数列-浙江省宁波市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

数列-浙江省宁波市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

一、单选题

1．（2021·浙江宁波·统考二模）已知数列满足且，．则的最小值是（    ）．

A． B． C． D．

2．（2022·浙江宁波·统考一模）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空题

3．（2023·浙江宁波·统考二模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“1→4→2→1”．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．猜想的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），若，则m所有可能取值的集合为___________．

4．（2022·浙江宁波·统考一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则__________．

5．（2022·浙江宁波·统考二模）2022年北京冬奥会开幕式以中国传统24节气作为倒计时进入，草木生长的勃勃生机拉开春意盎然的开幕式序幕.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长与最短的日子分别被定为冬至与夏至，其日影长分别为13.5尺与1.5尺.从冬至到夏至，依次有冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种､夏至这十三个节气，其日影长依次成等差数列，则北京冬奥会开幕日（立春）的日影长是___________尺.

三、解答题

6．（2023·浙江宁波·统考二模）已知等比数列的前n项和满足．

(1)求首项的值及的通项公式；

(2)设，求满足的最大正整数n的值．

7．（2021·浙江宁波·统考二模）设为等差数列的前项和，其中，且．

（1）求常数的值，并写出的通项公式；

（2）设为数列的前项和，若对任意的，都有，求实数的取值范围．

8．（2022·浙江宁波·统考一模）已知数列的前n项和满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和．

9．（2022·浙江宁波·统考二模）在正项等比数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足求数列的前项和.

参考答案：

1．C

【分析】由已知递推关系式可得，采用累加法可将所求式子表示为，由为偶数可确定时取最小值，代入可得结果.

【详解】由得：，

，，…，

，，，

累加得，

，

，，当为奇数时，为奇数；为偶数时，为偶数；

则为偶数，

当时，取得最小值．

当数列满足，（且为偶数），（且为奇数）时，符合条件.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解含绝对值的数列的和的问题，解题关键是能够通过累加法得到所求的和与数列中的项之间的关系，将问题转化为含绝对值的二次函数的最值的求解问题.

2．B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】因为，，

所以，

即 ，

根据等差数列的性质可知，

所以.

故选:B.

3．

【分析】根据递推公式逆向寻找结果即可.

【详解】若，则，则，或.

当时，则，则，或，则或；

当时，或（舍），若，则，则或；

即m所有可能取值的集合为.

故答案为：

4．

【分析】由累加法即可求得，再利用裂项相消法即可求解.

【详解】由题可知：，

即有，

所以

，当n=1成立

所以，

所以

.

故答案为：

5．

【分析】依题意设日影长为等差数列，则、，即可求出公差，从而求出，即可得解；

【详解】解：依题意设日影长为等差数列，其中、，所以，所以，即北京冬奥会开幕日（立春）的日影长是尺；

故答案为：

6．(1)，

(2)11

【分析】（1）根据的关系即可求解，或者根据等比数列基本量的计算即可求解，

（2）由对数的运算性质化简，即可利用函数的单调性求解.

【详解】（1）解法1：当时，，则，即，

因为数列是等比数列，所以公比为2，

当时，，即，所以，且满足题意，

所以的通项公式为．

解法2：由题知，，即，

由①代入②，得，

解得或．（舍去），

所以的通项公式为．

（2）由（1）得，所以，所以

，

由得，即，

令，则，

所以在时单调递增，且，

而，

所以满足条件的最大正整数．

7．（1），；（2）．

【分析】（1）由可求得，根据等差数列定义可求得公差，结合可求得和；

（2）由等比数列求和公式可求得，进而得到的范围，解绝对值不等式可求得结果.

【详解】（1）由及得：，，

解得：，，

又为等差数列，的公差，

，解得：；.

（2）由（1）知：，，

，，解得：，

，，即，，

，解得：，即实数的取值范围为.

8．(1)

(2)

【分析】（1）由与的关系即可求得数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求数列的前n项和.

【详解】（1）当，，故，

因为，当时，,

两式相减得：，即，

故数列为等比数列，公比，

所以．

（2），

故，

故，

令①，

②，

①-②得

即，

故．

9．(1)；

(2).

【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）根据对数的运算性质，结合错位相减法进行求解即可.

(1)

设公比为，由题，

解得或（舍），

所以.

(2)

因为，所以

令，则

所以

令，.

则.

则，

作差可得：，

所以，

所以.