2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  以下四个汽车标志中，是中心对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  二次根式中字母的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某市一周空气质量报告中，某项污染指数的数据是：，，，，，，，这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  用配方法解方程，下列配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，若要使平行四边形成为菱形，需添加的条件是(    )

A.
B.
C.
D. ，互相垂直

6.  为执行“均衡教育”政策，某县年投入教育经费万元，预计到年底三年累计投入亿元．若每年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设(    )

A. 四边形中没有一个角是钝角或直角 B. 四边形中至多有一个钝角或直角
C. 四边形中没有一个角是锐角 D. 四边形中没有一个角是钝角

8.  如图，▱中，，，的垂直平分线交于点，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，是边上的中线，将沿边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，则与的应满足怎样的关系(    )

A.
B.
C. 且
D. 且

10.  如图，点，分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为，则菱形的边长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  一个多边形的内角和为，则这个多边形是______边形．

12.  在实数范围内，二次根式有意义，则的取值范围是______．

13.  关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______ ．

14.  已知一组数据，，，，的平均数是，则另一组数据，，，，的平均数是______．

15.  在▱中，，的平分线交平行四边形的边于点，若，则▱的周长是______．

16.  如图，在四边形纸片中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．
解方程：
；
．

18.  本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．

19.  本小题分
已知关于的方程，
证明：当取任何实数时，方程都是一元二次方程：
当时，解这个方程．

20.  本小题分
某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前名学生的成绩百分制分别为：八班，，，，；八班，，，，通过数据分析，列表如下：

直接写出表中，，的值：______，______，______；
求的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前名同学的成绩较好？说明理由．

21.  本小题分
如图，将▱的边延长到点，使，连接，交边于点．
求证：；
连接、，若，求证：四边形是矩形．
 

22.  本小题分
如图，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上个小正方形和个小长方形图中阴影部分之后，恰好折成如图的有盖纸盒．
若纸盒的高是，求纸盒底面长方形的长和宽；
若纸盒的底面积是，求纸盒的高．

23.  本小题分
如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，．
当，时，求直线到直线的距离；
当为中点时，四边形是什么特殊四边形？写出证明过程；
若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？直接写出答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
此题主要考查了中心对称图形，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
【解答】
解：、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得，
只有选项A符合题意．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

3.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：，，，，，，，
则这组数据的中位数为，
故选：．
根据中位数的定义求解可得．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选B．
先把方程变形为，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，互相垂直，
平行四边形是菱形，故D选项正确；
故选：．
根据菱形的判定方法得出D正确，、、不正确；即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
 

6.【答案】 

【解析】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为，
由题意得，．
故选：．
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为，根据题意可得，年投入教育经费年投入教育经费增长率年投入教育经费增长率亿元，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】
解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到的周长．
【解答】
解：▱中，，，
，，
的垂直平分线交于点，

的周长，
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：将沿边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形，
，，
又是边上的中线，
，，
，
当，时，将沿边翻折，若使翻折后得到的四边形是正方形．
故选：．
由折叠的性质和正方形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，即可求解．
本题考查了翻折变换，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于，

四边形是菱形，
，
点，分别是菱形的边，上的两个动点，
当点与点重合，点与点重合时，有最大值，即，
当时，有最小值，即直线，直线的距离为，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作，交的延长线于，由题意可得当点与点重合，点与点重合时，有最大值，即，当时，有最小值，即直线，直线的距离为，由面积法可求，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
 

11.【答案】四 

【解析】解：设多边形的边数为，则
，
解得．
故这个多边形的边数为．
故答案为：四．
边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

13.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程的一个根，
，
．
故答案为：．
由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值．
此题考查了一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数的值是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一组数据，，，，的平均数是，
，
，
另一组数据，，，，的平均数是．
故答案为：．
平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据与的和，然后用平均数的定义求新数据的平均数．
本题考查的是算术平均数的求法及运用，熟记平均数的计算公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

为的平分线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
▱的周长，
故答案为．
由平行四边形得到，，，再和已知平分，进一步推出，即，即可求出、的长，就能求出答案．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图所示：

延长交于点，过点作于点，
当四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，，
，，，，
则，
四边形面积为，
设，则，
故，
解得：负数舍去，
则，，
故DC；
如图，

当四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，，
，
，
，
设，则，，
四边形面积为，
，
解得：，故CE，，
则，
综上所述：的值为：或．
故答案为：或．
根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出的长．
此题主要考查了翻折变换，剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质，根据题意画出正确图形是解题关键．
 

17.【答案】解：原式；
原式

；
，
，
则或，
解得，；
，
整理得，
，，，
，
则，
即，． 

【解析】先计算乘方，再计算减法；
先化简二次根式、计算除法，再计算乘法，最后计算加法即可；
利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
整理为一般式，再利用公式法求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】解：，，
，，



；



． 

【解析】根据二次根式的减法法则求出，再根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
根据平方差公式把原式变形，把、代入计算，得到答案．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、减法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
无论取何实数关于的方程都是一元二次方程；
解：当时，原方程变为，
解得． 

【解析】要证明无论取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论为什么值时的值都不是，可以利用配方法来证明；
当时，就可以求出方程的具体形式，解方程就可求出方程的解．
本题主要理解配方法，证明一个二次三项式大于或小于的方法．
 

20.【答案】     

【解析】解：八班的平均分，
将八班的前名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：，，，，，第三个数是，所以中位数，
出现了次，次数最多，所以众数．
故答案为，，；

八班的方差．
由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定，
八班前名同学的成绩较好；
根据平均数、中位数、众数的概念解答即可；
先根据方差计算公式，分别求出八班的方差，再结合平均数、中位数、众数与方差的意义求解即可．
本题考查方差、平均数、众数和中位数，平均数表示一组数据的平均程度．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
在与中，
，
；
证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】此题主要考查的是矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分．
先根据平行四边形的性质得出，，再由得出，根据平行线的性质得出，，进而可得出结论；
根据平行四边形的性质可得，，，再由，可得，进而可判定四边形是平行四边形，然后再证明即可得到四边形是矩形．
 

22.【答案】解：纸盒底面长方形的长为，
纸盒底面长方形的宽为．
答：纸盒底面长方形的长为，宽为．
设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为． 

【解析】根据纸盒底面长方形的长长方形硬纸片的长纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的长；根据纸盒底面长方形的宽长方形硬纸片的宽纸盒的高，可求出纸盒底面长方形的宽；
设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，

，
，，，
，
，
，
直线到直线的距离为；
四边形是菱形，
证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
当时，四边形是正方形，
理由：，，
，
，
为中点，
，
，
四边形是菱形，
四边形是正方形，
当时，四边形是正方形． 

【解析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的度数，从而求出的长，即可解答；
根据垂直定义可得，从而可得，进而可证四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，再利用线段中点的定义可得，从而得到，进而可证四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定方法即可解答；
根据已知可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，最后再利用的结论，根据正方形的判定方法即可解答．
本题考查了菱形的判定，解直角三角形，平行四边形的判定与性质，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定，以及正方形的判定是解题的关键．