．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知实数，，，满足，，且，则的取值范围是_______．
20．（2023·浙江杭州·统考一模）若点在函数的图象上，则的取值范围是 ______ ．
21．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意，都有成立，则______．

五、解答题
22．（2021·浙江杭州·统考二模）如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且．

（1）求的最小值；
（2）求的取值范围．
23．（2021·浙江杭州·统考二模）已知函数，．
（1）当时，求证：对任意，；
（2）若函数图象上不同两点，到轴的距离相等，设图象在点，处切线交点为，求证：对任意，点在第二象限．
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）的内角的对边分别为,已知,
(1)若为边上一点,,且,求;
(2)若为平面上一点,,其中,求的最小值.
25．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，探究关于的方程的实数根的个数．
26．（2022·浙江杭州·统考二模）已知函数在时取到极大值.
（1）求实数a､b的值；
（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数t的取值范围.
27．（2022·浙江杭州·模拟预测）从年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度







平均产卵数个


















表中，.
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.
①记该地今后年中，恰好需要次人工防治的概率为，求取得最大值时相应的概率；
②根据①中的结论，当取最大值时，记该地今后年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.
附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.
28．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数．
(1)讨论函数零点个数；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
29．（2023·浙江杭州·统考一模）已知函数.
(1)若函数为增函数，求的取值范围；
(2)已知.
（i）证明：；
（ii）若，证明：.

参考答案：
1．B
【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.
【详解】根据题意，求导可得，，
∵（ ），
∴在上单调递增，
又∵当时，
∴当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
故有，即得，
所以根据题意，若使，需使的值域中包含，
即得，
故的最大值为2.
故选：B.
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.
2．B
【分析】首先解一元二次不等式得出集合，再根据对数函数的定义域得出集合，利用集合的交集运算可得结果.
【详解】∵，，∴.
故选：B.
3．D
【解析】易知的图象是由函数的图象向左平移一个单位长度得到，然后利用的奇偶性和极值求解.
【详解】因为，
所以的图象是由函数的图象向左平移一个单位长度得到，
因为为偶函数，
故的图象关于直线对称.
又时，，，
所以在上，，在上，，
所以在存在极值点，
所以在上存在极值点.
综上可知，只有选项D符合条件.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数的变形，得到与的图象关系而得解.
4．A
【分析】先求出的最小值为，再将时转化为恒成立问题即可求解.
【详解】当时，，令，得，则在上单调递减，上单调递增，即函数在处取得最小值，
所以问题转化为在上恒成立，
令，则在上恒成立
当时，不符合.
当时，对称轴，则或
解得或，
所以
故选：A.
5．B
【分析】根据为单调减函数解出的范围，即可判断得结果.
【详解】由题意可得为减函数，
则，解得.
因为推不出，，
所以“”是“函数在为减函数”的必要不充分条件，
故选：B
6．A
【分析】首先确定函数的单调性，再构造函数，研究函数的奇偶性，再依次判断题中的不等式是否成立即可．
【详解】由函数单调性性质得：，在R上单调递增，
所以在R上单调递增，
令函数，
则，
所以，
则函数为奇函数，且在R上单调递增，
故.
故选：A．
7．D
【解析】确定函数图象关于直线对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论．
【详解】函数定义域是，由于的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此的图象关于直线对称，排除AC，
有无数个零点，因此也有无数个零点，且当时，，排除B．
故选：D．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8．A
【详解】分析：利用已知条件，构造函数g（x）=cosxf（x）利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解即可．
详解：因x∈（0，），
故tanxf（x）＞f′（x）⇔sinxf（x）＞f′（x）cosx⇔sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，
令g（x）=cosxf（x），则 g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＜0，
所以函数g（x）在（0，）为减函数，
∴cosf（）＞cosf（），∴f（）＞f（）．
故答案为：A．
点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化得到sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，其二是构造函数g（x）=cosxf（x）.
9．C
【分析】先求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【详解】依题意得，，
所以．
故选：C．
10．B
【分析】构造函数，对求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．
【详解】令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，所以，
所以，，
所以，
故．
故选：B
11．D
【分析】首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用即可求出的取值范围．
【详解】函数 ，
令，由，则，
又函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
即在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
作出的图象如下，

所以，得．
故选：D．
12．C
【分析】求出两个集合，再根据集合的交集、补集运算即可.
【详解】由题意可得：，所以，故.
故选：C
13．C
【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.
【详解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选：C.
14．AD
【详解】等式两边取对数，构造函数函数，结合图象得到与的范围.
【解答】解：两边取对数，得，构造函数，
则.，
则在上单调递增，在上单调递减，且，
得的图象如下所示，
又，所以.
故选：AD.

15．BC
【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得从而可判断B项，根据周期性与奇偶性可判断A项，根据奇偶性与导数运算可得，从而可判断C项，在中，令代入计算可判断D项.
【详解】因为函数是奇函数，，
所以，
所以，即：，故的周期为4，
所以，故的一个周期为4，故B项正确；
，故A项错误；
因为函数是奇函数，
所以，
所以，即：，
所以为偶函数，故C项正确；
因为，
所以，
令，可得，解得：，故D项错误.
故选：BC.
16．ABD
【分析】由题意可得，，令，可得，代入方程可得，变形为，根据函数的单调性及已知，，可得，，进而根据指数与对数的运算性质以及导数判断出结论的正误．
【详解】由题意可得，，
令，则，
代入方程可得，
变形为，
令，，
可知函数在上单调递减，
又，，
，即．
由，，即，因此A正确；
，因此B正确；
，因此C不正确；
令，则，
函数在上单调递增，，
，因此D正确．
故选：ABD
【点睛】利用导数可求得函数的最值（范围），步骤如下：先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导函数求得函数的单调区间，再根据单调性求得函数的最值（范围）.
17． 4 1或
【分析】直接代入函数即可求得的值；根据分段函数每一段的自变量的范围，对进行分类讨论，分别求出相应的的值即可.
【详解】∵，∴；
∵，
∴当时，，解得，
当时，，解得.
故答案为：4；1或.
18．2
【分析】记，，，构建直角坐标系，根据向量几何意义判断所在直线的斜率，设，，，结合函数的定义、数形结合思想研究相关向量的模长随点的变化情况，进而求目标式的值.
【详解】记，，，则表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线的斜率为.
设，，，
记，，则，，

所以.
先让m不变，n变化，即点D固定，点E变化，那么，其中，接着再让m变化，即点D变化，求的最小值.
因为，当且仅当时取得等号.
综上，.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：利用向量几何意义，构建直角坐标系并设A、B、C的坐标，根据函数新定义、数形结合思想将问题转化为两向量模长的比值，讨论动点位置变化对向量模长的影响确定目标式的值.
19．
【分析】由实数，，，满足，且，得出，从而得出的范围，用表示，构建函数，求解取值范围.
【详解】解：实数，，，满足，且，
所以，
若则，
若则，
所以，，
因为关于的方程为，
所以解得：，
设，由得，，则，
因为要成立，
故，
设函数，
因为在上恒成立，
故函数单调递减，
所以，，
所以此时在的值域为，
即当时，；
设函数，
因为
在上恒成立，
故函数单调递增，
所以，，
所以此时在的值域为，
即当时，，
综上：.
【点睛】本题本质上考查了函数的最值问题，解题的关键是要能构建出关于的函数，通过函数思想求解取值范围，还考查了学生整体换元的思想.
20．
【分析】运用两点的距离公式和不等式的性质，以及构造函数并利用导数判断单调性，可得所求取值范围．
【详解】由，，
可得，
因为恒成立，
所以，即；
设，，
因为，所以，即在递减，
所以，
则，即，
则的取值范围是.
故答案为：
【点睛】利用导数可求得函数的最值，步骤如下：先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导函数求得函数的单调区间，再根据单调性求得函数的最值.
21．/
【分析】根据条件表示出，再令，求导分类研究函数单调性，进而求出结果.
【详解】因为，
所以，，
所以，
令，
则，
则，
，
令，则，
令，得，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
当，时，，
则，单调递增，
，即，
所以当，时，成立，
当，时，，
则，单调递增，
，即，
所以当，时，成立，
综上所述.
故答案为：.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．（1）；（2）．
【分析】（1）利用导数求出抛物线在点处的切线方程，将切线方程与椭圆方程联立，由求出的取值范围，求出直线的方程，并将直线的方程与抛物线的方程联立，由韦达定理得出，再利用基本不等式可求得的最小值；
（2）记点、到直线的距离分别为、，求出、，可得出，结合的取值范围可求得的取值范围.
【详解】（1）对函数求导得，所以抛物线在点处的切线方程为，即，
联立，得，
所以，解得，
所以直线的方程为，
联立，得，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为；
（2）记点、到直线的距离分别为、，
所以，，
所以，
因为，所以，
所以，所以的取值范围为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由题意令，证明有恒成立，利用导数研究的单调性易得，可证结论.
（2）由题意易得在上单调递增有，进而求的坐标，写出切线方程，即可求M的坐标，利用导数判断其横、纵坐标的符号，即可证结论.
【详解】（1）据题意，对任意，恒成立，即证恒成立，即证恒成立，
当时，有，，
令，则，
∵，
∴，即函数在上单调递增，
∴，即．
∴得证.
（2）∵的定义域为，
∴，即当时，，则函数在上单调递增，
设点，，有，即，而，即，有，
∵，，假设，则，
∴，可得，，
∴图象在点，处的切线方程可分别表示为：，，
联立可得，交点的坐标即为
，令，则，即恒成立，有；

∴点在第二象限．
【点睛】关键点点睛：
（1）构造，证明有恒成立即可.
（2）利用导数判断的单调性，由题设求，处的切线方程，进而求交点M，并判断横纵坐标的符号.
24．(1)
(2)

【分析】(1)先根据正弦定理求出角的值,再利用求出的值,由正弦定理可得即可求解;
(2)根据已知条件可以求出的值,,再把用表示,从而表示为关于的二次函数求解最小值即可.
【详解】（1）由可得,
即,
,,
,.
,
即,
则,
,,
在中,由正弦定理可得,
即,
解得.
（2）,
即,
则,
,

(*),
根据已知条件,
,
代入(*)式得:,
当时,取得最小值为.
25．（1）函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）根据函数奇偶性，只研究在上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即可求得函数的单调区间；
（2）对参数进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数．
【详解】解：（1）当时，，所以，即为偶函数．
讨论：当时，，
所以．
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
又根据偶函数图象关于轴对称知，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，所以．
讨论：当时，对任意的恒成立，此时在上单调递增．
又，所以关于的方程无实数根；
当时，，使得，即，
且当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
，．
ⅰ．当，即时，关于的方程在区间上无实数根，所以关于的方程在上无实数根；·
ⅱ．当，即时，关于的方程在上有1个实数根，所以关于的方程在上有2个实数根．
综上，当时，关于的方程有2个实数根；当时，关于的方程无实数根．
【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数．（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）
26．（1），；（2）.
【分析】（1）因为在时取得极大值，所以可得答案.
（2）设，讨论函数的单调性，得出的表达式，从而得到的解析式，再根据为增函数，求出参数的范围.
【详解】（1）∵
因为在时取得极大值
所以即
解得，,此时 ，
当 时，，在上单调递增.
当,或时，，在，单调递减.
所以满足在时取到极大值.
所以，
（2）设，则.
当时，恒成立.
当时，，
从而
∴在上恒成立，故在上单调递减.
∵，，所以.又曲线在上连续不间断.
故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的，使得.
∴当时，，当时，.
∴所以∴,
故
由于函数为增函数，且曲线在上连续不间断，
∴在和上恒成立.
①当时，在上恒成立，即在上恒成立，
记，，则.，
当时，，当时，，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以.故，解得.
②当时，，当时，在上恒成立.
综合①, ②知，当时，为增函数，故t的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查根据极值求参数值和由函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是先讨论的单调性，得出的表达式，从而得到的解析式，属于难题.
27．（1）更适宜；；（2）①；②，.
【分析】（1）利用图象可得出更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，对，两边取自然对数，求出关于的回归方程，进而可得出关于的回归方程；
（2）①对函数求导数，利用导数判断该函数的单调性，求出函数取最值时对应的的值；
②由取最大值时对应的的值，得出，由二项分布的数学期望和方差公式可得出、的值.
【详解】（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，
对两边取自然对数得，令，，，则.
因为，，
所以，关于的回归方程为，
所以，关于的回归方程为；
（2）①由，，
且，当时，；当时，.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，；
②由①可知，当时，取最大值，
又，则，由题意可知，，.
【点睛】本题考查非线性回归方程的求解，考查了利用导数求函数的最值，同时也考查了利用二项分布求随机变量的数学期望和方差，考查计算能力，属于中等题.
28．(1)答案见解析；
(2).

【分析】（1）将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.
（2）分三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.
【详解】（1）由，得,
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，
据此可画出大致图象如图，

所以（i）当或时，无零点：
（ii）当或时，有一个零点；
（iii)当时，有两个零点；
（2）①当时，即恒成立，符合题意；
②当时，由可得，则，
则，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当时，，
即恒成立，即符合题意；
③当时，由（1）可知，，在上单调递增．
又，，
所以，使.
i）当时，，即，
设，
则，所以在上单调递减，
所以时，；
ii）当时，，即，
设，
因为，
令，则，
又令，
则，得在上单调递增，
有，
得在上单调递增，有，
则，得在上单调递增，
则时，，
又时，，
得当时，时，，
由上可知，在上单调递增，则此时，
综上可知，a的范围是.
【点睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a的正负，看能否保证不等式恒成立，特别是当时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此求得参数a的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.
29．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解；
（2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可；
（ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果.
【详解】（1）∵，则，
若是增函数，则，
且，可得，
故原题意等价于对恒成立，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递增，在递减，故，
∴的取值范围为.
（2）（i）由（1）可知：当时，单调递增，
∵，则，即，
整理得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递减，在递增，
故，即，当且仅当时等号成立，
令，可得，
故；
（ii）∵，则，
可知有两个不同实数根，由（1）知，
可得，
同理可得，
构建，则，
当时，；当时，；当时，；
且，故对恒成立，
故在上单调递减，
∵，则，即，
且，则，故，
可得；
又∵，由（i）可得，即，
则，
且，则，
可得；
综上所述：.
可得，则
故.
【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数h(x)．
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．