2023年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列个实数中，为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  据统计，届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为人，总量和增量均为近年之最，将用科学记数法表示为______．

8.  分解因式 ______ ．

9.  已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______ ．

10.  若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的内角和是______．

11.  我国古代著作增删算法统宗中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿每人竿，多竿；每人竿，恰好用完”若设有牧童人，根据题意，可列方程为______ ．

12.  如图，在▱中，，对角线与相交于点，，则的周长为          ．
 

13.  在中，点、分别在、上，，如果，的面积为，四边形的面积为，那么的长为______．

14.  如图，▱的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，在第一象限，反比例函数的图象经过点，的图象经过点若，则          ．
 

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加该活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级现采取随机抽取的方式对这四名同学进行线上面试．
若随机抽取一名同学，求恰好抽到小艺同学的概率；
若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表的方法求两名同学均来自八年级的概率．

17.  本小题分
如图，在菱形中，点、分别为、边上的点，，求证：．
 

18.  本小题分
为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖千克土豆与乙班挖千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？

19.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
在图中画出以线段为一边的矩形不是正方形，且点和点均在小正方形的顶点上；
在图中画出以线段为一腰，底边长为的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，连接，请直接写出线段的长．

20.  本小题分
如图，，是反比例函数在第一象限图象上的点，过点的直线与轴交于点，轴，垂足为，与交于点，，．
求此反比例函数的表达式；
求的面积．

21.  本小题分
某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

数据分成组：，，，，，
信息二：普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数百万人在这一组的数据是：，，，，，，；
信息三：年全国大陆人口数及自然增长率；
请根据以上信息，解答下列问题：
普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______ 百万人；
下列结论正确的是______ 只填序号
全国大陆个省、自治区、直辖市中人口数大于等于百万人的有个；
相对于年，年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
年全国大陆人口自然增长率持续降低．
请写出年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．

22.  本小题分
如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的点处测得直立于地面的旗杆的顶端与底端的俯角分别为和，此时点距地面高度为米，求旗杆的高度结果精确到米，参考数据：，，

23.  本小题分
在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工如图是所铺设彩色砖道的长度关于施工时间的部分函数图象请解答下列问题：
求乙队在的时段内，关于的函数解析式；
如果甲队施工速度不变，乙队在后，施工速度增加到，结果两队同时完成了任务求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米．

24.  本小题分
综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图，在正方形中，为边上一动点点，不重合，是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图，在正方形中，为边上一动点点，不重合，是等腰直角三角形，，连接知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
 

25.  本小题分
如图，四边形为矩形，，，，两动点同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，设运动时间为秒．
求的长；
若，求关于的函数解析式．

26.  本小题分
抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
直接写出点和点的坐标；
如图，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；
如图，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，掌握实数的分类是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从几何体的正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为、、，
故选：．
找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
利用不等式的性质，移项、合并同类项即可．
本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的性质是解决此类问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了无理数，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案．
【解答】
解：根据题意可得，，
，
这个无理数是．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由图中尺规作图痕迹可知，
为的平分线，为线段的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得，
故A选项不符合题意；
为线段的垂直平分线，
，
，
故C选项不符合题意；
为的平分线，
，
，
，
，
故D选项不符合题意；
根据已知条件不能得出，
故B选项符合题意．
故选：．
由图中尺规作图痕迹可知，为的平分线，为线段的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．
本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
故选：．
根据圆的内接四边形对角互补得到，根据圆周角定理即可得到的度数．
本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：，其中，为正整数．】计算即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
原式先提公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．
本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，掌握完全平方公式是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将代入方程，
得，
即．
故答案为．
将代入原方程即可求的值．
本题考查一元二次方程的解，以及代数式求值．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
解答本题的关键是求出该正多边形的边数与熟记多边形的内角和公式．
根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
【解答】
解：该正多边形的边数为：，
该正多边形的内角和为：．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：设有牧童人，
依题意得：．
故答案为：．
设有牧童人，根据“每人竿，多竿；每人竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分，属于基础题．
根据平行四边形对角线互相平分，求出的长，即可解决问题．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：，是公共角，
∽，
，
的面积为，四边形的面积为，
的面积为，
，
，
解得：．
故答案为：．
由，是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得∽，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，然后由，的面积为，四边形的面积为，即可求得的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题知，反比例函数的图象经过点，
设点坐标为，
作于，过点作于，

四边形是平行四边形，，
，，四边形是矩形，
，即，
的图象经过点，
，
故答案为：．
设出点的坐标，根据点的坐标得出点的坐标，然后计算出值即可．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式，
当时，
原式． 

【解析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将代入求值即可求解．
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：随机抽取一名同学，共有种等可能的结果，其中抽到小艺同学的只有种，
恰好抽到小艺同学的概率为．
列表如下：

共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级，即小志和小晴的结果有种，
两名同学均来自八年级的概率为． 

【解析】直接利用概率公式可得答案．
列表可得出所有等可能的结果数以及两名同学均来自八年级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是菱形，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
由菱形的性质得出，由证明≌，即可得出结论．
 

18.【答案】解：设乙班平均每小时挖千克土豆，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意；
答：乙班平均每小时挖千克土豆． 

【解析】设乙班平均每小时挖千克土豆，根据“甲班挖千克土豆与乙班挖千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，矩形即为所求；


如图即为所求，． 

【解析】利用数形结合的思想解决问题即可；
利用数形结合的思想解决问题即可；
本题考查作图应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：当时，即，
，
即直线与轴交于点的坐标为，
，
又，
点的坐标为，
而点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的图象为；
方程组的正数解为，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，即，
，
，
答：的面积为． 

【解析】根据直线求出点坐标，进而确定，的值，再确定点的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
求出点坐标，进而求出，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：将这个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是百万人，因此中位数是百万人，
故答案为：；
全国大陆个省、自治区、直辖市中人口数大于等于百万人的有个地区，故原结论正确，符合题意；
相对于年，年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
年全国大陆人口自然增长率的情况是：，，年增长率持续上升；，，年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是．
故答案为：；
年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负答案不唯一．
根据已知发现中位数在第三组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数即可求出中位数；
根据频数分布直方图进行判断即可；
根据条形图与折线图即可判断；
根据折线图即可判断；
根据条形图与折线图可写出年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：延长交于点，

由题意可得：，米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
答：旗杆的高度约为米． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线解题的关键．
 

23.【答案】解：设乙队在的时段内，关于的函数解析式为．
由图可知，函数图象过点，，
，
解得，
即乙队在的时段内，关于的函数解析式为；
由图可知，
甲队速度是．
设甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为，
由题意可得：，
解得．
答：甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为． 

【解析】根据函数图象中的数据，可以计算出乙队在的时段内，关于的函数解析式；
根据图象中的数据，可以计算出甲的速度，再根据题意，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，列出相应的方程．
 

24.【答案】解：，
理由如下：取的中点，连接，

、分别为、的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
在上取，连接，

由同理可得，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
作，交的延长线于，交于，连接，

由知，，
，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
的最小值为的长，
，
，
由勾股定理得，
周长的最小值为． 

【解析】取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明≌，得；
在上取，连接，由同理可得，则≌，再说明是等腰直角三角形即可得出答案；
作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：四边形是矩形，
，
．
当时，
，，
；
当时，如图，
，
，
∽，
：：，
：：，
，
；
当时，与重合，如图，
，
．
当时，，
当时，，
当时，． 

【解析】由勾股定理即可求解；
分三种情况，当时，由三角形面积公式，即可求解，当时，由相似三角形的性质用表示出的长，由三角形的面积公式即可求解，当时，用表示出的长，由三角形面积公式即可求解．
本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，函数关系式，关键是要分三种情况讨论．
 

26.【答案】解：；顶点．
过点作轴于点，
，，
，
，
，
当点在线段的右侧时，轴，如图，

；
当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，

，
设，则，，
在中，，
解得，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
．
综上，点的坐标为或；
点与点关于对称轴对称，
．
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
直线的解析式是，
，，
点横坐标为，
，，
．
，，
，
，
当时，的最大值为． 

【解析】令，求出的值即可得出点的坐标，将函数化作顶点式可得出点的坐标；
过点作轴于点，易得，因为，所以，分两种情况进行讨论，当点在线段的右侧时，轴，当点在线段左侧时，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，分别求出点的坐标即可；
分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，由点的横坐标为，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
令，
解得或，
；
，
顶点．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．