2023年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  国家卫健委通报：截至年月日，个省自治区、直辖市和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线上若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  函数与在同一坐标系内的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以、为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点，为射线上任意一点，过点作，交于点，连接，若，，则长度的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是______．

13.  如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．

14.  小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离单位：千米与时间单位：小时之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为______ 千米．

15.  如图将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是______ ．

16.  如图，在矩形中，为对角线，将矩形沿、所在直线折叠，使点落在上的点处，点落在上的点处，连接已知，，则的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  如图，是的直径，为上一点，过点作，交的延长线于点，交过点的切线于点．
求证：；
若，，求线段的长．

四、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
解不等式组：，并写出它的所有整数解．

20.  本小题分
如图，在菱形中，，分别是和上的点，且求证：．

21.  本小题分
图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．
真空管上端到水平线的距离．
求安装热水器的铁架水平横管的长度结果精确到米
参考数据：，，，，，．
 

22.  本小题分
为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买、两种型号的学习用品．已知型学习用品的单价比型学习用品的单价多元，用元购买型学习用品与用元购买型学习用品的件数相同．
求，两种学习用品的单价各是多少元；
若购买、两种学习用品共件，且总费用不超过元，则最多购买型学习用品多少件？

23.  本小题分
我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：非常满意；很满意；一般；不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图如图所示，请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题．
频数分布统计表

接受问卷调查的学生共有______人；______，______；
补全条形统计图；
为改进教学，学校决定从选填结果是类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．
求，的值．
当的面积为时，求点的坐标．
设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．
 

25.  本小题分
在中，，，点在上，且满足，将线段绕点顺时针旋转至，连接，，以为斜边在其右侧作直角三角形，且，，连接．
如图，当点落在上时，直接写出线段与线段的数量关系；
如图，在线段旋转过程中，中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请利用图说明理由；
如图，连接，若，求线段长度的最小值．
 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．

求抛物线的解析式．
点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为，求点的坐标．
抛物线上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
先根据求出的度数，再由余角的性质得出的度数，进而得到的度数，根据即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，

，
，
又，
，
，
又，
．  

4.【答案】 

【解析】解：原式


．
故选D．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

6.【答案】 

【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故C错误；
故选
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式运算的法则，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，过二、三、四象限，反比例函数过一、三象限，
当时，过一、三、四象限，反比例函数过二、四象限，
C正确；
故选：．
根据当、当时，函数与经过的象限，二者一致的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求，．

故选：．
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，过点作于．

在中，，，，
，
，
，
，
由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
如图，过点作于，过点作于证明，利用面积法求出即可．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：令，即，
由题意，，即，
又方程的根为，
解得，，
故函数，
，
函数图象开口向下，顶点为，与轴交点为，由对称性，该函数图象也经过点．
由于函数图象在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且当时，函数的最小值为，最大值为，
，
故选C．
根据雅系点的概念令，即，由题意，，即，方程的根为，从而求得，，所以函数，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据的取值，即可确定的取值范围．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故答案为：．
先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
 

13.【答案】 

【解析】解：游戏板的面积为，其中黑色区域为，
小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案是：．
利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图象可知，点和在直线上，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：；
当时，，
，
点，点在直线上，
直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：；
当时，，
小泽距甲地的距离为千米．
故答案为：．
设直线的解析式为：，直线的解析式为：；得到直线和的解析式，求出当时，的值即可．
本题考查函数的知识，解题的关键是理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式．
 

15.【答案】 

【解析】解：由翻折的性质可知，，，
在中，，
，
，
，


．
故答案为：．
根据翻折的性质，可得到，进而求出，，再根据进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，翻折的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
将矩形沿所在直线折叠，使点落在上的点处，
，，
，
，
∽，
，
设，则，
，
解得，，即，
同理，∽，
，
设，则，
，
解得，，即，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，，证明∽，根据相似三角形的性质求出，同理出去，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查了翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形相似是解题的关键．
 

17.【答案】证明：如图，连接，

与相切，
，
．
即，
为直径，
，
即，
．
，
，
．
解：，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
． 

【解析】由直角所对圆周角为可知，再由切线性质知，根据同角的余角相等知，由可得，进而可证．
证明∽，再由相似的性质可知，求出，进而可求．
本题考查圆的切线的性质和圆的相关计算，解题关键是熟知切线的性质和直角所对的圆周角为以及相似三角形的判定和性质．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：
由得：，
解得：
由得：，
解得：，
所以，不等式组的解集为：，
所以，它的所有整数解为，，，． 

【解析】首先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出所有整数解即可．
本题考查了求不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据四边形是菱形得到，，从而证得≌，进一步得到，然后利用等边对等角证得结论即可．
考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用证得三角形全等，难度不大．
 

21.【答案】解：过作于．
在中，，
则米．
答：真空管上端到的距离约为米；

在中，，
则米，
，，，
四边形是矩形．
，，
米，
米，
在中，，
则米，
米，
答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 

【解析】过作于，根据正弦的定义计算，得到答案；
根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：设型学习用品的单价是元，则型学习用品的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：型学习用品的单价是元，型学习用品的单价是元．
设购买型学习用品件，则购买型学习用品件，
依题意得：，
解得：．
答：最多购买型学习用品件． 

【解析】设型学习用品的单价是元，则型学习用品的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买型学习用品与用元购买型学习用品的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出型学习用品的单价，再将其代入中即可求出型学习用品的单价；
设购买型学习用品件，则购买型学习用品件，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：；，；
如图，
．
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被抽中的结果数为，
所以甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 

【解析】解：人，
所以接受问卷调查的学生总数为人；
；
；
故答案为：，，；
见答案．
见答案．
用类人数除以类频率得到调查的总人数，然后用类的频率乘以总人数得到的值，用类的频数除以总人数得到的值；
利用的值补全条形统计图；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出甲、乙两名同学同时被抽中的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式求事件的概率．也考查了条形统计图和频数分布统计表以及频数频率与总数的关系：．
 

24.【答案】解：直线过点，
，
，
直线过点，
，
，
过点，
；
，，，，
，
，
，
，
；
如图，

，，
，
当是边，点在轴正半轴上，
作于，作于，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，舍去，

如图，

当点在轴的负半轴上时，
由上知：，
，
，
当是对角线时，

当是对角线时，
可得：，，
，
，
，
综上所述：或． 

【解析】将点代入，求得，进而求得，将点坐标代入求得；
表示出的长，根据求得，进而得出点的坐标；
分为是边，点在轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点在轴正半轴上时，过点作轴，作，证明≌，进而得出，从而求得的值，另外两种情况类似方法求得．
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．
 

25.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
；
结论仍然成立，；
证明：理由如下：
在中，，，

，，
同理可证，

，
，
，
∽，
，
；
在上截取，使，连接，

，
由知，，
，
∽，

，，，，分别是，三等分点，，
，，，
，
点在以为圆心，以为半径的圆上运动，
当，，三点共线，且点在之间时，取得最小值，最小值为，
，，
∽，
，
，
线段长度的最小值为． 

【解析】利用平行线分线段成比例定理和含角的直角三角形的性质可得结论；
利用两边成比例且夹角相等证明∽，得；
在上截取，使，连接，同理证明∽，可得，则点在以为圆心，以为半径的圆上运动，当，，三点共线，且点在之间时，取得最小值，最小值为，从而解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，定点定长构造隐圆等知识，熟练掌握旋转相似的基本模型是解题的关键．
 

26.【答案】解：将，代入，
，
解得，
；
令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
；
如图所示，当点在第一象限抛物线上时，

，
，
点和点关于对称轴对称，
，，
抛物线的对称轴为，
，
点的坐标为；
如图所示，当点在第四象限的抛物线上时，设与轴交于点

，
，
设，
，，
，，
在中，，即，
解得，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得；
，
联立直线和抛物线得，，
解得，
将代入得，，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
先由的面积求出的长，从而确定点坐标为，再由待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线的交点即为所求；
根据题意当点在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点在第四象限时，设与轴交于点，首先根据勾股定理求出点的坐标，然后求出的解析式，最后联立直线和抛物线即可求出点的坐标．
本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．