平面解析几何-浙江省温州高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

平面解析几何-浙江省温州高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题

1．（2023·浙江温州·统考二模）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

3．（2023·浙江温州·统考二模）椭圆中，为右焦点，为上顶点，为坐标原点，直线交椭圆于点（点位于第一象限），若，则该椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·浙江温州·统考二模）如图，已知线段垂直于定圆所在的平面，是圆上的两点，是点在上的射影，当运动时，点运动的轨迹（    ）

A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形

5．（2022·浙江温州·三模）已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，则p的值等于（    ）

A． B．2 C． D．4

6．（2022·浙江温州·统考二模）双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·浙江温州·统考二模）已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．（2021·浙江温州·统考三模）如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（    ）

A． B．4 C． D．3

二、多选题

9．（2023·浙江温州·统考二模）已知圆的方程为，对任意的，该圆（    ）

A．圆心在一条直线上 B．与坐标轴相切

C．与直线不相交 D．不过点

三、填空题

10．（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线和椭圆相交于两点，且抛物线的焦点也是椭圆的焦点，若直线过点，则椭圆的离心率是__________．

11．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．

12．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆和在相同的焦点，，离心率分别为，B为椭圆的上顶点，，且垂足P在椭圆上，则的最大值是___________.

13．（2022·浙江温州·统考二模）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是_________.

14．（2021·浙江温州·统考三模）已知、是离心率为的双曲线的右顶点和右焦点，记、到直线的距离分别为、，则_________．

四、双空题

15．（2022·浙江温州·统考二模）直线过定点_________，倾斜角的最小值是_________.

16．（2021·浙江温州·统考三模）已知圆C经过点、、，直线l与圆C相切于点B，则圆C的方程为________，直线l的方程为________．

17．（2021·浙江温州·统考二模）已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则________，椭圆的离心率为_________．

五、解答题

18．（2023·浙江温州·统考二模）已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限．

(1)求点横坐标的取值范围；

(2)线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值．

19．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，，P是直线上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，斜率为的直线与双曲线交于C，D两点．

(1)求的值；

(2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点P，满足，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

20．（2023·浙江温州·统考二模）如图，斜率为的直线交抛物线于两点，已知点的横坐标比点的横坐标大4，直线交线段于点，交抛物线于点．

（1）若点的横坐标等于0，求的值；

（2）求的最大值．

21．（2022·浙江温州·三模）如图，已知椭圆和圆，直线交圆于上下两点A，B，点P为椭圆的右顶点，分别交椭圆于E，F，G，记的斜率分别为.

(1)求的值；

(2)记和的面积分别为，若，求t的值.

22．（2022·浙江温州·统考二模）如图，平行四边形的顶点在曲线：上，顶点在曲线：上，直线方程为.

(1)用表示；

(2)求直线在轴上的截距的最大值.

23．（2021·浙江温州·统考三模）如图，A，B是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上异于A，B的一点，直线分别交直线于M，N两点直线的斜率分别记为．

（1）求的值；

（2）若线段的中点Q恰好在以为直径的圆上，求m的取值范围．

24．（2021·浙江温州·统考二模）如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于和（其中在轴的上方），交轴于点．

（1）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；

（2）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程．

参考答案：

1．A

【分析】设，则，由题意表示出则，代入解方程即可得出答案.

【详解】利用对称性建系易知，可设，则，

则由，

而，

所以.

故选：A．

2．B

【分析】设，然后表示出两条切线方程，从而可表示出直线的方程，再利用点到直线的距离公式表示出原点到直线距离，从而可求出其最大值.

【详解】设，切点为，

由，得，则，

所以在点处的切线方程为，即，

因为，所以

在点处的切线方程为，即，

因为，所以

因为两切线都过点，

所以，，

所以直线的方程为，即，

所以原点到直线距离为

，当且仅当时取等号，

所以原点到直线距离的最大值为，

故选：B

3．A

【分析】根据题意画出图象，联立椭圆与直线方程，求解出点，根据点到直线距离公式求得点到直线的距离，结合和椭圆离心率公式，即可求得答案.

【详解】根据题意画出图象，如图：

由如图可知点．

联立椭圆与直线方程

，解得或

可得点的坐标为：．

，

根据直线截距式方程可得：直线的方程为，

即，

点到直线的距离为．

，

由，可得

化简得：，

即或（显然不可能，舍去），

，

该椭圆的离心率．

故选：A．

【点睛】本题主要考查椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算，解题关键是掌握椭圆离心率计算公式.

4．A

【分析】过点作圆的直径，连接，再过点作于，连接.通过证明平面可得，进而可证明平面，可得，即可选出正确选项.

【详解】

如图，过点作圆的直径，连接，再过点作于，连接，

因为平面，所以．又由为圆的直径得，

且，所以平面，所以．又，

且，所以平面，所以．

所以当点运动时，点运动的轨迹是以为直径的圆．

故选:A．

【点睛】本题主要考查立体几何中的垂直关系与动点轨迹的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．

5．C

【分析】先求出双曲线的右焦点，再由题意可得，从而可求出p的值

【详解】的右焦点为，即

故选：C.

6．B

【分析】根据双曲线的离心率公式进行求解即可.

【详解】由，因此，

所以该双曲线的离心率，

故选：B

7．D

【分析】当在圆内时，由几何性质可得，此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，从而可得答案.

【详解】当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,

则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1 .

连接, 则, 所以

则

此时的轨迹是以为焦点的椭圆.

当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.

当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,

则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2 .

连接, 则, 所以

则

此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.

同理当在圆上运动时，还会得到

所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以

故选： D

8．B

【分析】设出点A，B，C的坐标，利用直线AB，AC，BC斜率的关系建立等式即可得解.

【详解】依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为：

，

因，则，即，

则，因F(1，0)在直线AB上，则，而，

有，即，点A在直线上，

又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.

故选：B

9．ABC

【分析】对A：显然圆心在上；对B：用圆心到坐标轴的距离判断；对C：用圆心到直线的距离判断；对D：将点代入圆方程看是否有解.

【详解】对于：显然圆心在故A对；

对于B：圆心到坐标轴的距离均为，等于圆的半径，故该圆与坐标轴相切，B正确；

对于C：圆心到直线距离，故相离，C对；

对于D：将点代入圆方程得，

显然，故有解，所以可能过点错；

故选：ABC．

10．/

【分析】由题意可判断为抛物线和椭圆的通径，通过通径的公式可求出的值，进而求出椭圆的离心率.

【详解】显然，由对称性易知为双通径，

所以，

所以．

故答案为：.

11．/.

【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.

【详解】因为，

所以，

所以当时，取得最大值，

因为，所以的最小值为，

因为的最大值是它的最小值的2倍，

所以，

所以，所以，

所以椭圆的离心率为，

故答案为：.

12．

【分析】首先分别表示出，设，将表示成关于的三角函数，然后求其最值即可.

【详解】由图知，则，

设，则，

则，当且仅当时等号可取到.

故答案为：.

13．/

【分析】分析题目条件，利用向量的数量积结合几何性质解题

【详解】由题，令，则,

因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上，

，又因为，利用数量积公式展开可得，

所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆，

所以C的横坐标的最大值为，

，即为在上的投影，最大值为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何图形的关系转化向量的关系.

14．

【分析】计算出，由此可得出，即可得解.

【详解】由已知条件可得出，则，所以，.

故答案为：.

15．     ；     /.

【分析】根据直线含参数且恒过定点，让参数前面的系数为零即可，先求出斜率的取值范围，进而可求出直线的倾斜角的最小值.

【详解】直线可以化为恒定点，则.

直线可化为.

.

则倾斜角的最小值是.    

故答案为：；.

16．     ；    

【分析】已知圆上三点，设出圆的一般方程代入，即可求出圆的方程；点斜式设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径即可得解.

【详解】设圆的方程为，则

，，,故圆的方程为，即.

易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即；由圆的方程知圆心，；因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离，解得，故直线的方程为.

故答案为：；.

【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

17．         

【分析】设，得到，根据椭圆的定义，求得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，结合离心率的定义，即可求解.

【详解】如图所示，不妨设，

因为，所以，

由椭圆的定义可得，所以，

在中，由余弦定理可得，

在中，由余弦定理可

，

所以离心率.

故答案为：；.

【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

18．(1)

(2)

【分析】（1）设，则，根据向量定比分点公式，将坐标代入双曲线，用表示出，求的取值范围即可.

（2）根据，用表示出，求出其值即可.

【详解】（1）由双曲线即可得交点，

设，则，

根据向量定比分点公式：，

将坐标代入双曲线得：，

两式相减得：

则有：，再结合，解得，

故．

（2）由可得，

在上则有

，将代入，

，

根据双曲线的定义，，

显然，

，

，

则，当且仅当时取等号，

故为．

【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．

19．(1)；

(2)存在或满足题意．

【分析】（1）设出，然后计算即可得；

（2）假设存在，设设，写出直线方程，设，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得，代入到式子中，同理设，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算，然后由条件求得得定点坐标．

【详解】（1）由已知，，设，，

∴，，；

（2）设，（），∴，

∴直线的方程是，设，，

代入双曲线方程得，

即，

，，

，

同理的方程为，设，，

仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：

，

，，

∴

．

由得，

整理得，∵，∴，

∴存在或满足题意．

【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得，代入到式子中，最后利用已知条件求得，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．

20．（1）8;（2）．

【分析】（1）先根据点的坐标得的值，然后将直线的方程与抛物线方程联立，构建关于的二次方程，最后利用弦长公式求解；（2）先设出直线的方程，与抛物线方程联立，构建关于的二次方程，再根据点的横坐标满足的条件可求得满足的关系式将直线的方程联立，可求得点的横坐标，将直线的方程与抛物线方程联立，构建关于的二次方程，结合根与系数的关系、弦长公式、二次函数的最值即可求解．

【详解】解：（1）， ． 联立得，

设，则．

（2）设的方程为，代入，得，

，，．

由， 联立得，

， 则

.所以，当时，取得最大值．

【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．计算量较大是本题的难点也是本题的易错点.

21．(1)

(2)

【分析】（1）算出的坐标，然后可得答案；

（2）联立直线与椭圆的方程可求得点的坐标，同理可得点的坐标，设为，然后分别求出、，然后利用、可算出答案.

(1)

因为，所以，

因为，所以，所以.

(2)

因为，所以，

所以，同理，

设为，则，

同理，

所以，

因为，所以

解得，所以，所以.

22．(1)

(2)

【分析】（1）首先利用临界状态求得的取值范围；设，联立，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得出答案；

（2）根据题意可设直线的方程为，，联立，利用韦达定理求得，再根据弦长公式求得，再根据，将用表示，再利用导数求出答案即可.

(1)

当直线过椭圆的左顶点时，，解得：；

当时，直线，即，

由得：，

直线，即；

由得：；由得：；

此时，，

即四边形不是平行四边形，；

当直线过椭圆的右顶点时，，解得：；

同理可知：；

又平行四边形的顶点在曲线：上，顶点在曲线：上，；

设，，联立得：，

则，，

则，

，.

(2)

四边形为平行四边形，；

设直线的方程为：，，，

联立得：，则，；

，

因为，

所以，

即，

，，

令，则，则，，

令，，令，，

则，当时，，在上单调递减；

又为减函数，函数在上单调递减，

，即，解得：，

直线在y轴上的截距的最大值为.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆、抛物线的综合应用问题，求解第二问中最值的基本思路是将所求截距表示为关于变量的函数的形式，从而利用导数求得函数的最值，进而得到所求截距的最值.

23．（1）；（2）.

【分析】（1）设点P的坐标为，代入椭圆方程有，化简求出答案；

（2）设直线的方程，与椭圆方程联立求出P的坐标，进一步求出的中点，根据和得到，化简求出的范围.

【详解】（1）设点P的坐标为，有

由已知得、，

则;

（2）由题意知直线的方程：，则，

由得

由已知得得，

∴的中点

当直线的斜率存在时，由题意知，又，

∴，

即，化简得

∴

当直线的斜率不存在时，

综上：∴.

【点睛】直线与圆锥曲线的题目解题时关键是对题目进行翻译，翻译成常见的比较好理解的知识点来解题，本题“线段的中点Q恰好在以为直径的圆上”，可以翻译为⊥,这样就可以利用斜率的乘积为“”来解题.

24．（1）证明见解析； （2）.

【分析】（1）设直线，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解；

（2）联立方程组，求得，根据，化简整理得，分别联立，和，求得的值，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】（1）设，

设直线，

由，可得，所以，

所以点、的纵坐标乘积为定值.

（2）由（1）直线，

联立方程组，可得，所以，

可得，即，

因为且代入上式，整理得，

又由，联立可得，

又因为，代入可得，

又由，代入可得，即，

所以，可得直线的方程为，即.

【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：

对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．