平面解析几何-广东省广州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

这是一份平面解析几何-广东省广州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编，共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
平面解析几何-广东省广州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题
1．（2023·广东广州·统考二模）已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（    ）
A． B． C． D．1
3．（2022·广东广州·统考一模）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（    ）
A． B． C． D．
4．（2021·广东广州·统考三模）设为坐标原点，过拋物线的焦点的直线交拋物线于两点，为线段的中点，则（    ）
A．以线段为直径的圆与直线相切
B．
C．当时，
D．三角形的面积最小值为4
5．（2021·广东广州·统考二模）已知双曲线的左､右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．
6．（2021·广东广州·统考一模）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
7．（2023·广东广州·统考二模）已知圆：，则（    ）
A．圆关于直线对称
B．圆被直线截得的弦长为
C．圆关于直线对称的圆为
D．若点在圆上，则的最小值为5
8．（2022·广东广州·统考一模）如图，长方体中，，，，点M是侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．当PM长度最小时，三棱锥的体积为
B．当PM长度最大时，三棱锥的体积为
C．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为
D．若M在平面内运动，且，则点M的轨迹为圆弧
9．（2021·广东广州·统考三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（    ）
A．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为
B．双曲线的渐近线方程为
C．为定值
D．存在点，使得
10．（2021·广东广州·统考二模）过双曲线的左焦点作直线交于，两点，则（    ）
A．若，则直线只有条 B．若，则直线有条
C．若，则直线有条 D．若，则直线有条

三、填空题
11．（2021·广东广州·统考二模）已如椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为________．
12．（2021·广东广州·统考一模）已知圆与双曲线的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为，且，则的离心率为_______.
13．（2021·广东广州·统考二模）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，两点，若线段的中点的横坐标为2，则_________.
14．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.

15．（2022·广东广州·统考一模）若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为________.
16．（2022·广东广州·统考三模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为___________．
17．（2022·广东广州·统考二模）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程__________．
①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为﹔③焦距大于10
18．（2022·广东广州·统考三模）已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到直线的距离之和的最小值是___________.
19．（2022·广东广州·统考一模）设双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线分别与双曲线的左、右支交于点、，若以为直径的圆过点，且，则该双曲线的离心率为______．

四、双空题
20．（2023·广东广州·统考二模）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，的最小值为___________
21．（2023·广东广州·统考一模）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________.

五、解答题
22．（2023·广东广州·统考二模）已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.
23．（2022·广东广州·统考一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.
24．（2022·广东广州·统考三模）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，线段上一点满足.记动点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程；
(2)设为原点，曲线与轴正半轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，若，求证：直线经过定点.
25．（2021·广东广州·统考二模）设O为坐标原点，已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P为直线上一点，是底角为的等腰三角形.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）若，设不与x轴重合的直线l过椭圆E的右焦点，与椭圆E相交于A､B两点，与圆相交于C､两点，求的取值范围.

参考答案：
1．A
【分析】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C，根据方向向量的直线斜率为，结合反射的性质可得，再结合等腰直角三角形的性质列式求解即可.
【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.
因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率.
故选：A
2．A
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
故选：A
3．A
【分析】由题意画出图，由已知求出的值，找出的坐标，由的内切圆圆心分别为，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.
【详解】由题意如图所示：

由双曲线，知，
所以，
所以，
所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出，
由题知的内切圆的半径相等，
且，的内切圆圆心
的连线垂直于轴于点，
设为，在中，由等面积法得：

由双曲线的定义可知：
由，所以，
所以，
解得：，
因为为的的角平分线，
所以一定在上，即轴上，令圆半径为，
在中，由等面积法得：
，
又
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
故选：A.
4．C
【分析】直线方程为，代入抛物线方程由韦达定理得，从而可得，表示出中点坐标，求出，比较到直线的距离与的关系可判断A，求出可判断B，利用时有，求得两点横坐标得焦点弦长，判断C．求得三角形的面积得最小值，判断D．
【详解】由题意，设直线方程为，代入抛物线方程得，
所以，
所以，所以，
，
A．以线段为直径的圆的圆心到直线距离为，圆与直线相离，A错；
B．，B错；
C．时，，又，，两式联立解得，所以，C正确；
D．
，D错．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的焦点弦的性质，掌握焦点弦性质是解题关键．
设抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点，，则
（1），当是轴垂直时，，此时称为抛物线的通径；
（2），；
（3）若直线的倾斜角为，则；
（4）以为直径的圆与准线相切．
（5）焦点到两点在准线上的投影的张角为，
（6）．
5．C
【分析】设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【详解】根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，
， ，
，
当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入，可得 ，即，即 ．
所以双曲线的渐近线方程为：．
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题
6．D
【分析】根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解.
【详解】将代入得，
将代入得，
所以A，B不在直线l上，
又上，
所以点p在线段AB上，
直线AB的方程为：，
由，解得，
直线方程，即为，
设直线的倾斜角为，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
即，
因为，
所以，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解.
7．BCD
【分析】利用圆的方程可求得圆心与半径，由直线不过圆心即可判断A；求出圆心到直线的距离，进而求得弦长，即可判断B；设圆关于直线对称的圆的圆心为，列方程组求出，由此可得所求圆的方程，即可判断C；表示与点的距离，求得，进而可得所求的最小值，即可判断D．
【详解】圆的一般方程为，
，故圆心，半径为＝5，
，则直线不过圆心，故A错误；
点到直线的距离，
则圆被直线截得的弦长为，故B正确；
设圆关于直线对称的圆的圆心为，
则，解得，即，
故圆关于直线对称的圆的方程为，即，故C正确；
表示与点的距离，又，
的最小值是，故D正确．
故选：BCD．
8．AC
【分析】由等体积法可判断AB，由圆的知识可判断C，利用空间向量法求夹角余弦值，可判断D.
【详解】对于A，当PM长度最小时，点在线段的中点，
， ，A正确.
对于B，当PM长度最大时，点与点或点重合，若点与点重合，
，
当点与点重合时，由于与平面不平行且在该平面同侧，
所以此时体积不为，所以B错误.
对于C，作中点，连接，如下图所示，易证平面，
平面，则，若保持，则，
则点M的轨迹是以为半径的半圆弧，长度为，C正确.
对于D，以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：

则，，，设
则有，，
若，则有，
即，
化简得：，
即，
即或（此时，）,
故点M的轨迹为一段直线，D错误.
故选：AC
9．AC
【分析】根据双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，分别求得，验证选项B，再由点到直线的距离求出c得双曲线方程，验证A，然后根据斜率公式和点P的坐标，验证选项C，D.
【详解】因为双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，
所以，，渐近线方程为，故B错误；
不妨设双曲线的焦点到的距离为1，即，解得，
又，故，所以双曲线方程为，故A正确；
因为，设，则，故C正确；
，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则 ，所以，所以不存在点P，使得+=1，故错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：根据双曲线的离心率推出，结合斜率公式、渐近线的斜率，是解决CD选项的关键所在，属于中档题.
10．ABD
【分析】先由双曲线方程得到焦点坐标和渐近线方程；当直线的斜率不存在时，求直线的方程，以及此时弦长；当直线的斜率存在，可设的方程为，设，，为使与有两不同交点，只需；联立直线与双曲线方程，根据弦长公式，表示出；再逐项判断求出值，即可得出结果.
【详解】因为双曲线的左焦点的坐标为，该双曲线的渐近线方程为，
若直线的斜率不存在，则的方程为，代入可得，此时；
若直线的斜率存在，可设的方程为，设，，
为使与有两不同交点，只需；
由消去整理得，
则，所以；
A选项，由可得，无解；因此，若，则的方程只有；故A正确；
B选项，由可得或，解得无解或，因此，若，则的方程为；故B正确；
C选项，由可得或，解得无解或，因此，若，则的方程为；故C错；
D选项，由可得或，解得或，因此，若，则的方程为或；故D正确；
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：
已知过焦点的弦长求弦所在直线方程的个数问题时，可联立直线与曲线方程，由弦长公式，表示出弦长，列出方程求解，即可得出结果.（有时也利用数形结合的方法进行求解）
11．
【分析】由椭圆定义、点关于直线的对称性及已知向量等式求出，进而求得，即可求出椭圆方程.
【详解】因为与关于直线对称，所以直线为的垂直平分线.
所以，由椭圆定义可得.
设直线与交于点，则为的中点，且，所以

所以，，又，解得.
又，则，故椭圆C的方程为.
故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于结合图形由向量等式求出.
12．
【分析】由对称性知关于轴对称，关于轴对称，设得渐近线方程，设，，由可得，渐近线方程与圆方程联立消元后由韦达定理得，结合可求得，从而可得离心率．
【详解】设，渐近线方程是，如图，由对称性可设，，，，
则，，所以，①，
由，得，②，③，
①代入②得，，代入③得，解得，
所以．
故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出渐近线的斜率，为此设渐近线方程为，设出圆与双曲线的四个交点的坐标，渐近线方程代入圆方程后应用韦达定理得，由已知弦长关系可得，从而结合后可求得．
13．
【分析】利用中点坐标公式和焦点弦弦长公式即可得出．
【详解】解：由抛物线可得．设，．
线段的中点的横坐标为，．
直线过焦点，
．
故答案为：．
14．
【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的离心率.
【详解】设，
由，解得，
所以，
所以，
设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示，
则，
两式相加得，即，
过作，垂直为，
则四边形为矩形，所以，，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：

【点睛】求解椭圆离心率的问题，思考方向有两个，一个求得求得，从而求得椭圆的离心率；一个是求得关于的关系式，可以是一次式，也可以是二次式，但必须是齐次式，由此化简求得椭圆的离心率.
15．
【分析】利用导数求出与直线平行且与曲线相切的直线，切点到直线的距离即为最小距离.
【详解】设，，
设直线与曲线相切，切点为，且直线与直线平行，
则有，得，，即
如图所示：

此时到直线的距离最小，.
故答案为：
16．1
【分析】由抛物线的定义可得，再求出的值即可.
【详解】由抛物线可知其焦点为，
由抛物线的定义可知，

故点到点的距离与到轴的距离之和为，
即点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为1.
故答案为：.
17．（答案不唯一，写出一个即可）
【分析】根据①设出双曲线方程，根据②求出与的关系式，根据③对进行赋值，进而联立解方程求出双曲线方程，答案不唯一.
【详解】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：
由②一条渐近线方程为知，，即
由③知，，即，
则可取（此处也可取大于的其他数）
又，，

则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：
故答案为：（答案不唯一, 写出一个即可）.
18．4
【分析】根据抛物线方程求得焦点F坐标和准线方程，由圆的方程求得圆心坐标，半径，然后根据抛物线的定义，将问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点F距离之和的最小值，从而即可求解．
【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，半径为1，
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离， 从而可得：当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到直线距离之和的最小为 ，
故答案：4.
19．
【分析】先根据题意，判断出△为等腰直角三角形，找到，在△中，利用余弦定理建立关于a、c的齐次式，求出离心率e.
【详解】
因为以为直径的圆过点，所以，又，所以△为等腰直角三角形，所以.
设，则由双曲线的定义可得：，两式相加得：，即.所以，解得：.
在△中，，，，
由余弦定理得：，
即，整理化简得：
.
故答案为：.
【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：
（1）直接求出a、b、c，计算离心率；
（2）根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．
20． /0.5
【分析】作出平面区域并计算平面区域的面积；设，，显然，，，求的最小值，即的最小值，的最大值，令，对函数求导，得到单调性，可求出最值，即可求出的最小值.
【详解】设，，
当时，则，即，
当时，则，即，
当时，则，即
当时，则，即，
故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形的面积：

则.
如下图，设，，显然，，
，
求的最小值，即的最小值，的最大值，
又，下面求的最小值，
令，，即，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，有最小值，且，
所以.
故答案为：；.

21．
【分析】根据给定条件，作出平面截正方体所得截面，再确定点的轨迹，计算长度即可；再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离作答.
【详解】在正方体中，连接，如图，对角面为矩形，

因为点分别是棱的中点，则，而，
即平面截正方体所得截面为梯形，显然过点与平面平行的平面交平面、平面
分别于，因此，连，平面、平面与平面分别交于，，
因此，而，即四边形为平行四边形，于是，
即点M为的中点，同理为中点，，因为动点始终满足平面，
于是平面，又在侧面上，所以点的轨迹是线段，轨迹长为；
以点D为原点建立空间直角坐标系，则，
则，令，
则有，，
于是点到直线的距离，
当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为.
故答案为：；
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
22．(1)
(2) 或

【详解】（1）设，则以为直径的圆的圆心为，根据圆与y轴相切，可得，化简得 ，
所以C的方程为
（2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线：，，
联立，
所以，
设直线的倾斜角为，则
所以，
所以 ，
由题意可知四边形为梯形，所以 ，
设，则 ，
所以，
当单调递增，当单调递减，
所以当时，即时，面积最小，此时，故直线的方程为： ，即 或

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．必要时也可以利用导数求解最值.另外在解析几何中还要注意向量的应用.
23．(1)抛物线的方程为，圆的方程为
(2)证明见解析

【分析】（1）根据抛物线的焦点到准线的距离可得的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确定圆心与半径，即可得圆的方程；
（2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得所满足的方程.
【详解】（1）解：由题设得，
所以抛物线的方程为.
因此，抛物线的焦点为，即圆的圆心为
由圆与轴相切，所以圆半径为，
所以圆的方程为.
（2）证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则.
故设过点且与圆相切的切线方程为，即.
依题意得，整理得①；
设直线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故，②，
由得③，
因为点，
则④，⑤
由②，④，⑤三式得：

，
即，
则，即，
所以点在圆.
24．(1)；
(2)见解析

【分析】（1）设，由求得，结合圆的方程即可求解；
（2）设，由得，设出直线，联立曲线，结合韦达定理表示出，解得，即可得到过定点.
（1）

由题意，设，又，则，又因为点在圆上，
所以，故曲线的方程为；
（2）

由题意，，设，则，易得斜率必然存在，所以，
设，由图象易知，直线斜率不存在时不符合题意，设直线的方程为，
联立曲线的方程，得，得，
所以，由题意知，直线均不过原点，所以，从而，
所以，
解得，满足，所以直线的方程为，恒过定点.
25．（1）；（2）．
【分析】（1）设直线与x轴交于点Q，由是底角为的等腰三角形，结合图像，可知是特殊的直角三角形，利用余弦定义可得到；
（2）由（1）知，椭圆的方程为：，设直线的方程为：，点，联立，化简整理得，利用韦达定理及弦长公式求出，利用几何法求得直线截圆的弦长，可得出关于m的函数关系，利用不等式的性质求解即可．
【详解】设直线与x轴交于点Q，由是底角为的等腰三角形， ，，
在直角中，，，，
利用余弦定义可知，解得：
所以椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，且，则，故，
所以椭圆的方程为：
设不与轴重合的直线的方程为：，设点
联立，化简整理得
其中，，
利用弦长公式可得：
设圆的圆心O到直线的距离为d，则
利用圆的弦长公式可得：
所以
，，

所以的取值范围是．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．