江西省部分学校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题

高一数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第四章第二节．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在平行四边形中，（    ）

A． B． C． D．

2．下列函数为偶函数且在上为减函数的是（    ）

A． B． C． D．

3．已知，，三点共线，则（    ）

A． B． C． D．2

4．已知一扇形的面积为8，所在圆的半径为2，则扇形的周长为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

5．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（注：）（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

8．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂的历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化．如图1所示的漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2所示，若以为始边，射线绕着点逆时针旋转，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．0

图1                      图2

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数，则（    ）

A．的图象关于对称 B．的图象关于直线对称

C．为奇函数  D．为偶函数

10．在中，，，，，为的中点，则（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，，满足此条件的三角形只有一个，则的值可能为（    ）

A． B．2 C． D．3

12．已知函数，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C．既是周期函数又是奇函数 D．的最大值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．函数的最小正周期为________，最小值为________．（本题第一空3分，第二空2分）

14．已知函数的图象关于点对称，则________．

15．已知为线段上的任意一点，为直线外一点，关于点的对称点为，关于点的对称点为，若，则________．

16．如图，某公园内有一个边长为的正方形区域，点处有一个路灯，，，现过点建一条直路分别交正方形区域两边，于点和点，若对五边形区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求角；

（2）若，的周长为，求．

18．（12分）已知平面向量，，，且．

（1）求的坐标；

（2）求向量在向量上的投影向量的模．

19．（12分）已知角的始边为轴非负半轴，终边过点．

（1）求的值，

（2）已知角的始边为轴非负半轴，角和的终边关于轴对称，求的值．

20．（12分）赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知．

（1）证明：为的中点．

（2）求向量与夹角的余弦值．

21．（12分）如图，在平面四边形中，，．

（1）若，，，求的面积；

（2）若，，求的最大值．

22．（12分）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）将函数图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上无零点，求正数的取值范围．

高一数学试卷参考答案

1．D  【解析】本题考查平面向量的减法，考查直观想象的核心素养．

．

2．C  【解析】本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想．

根据函数的图象易知为偶函数且在上为减函数，故选C．

3．C  【解析】本题考查三点共线，考查数学运算的核心素养．

由题可知，，因为，，三点共线，所以，即．

4．D  【解析】本题考查扇形，考查数学运算的核心素养．

由题可知扇形的弧长为，则扇形的周长为12．

5．D  【解析】本题考查解三角形，考查化归与转化的数学思想．

由余弦定理得，整理得，所以，即为钝角，所以是钝角三角形．

6．A  【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养．

由题意知，，，，故．

7．B  【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象的核心素养．

由题意得，在中，，，．

由正弦定理有，代入数据得，解得．

因为，所以，（海里）．

8．D  【解析】本题考查三角恒等变换，考查应用意识的核心素养．

由已知得，，，

所以

．

9．BC  【解析】本题考查三角函数图象及其性质，考查应用意识的核心素养．

因为，，A错误；

，B正确；

，所以是奇函数，C正确；

易知，所以不是偶函数，D错误．

10．BD  【解析】本题考查平面向量的运算，考查直观想象的核心素养．

因为，所以，故A错误；由向量加法的三角形法则，可得

，故B正确；，故C错误；，故D正确．

11．ABC  【解析】本题考查解三角形，考查化归与转化的数学思想．

由正弦定理得，则，又，且是条件的三角形只有一个，即有唯一的角与其对应，所以，故     ．

故选ABC．

12．ABD  【解析】本题考查函数图象及其性质，考查化归与转化的数学思想．

因为，所以的图象关于直线对称．A正确．因为，所以的图象关于点对称，B正确．，所以C错误．令，则，当时，，当    时，，当时，取得最大值，D正确．

13．；  【解析】本题考查三角函数的图象，考查直观想象的核心素养．

的最小正周期，最小值为．

14．  【解析】本题考查正切函数，考查数学运算的核心素养．

因为的图象关于点对称，所以，

所以，，因为，所以．

15．【解析】本题考查平面向量的基本定理，考查逻辑推理的核心素养．

因为关于点的对称点为，所以．

又关于点的对称点为，所以．

又，所以．

因为，，三点共线，所以，即．

16．120  【解析】本题考查三角形的面积，考查逻辑推理的核心素养．

设，，因为，所以

即，所以，可得，所以三角形面积的最小值为，又因为正方形的面积为，所以五边形面积的最大值为．

17．解：（1）由余弦定理可得， 2分

解得，即 4分

（2）因为，的周长为，所以， 6分

由正弦定理可得，所以 9分

解得 10分

18．解：（1）设，因为，所以． 2分

又， 4分

解得，，所以． 6分

（2）， 8分

所以， 10分

则向量在向量上的投影向量的模为． 12分

19．解：（1）由题可知，则，， 2分

 4分

 6分

（2）因为角和的终边关于轴对称，

所以， 9分

所以  12分

20．（1）证明：因为，所以． 2分

又因为，所以， 3分

所以，即为的中点，所以为的中点． 4分

（2）解：设，． 6分

所以，则． 7分

所以 8分

又． 10分

所以向量与夹角的余弦值为 12分

21．解：（1）在中， 2分

因为，所以  3分

所以的面积 5分

（2）设，，则，．

在中，，则 7分

在中，，则， 9分

所以 11分

当时，取得最大值．

22．解：（1）因为，可得

因为在处附近单调递增，所以 2分

所以，因为，所以 3分

因为在处附近单调递减，且当时，在处的第一次取值为，

所以，可得 4分

即． 5分

（2）将图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到的图象， 6分

再把的图象向左平移个单位长度，可得的图像 8分．

则，因为，所以， 9分

则．解得． 11分

由，可得，即正数的取值范围为． 12分