2023年广东省东莞市厚街海月学校中考数学模拟试卷（三）（含解析）

2023年广东省东莞市厚街海月学校中考数学模拟试卷（三）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  小明作点关于轴的对称点，再作关于轴的对称点，则与的位置关系是(    )

A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 以上都不正确

4.  函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，图中互余的两个角共有(    )

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

6.  甲、乙是两个不透明的纸箱，甲箱中有三张标有数字，，的卡片，乙箱中有三张标有数字，，的卡片，卡片除所标数字外无其他差别从甲箱中任取一张卡片，将其数字记为，从乙箱中任取一张卡片，将其数字记为则数字，能使的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知直线：，直线与直线关于轴对称，将直线向下平移个单位得到直线，则直线与直线的交点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  小刚在解关于的方程时，只抄对了，发现可以分解为，他核对时发现所抄的比原方程的值大，比原方程的值小则原方程的根的情况是(    )

A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根

9.  如图，是菱形边上的高，将绕着点顺时针旋转到的位置，若五边形面积为，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知抛物线经过两点，，则关于函数，下列说法“；当时，随着的增大而增大；若，则；若实数，则”中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  若边形的每一个外角都为，则的值为______．

13.  比较大小：______．

14.  某学校医务室采购了一批水银温度计和额温枪，其中有支水银温度计，若干支额温枪已知水银温度计每支元，额温枪每支元，如果总费用不超过元，那么额温枪至多有______ 支

15.  如图，在直角三角形中，，，，点在上，且，，垂足为，与相交于点，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
某校七年级组织学生学习中国共产党的百年奋斗历史，并举办了一次“知史爱党，知史爱国”的知识竞赛、该学校随机抽取参赛的名学生的测试成绩进行整理，绘制成如图所示的统计图，根据以上信息，解答下列问题：
该组数据的中位数是______ ，众数是______ ，平均数是______ ．
该年级共有名学生参加了本次竞赛，请估计该年级学生成绩不低于“平均水平”的人数．

18.  本小题分
如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边相切于点若，，求的半径长．

19.  本小题分
如图，反比例函数与一次函数交于点，，过点的直线轴，作线段的垂直平分线交直线于点，已知点的纵坐标为，点的横坐标为．
求，，的值．
过点作平行于轴的直线，交直线于点，连接，求的面积．

20.  本小题分
如图，由绕着点逆时针旋转得到，且点恰好落在所在直线上，，相交于点．
若，，求的面积．
求证：．

21.  本小题分
第二十二届世界杯足球赛于年月日至月日在卡塔尔境内举行、某网络经销商购进了一批以足球世界杯为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件元根据市场调查：在一段时间内，销售单价是元时，每日销售量是件；销售单价每涨元，每日文化衫就会少售出件．
不妨设该批文化衫的销售单价为元，请你分别用的代数式来表示销售量件和销售该批文化衫获得的利润元．
在问条件下，若经销商获得了元销售利润，则该文化衫单价应为多少元？
在问条件下，若经销商规定该文化衫销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务，则该经销商销售该文化衫获得的最大利润是多少？

22.  本小题分
如图，已知正方形在边上取点，连接将沿着翻折，点的对应点是连接，，过点作，交的延长线于点，连接．
若，求的正切值．
求的大小．
当落在上时，证明：．

23.  本小题分
把矩形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点在边上，把点沿折叠，使点恰好与原点重合，已知，．
点的坐标为______ ．
已知抛物线经过点，，且与直线仅有一个交点，求该抛物线的解析式．
在的条件下，若该抛物线上存在点使得，请直接写出点的横坐标；若无，则请说明原因．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据邻补角和平行线的判定得出，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的判定和性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：设点，
点关于轴的对称点是，
．
关于轴的对称点是，
．
与的位置关系是关于原点对称．
故选：．
关于轴的对称点的坐标特点：点关于轴的对称点的坐标是关于轴的对称点的坐标特点：点关于轴的对称点的坐标是．
本题考查了关于坐标轴对称点的坐标，解答此题需熟悉：两个点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，在横纵坐标均互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及函数自变量的取值范围，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
根据负数没有平方根求出的范围，表示在数轴上即可．
【解答】
解：由函数，得到，
解得：，
表示在数轴上，如图所示：

故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：在中，
于，
，
，
，
，
则互余的角共有个．
故选：．
根据互余两角之和为，找出互余的角．
本题考查了余角的性质，解答本题的关键是掌握互余两角之和为．
 

6.【答案】 

【解析】解：列表如下：

共有种等可能的情况数，其中数字，能使的有种情况，
则数字，能使的概率是．
故选：．
列出图表，共有种等可能的结果，其中数字，能使的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法求概率，正确列出图表是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线：，直线与直线关于轴对称，则直线：，
直线：，将直线向下平移个单位得到直线，则直线：，即，
联立方程组，
解得．
即直线与直线的交点坐标为．
故选：．
根据轴对称性质和平移规律写出直线与直线解析式，然后联立方程组，求得答案．
本题考查的是两条直线相交或平行问题，一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，求得直线的解析式是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
抄对了，所抄的比原方程的值大，比原方程的值小，
关于的方程中的，，
关于的方程为，
则，
则原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
把化成一般式，根据题意得出、的值，再利用根的判别式即可判断．
此题主要考查了根的判别式，正确得出、的值是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
将绕着点顺时针旋转到的位置，
，，，
四边形是菱形，
，，，
和是等边三角形，
，
，，
，，
五边形面积，
五边形面积为，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由等边三角形的性质可得，，由三角形面积公式可求解．
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线经过两点，，
抛物线的对称轴为直线，
，即，故错误；
，
抛物线开口朝上，
抛物线的对称轴为直线，
当时，随着的增大而增大，故正确；
，
抛物线与轴只有一个交点，且交点坐标为，
抛物线的顶点式为，
，故正确；
由上述可知，，，
，
，
，即，故正确．
综上，正确的有，共个．
故选：．
根据题意可判断抛物线的对称轴为直线，以此得到，即可判断；根据抛物线的开口方向和二次函数的性质即可判断；由得抛物线与轴只有一个交点，且该交点为抛物线的顶点，其坐标为，根据抛物线的顶点式即可判断；由得，则，以此可判断．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的性质、二次函数与抛物线的交点坐标，熟知二次函数图象与系数之间的关系是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先计算、，再算减法．
本题考查了实数的运算，掌握算术平方根的求法和负整数指数幂的意义是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：边形的的外角和为，每一个外角都为，
，
故答案为：．
利用多边形的外角和除以即可得到的值．
此题主要考查了多边形的外角和定理，解题关键是熟记多边形的外角和等于度．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较的应用，注意：当时，．
 

14.【答案】 

【解析】解：设额温枪有支，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为，
额温枪至多有支．
故答案为：．
设额温枪有支，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
点为的中点，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，则，，
，，，
，
，
，
，
即，
解得，
，
，，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质可以得到垂直平分，再根据全等三角形的判定和性质可以得到，然后根据勾股定理即可得到的长，从而可以求得的值．
本题考查解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式，最后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

17.【答案】     

【解析】解：将这名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，
这名学生成绩出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
这名学生成绩的平均数为：；
故答案为：，；；
名，
答：估计该年级学生成绩不低于“平均水平”的人数大约为名．
根据中位数、众数以及平均数的意义结合频数分布直方图中的信息进行计算即可；
求出样本中“成绩不低于平均水平”的人数所占的百分比，即可求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的意义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
 

18.【答案】解：连接，
与边相切于点，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
故的半径长为． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：连接，过点作直线于，
由题意可知，，，
，，
，
，
作线段的垂直平分线交直线于点，
，
在中，，
，
解得，，
当时，则，不合题意，舍去；
当时，，，
把，代入得，解得，
，，；
，，
，，
设直线的解析式为，则，解得，
此时直线为，
把代入得，解得，
，
，
，
的面积为． 

【解析】连接，过点作直线于，由题意可知，，，，，，根据线段垂直平分线的性质得到，利用勾股定理即可得到，解得，，进而即可求得、的值；
求得、的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，代入即可求得的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题考查的是反比例函数与与一次函数的交点问题，涉及到待定系数法求函数的解析式，线段的垂直平分线的性质，一次函数图象上点的坐标特征，面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
 

20.【答案】解：由绕着点逆时针旋转得到，
≌，，
，，，
，
，，
，，
的面积为；
证明：，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】根据旋转得到≌，，所以，，，可得，再求出，进而得出结果；
证明∽，得，即，再根据，即可得出结论．
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：销售量；
销售该文化衫获得利润；
根据题意得出：，解得：，，
答：文化衫销售单价为元或元时，可获得元销售利润．
，
解得：，

，
，对称轴是直线，
当时，随增大而增大．
当时，的最大值为，
答：商场销售该品牌文化衫获得的最大利润为元． 

【解析】销售量等于减去，化简即可；
根据题意列方程即可得到结论；
由题意得出，从而得的一个范围，将利润函数写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，会根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键
 

22.【答案】解：将沿着翻折，
，，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
；
解：将沿着翻折，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：当落在上时，如图所示，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由翻折的性质得为等边三角形，从而可证，可得答案；
由等边对等角说明，得出，进而解决问题；
说明∽，得，再由，即可证明结论．
本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
把点沿折叠，使点恰好与原点重合，
，
，
，
；

抛物线经过点、，
设抛物线的解析式为，
由，
整理得：，
抛物线与直线仅有一个交点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；

如图，，且点在抛物线上，
当点与点重合时，，
，即点的横坐标为；
当点与点不重合时，设，
过点作轴于点，交的延长线于点，
则，，，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
即，
当或时，原方程可化为：，
，
解得：或，
当时，，
综上所述，点的横坐标为或或．
由矩形性质可得，再由折叠可得，运用勾股定理即可求得答案；
根据抛物线经过点、，可设抛物线的解析式为，再由抛物线与直线仅有一个交点，运用根的判别式即可求得答案；
显然点与点重合时，满足，当点与点不重合时，设，过点作轴于点，交的延长线于点，利用∽，即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了矩形性质，折叠变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式，直角三角形的性质等，涉及知识点较多，难度适中，解题关键是添加辅助线构造相似三角形．