2024高考数学一轮总复习（导与练）第一章 第3节（不等式的性质、一元元二次不等式）

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第3节　不等式的性质、一元二次不等式 [选题明细表] 知识点、方法题号不等式性质2,5,8,9,11,15一元二次不等式的解法1,3,6,12,14,16一元二次不等式恒成立问题4,7,10,131.(2022·安徽黄山模拟)若集合A={x|-x2-x+6>0},B={x|≤-1},则A∩B等于(　D　)A.(-3,3) B.[-2,3)C.(-2,2) D.[-2,2)解析:因为集合A={x|-x2-x+6>0}={x|(x+3)(x-2)<0}={x|-3<x<2},B={x|≤-1}={x|≤0}={x|-2≤x<3},所以A∩B={x|-2≤x<2}.2.下列对不等关系的判断,正确的是(　C　)A.若<,则a3>b3B.若>,则2a<2bC.若ln a2>ln b2,则2|a|>2|b|D.若tan a>tan b,则a>b解析:A.a=-1,b=1满足<,但a3<b3,A错误;B.a=1,b=-2,满足>,但2a>2b,B错误;C.ln a2>ln b2⇒a2>b2⇒|a|>|b|⇒2|a|>2|b|,C正确;D.tan>tan,但<,D错误.3.若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-<x<},则ax+b>0的解集为(　A　)A.(-∞,-) B.(-∞,)C.(-,+∞) D.(,+∞)解析:不等式ax2+bx+2>0的解集是(x|-<x<),则根据对应方程的根与系数的关系得解得则-12x-2>0的解集为(-∞,-).4.(2023·安徽合肥模拟)不等式x2+ax+4≥0对一切x∈[1,3]恒成立,则a的最小值是(　C　)A.-5 B.- C.-4 D.-3解析:因为x∈[1,3]时,x2+ax+4≥0恒成立,则a≥-(x+)恒成立,又x∈[1,3]时,x+≥2=4,当且仅当x=2时取等号.所以-(x+)≤-4,所以a≥-4.故a的最小值为-4.5.(多选题)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式一定成立的是(　BCD　)A.ac(a-c)>0   B.c(b-a)<0C.cb2<ab2      D.ab>ac解析:因为a,b,c满足c<a<b,且ac<0,所以c<0,a>0,b>0,a-c>0,b-a>0,所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2<ab2,ab>ac.6.不等式≤1的解集为　　　　. 解析:原不等式可化为-1≤0,即≤0,等价于解得-2<x≤3,即不等式的解集为(-2,3].答案:(-2,3]7.设f(x)=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).若不等式f(x)>0的解集为,则实数m的取值范围是　　　　,若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 解析:不等式f(x)>0的解集为,即f(x)≤0对一切实数x恒成立,所以m+1<0,且Δ=(-m)2-4(m+1)(m-1)≤0,所以m≤-.若f(x)>0的解集为R,所以m+1>0,且Δ=(-m)2-4(m+1)(m-1)<0,所以m>.答案:(-∞,-]　(,+∞)8.已知a,b∈R,给出下面三个论断:①a>b;②<;③a<0,且b<0.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:　　　　.(答案不唯一) 解析:若a>b,a<0且b<0,则<.证明:-=,因为a>b,所以b-a<0.因为a<0,b<0,所以ab>0,则-=<0,故<.答案:若a>b,a<0且b<0,则<(答案不唯一)9.(1)若bc-ad ≥0,bd>0,求证:≤;(2)已知c>a>b>0,求证:>.证明:(1)因为bc≥ad,>0,所以≥,所以+1≥+1,所以≤.(2)因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0.因为a>b>0,所以<,又因为c>0,所以<,所以<,又c-a>0,c-b>0,所以>.10.(2022·江西上饶一模)在区间(1,2)上,不等式-x2-mx-4<0有解,则m的取值范围为(　C　)A.m>-4 B.m<-4C.m>-5 D.m<-5解析:不等式-x2-mx-4<0即为不等式-x2-4<mx,因为x在(1,2)上,所以m>=-(x+),令f(x)=-(x+),则f(x)在(1,2)上单调递增,所以f(x)∈(f(1),f(2))=(-5,-4),不等式-x2-mx-4<0有解,只需m>-5.11.已知2<x<4,-3<y<-1,则的取值范围是(　B　)A.(,) B.(,)C.(,1) D.(,2)解析:原式分子和分母同时除以x,得=,由条件得2<-2y<6,所以<-<,即<-<3,所以<1-<4,所以<<.12.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是　　　　. 解析:原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1<a≤3.综上可得,-4≤a≤3.答案:[-4,3]13.函数f(x)=x2+ax+3.(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.解:(1)因为当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,解得-6≤a≤2,所以实数a的取值范围是[-6,2].(2)由题意可转化为x2+ax+3-a≥0在x∈[-2,2]上恒成立,令g(x)=x2+ax+3-a,则有①Δ≤0或②或③解①得-6≤a≤2,解②得a∈,解③得-7≤a<-6.综上可得,满足条件的实数a的取值范围是[-7,2].(3)令h(a)=xa+x2+3,当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立,只需即解得x≤-3-或x≥-3+.所以实数x的取值范围是(-∞,-3-]∪[-3+,+∞).14.解关于x的不等式ax2-3x+2>5-ax(a∈R).解:原不等式等价于ax2+(a-3)x-3>0,即(x+1)(ax-3)>0,①当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}.②当a≠0时,方程的两根为x1=-1,x2=,当a>0时,不等式的解集为{x|x<-1或x>};当a<0时,(ⅰ)若>-1,即a<-3,原不等式的解集为{x|-1<x<};(ⅱ)若<-1,即-3<a<0,原不等式的解集为{x|<x<-1};(ⅲ)若=-1,即a=-3,原不等式的解集为.综上可得,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1};当a>0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x>};当a<-3时,原不等式的解集为{x|-1<x<};当-3<a<0时,原不等式的解集为{x|<x<-1};  当a=-3时,原不等式的解集为.15.已知a,b,c∈R且a+b+c=0,a>b>c,则的取值范围是(　C　)A.[2,+∞) B.(-∞,-2]C.(-,-2]    D.(2,]解析:由a+b+c=0,a>b>c,可得a>0,c<0,b=-a-c,则a>-a-c>c,则-2<<-.令t=,则-2<t<-,则=+=t+,-2<t<-.又f(t)=t+在(-2,-1)上单调递增,在(-1,-)上单调递减,f(-2)=-2+=-,f(-1)=-1+=-2,f(-)=-+=-,则-<f(t)≤-2,即-<≤-2.16.已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则满足条件的k的取值范围是　　　　. 解析:解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.解方程2x2+(2k+7)x+7k=0,得x1=-,x2=-k.①当k>, 即-k<-时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为-k<x<-.此时不等式组的解集为(-k,-).若不等式组的解集中仅有一个整数,则-5≤-k<-4,即4<k≤5.②当k<,即-k>-时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为-<x<-k,此时不等式组的解集为(-,-k).若不等式组的解集中仅有一个整数,则-3<-k≤5,即-5≤k<3.综上,可知k的取值范围为[-5,3)∪(4,5].答案:[-5,3)∪(4,5]