2024高考数学一轮总复习（导与练）第一章 第4节（基本不等式）课时作业

第4节　基本不等式

 [选题明细表]

1.当x>1时,f(x)=的最大值为(　A　)

A.    B. 

C.1 D.2

解析:因为x>1,故f(x)==≤=,当且仅当x=,即x=2时,取等号,故f(x)=的最大值为.

2.已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个式子中最大的是(　B　)

A.   B.+

C.   D.

解析:因为a,b为互不相等的正实数,

所以+>,

<=<,

<=<,

所以最大的是+.

3.(2023·重庆模拟)已知x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4,则x+y的最小值是(　C　)

A.1 B.4 

C.7 D.3+

解析:因为x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4,

所以x+y=(x-2)+(y-1)+3≥2+3=7,

当且仅当时,等号成立.

4.已知x>0,y>0,且x+2y=1,若不等式+≥m2+7m恒成立,则实数m的取值范围是(　A　)

A.-8≤m≤1

B.m≤-8或m≥1

C.-1≤m≤8

D.m≤-1或m≥8

解析:因为x>0,y>0,x+2y=1,所以+=(x+2y)·(+)=++4≥4+

2=8(当=,即x=2y=时,取等号),因为不等式+≥m2+7m恒成立,所以m2+7m≤8,解得-8≤m≤1.

5.若0<x<2,则x的最大值为　　　　. 

解析:因为0<x<2,

所以x=≤=2,

当且仅当x2=4-x2,即x=时,取“=”.

答案:2

6.(2020·江苏卷)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是

　　　　. 

解析:法一　由5x2y2+y4=1得x2=-,

则x2+y2=+≥2=,当且仅当=,即y2=时,取等号,则x2+y2的最小值是.

法二　4=(5x2+y2)·4y2≤[]2=(x2+y2)2,

则x2+y2≥,当且仅当5x2+y2=4y2=2,

即x2=,y2=时,取等号,则x2+y2的最小值是.

答案:

7.已知a>b>0,当4a++取到最小值时,a=　　　　. 

解析:因为a>b>0,

所以2a+b>0,2a-b>0,

所以4a++=(2a+b)+++(2a-b)≥2+

2=4+2=6,

当且仅当即即a=,b=时,等号成立.

答案:

8.已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是　　　　.

解析:因为对任意x∈N*,f(x)≥3,即≥3恒成立,即a≥-(x+)+3.设g(x)=x+,x∈N*,则g(x)=x+≥4,当且仅当x=2时,等号成立,又g(2)=6,g(3)=,g(2)>g(3),所以g(x)min=.所以-(x+)+3≤-,所以a≥-,故a的取值范围是[-,+∞).

答案:[-,+∞)

9.(1)若直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),求+的最小值;

(2)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,求x+3y的最小值.

解:(1)因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),所以2m+2n-2=0,即m+n=1,

所以+=(+)(m+n)=3++≥3+2,

当且仅当=,即n=m时,取等号,

所以+的最小值为3+2.

(2)法一(换元消元法)　由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,

所以3xy≤()2,

当且仅当x=3y,即x=3,y=1时,取等号,

所以x+3y+()2≥9,

即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,

令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,

解得t≥6,即x+3y的最小值为6.

法二(代入消元法)　由x+3y+xy=9,

得x=,

所以x+3y=+3y====3(1+y)+

-6≥2-6=12-6=6,

当且仅当3(1+y)=,

即x=3,y=1时,等号成立,

所以x+3y的最小值为6.

10.(2022·山东潍坊二模)已知正实数a,b满足a2+2ab+4b2=6,则a+2b的最大值为(　B　)

A.2   B.2 

C.   D.2

解析:令t=a+2b,则t2=a2+4ab+4b2=6+2ab.

又因为6-2ab=a2+4b2≥2=4ab(当且仅当a=2b时,取等号)

所以ab≤1,所以6+2ab≤8,

所以t2≤8,

又t>0,所以0<t≤2.

11.(2022·广东佛山模拟)已知正数x,y满足x++y+=5,则x+y的最小值与最大值的和为(　B　)

A.6 B.5 C.4 D.3

解析:因为xy≤()2,当且仅当x=y时,取等号,

所以≥,

所以≥,

又x++y+=5=x+y+,

所以x+y+≤5,

即(x+y)2-5(x+y)+4≤0,

解得1≤x+y≤4.

所以x+y的最大值与最小值的和为5.

12.写出一个关于a与b的等式,使+是一个变量,且它的最小值为16,则该等式为　         . 

解析:该等式可为a2+b2=1,下面证明该等式符合条件.

+=(+)(a2+b2)=1+9++≥10+2=16,当且仅当b2=3a2时,取等号,所以+是一个变量,且它的最小值为16.

答案:a2+b2=1(答案不唯一)

13.某市计划建立一个文化产业园区,计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S m2的矩形文化园展厅CDEF,如图,点C,D在底边AB上,E,F分别在腰OB,OA上,已知OA=OB=30 m,AB=30 m,OE=

x m,x∈[14,20].

(1)试用x表示S,并求S的取值范围;

(2)若矩形展厅CDEF每平方米的造价为,绿化区(题图中阴影部分)每平方米的造价为(k为正常数),求总造价W关于S的函数W=f(S),并求当OE为何值时总造价W最低.

解:(1)由题意得,△OAB为等腰直角三角形,

则EF=x,DE=(30-x),

所以S=x(30-x)=-(x-15)2+225,

因为x∈[14,20],所以S∈[200,225].

故S=-(x-15)2+225,S∈[200,225].

(2)由题意得,矩形展厅的造价为·S,绿化区(图中阴影部分)的造价为·(450-S),

所以W=·S+·(450-S)=25k(+)≥300k,当且仅当S=12×18=x(30-x),即x=18时,等号成立,

所以W=f(S)=25k(+),当OE为18 m时,总造价W最低.

14.证明下列各题:已知a,b,c为正数.

(1)若abc=1,求证:a+b+c≤++;

(2)若a+b+c=9,求证:++≥1.

证明:(1)由条件abc=1得+≥=2c,

当且仅当a=b时,等号成立,

+≥=2a,当且仅当b=c时,等号成立,

+≥=2b,当且仅当c=a时,等号成立,

以上三个不等式相加可得2(++)≥2(a+b+c),

当且仅当a=b=c时,等号成立,

因此a+b+c≤++.

(2)(a+b+c)(++)=3+(+)+(+)+(+),

因为a,b,c为正数,

所以(a+b+c)(++)≥3+2+2+2=3+2+2+2=9,

当且仅当a=b=c=3时,取等号,

所以++≥1.

15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)过点(1,1),最小值为0,则ac的最大值为　　　　,实数λ满足1-b=λ,则λ的取值范围为　　　　. 

解析:因为二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)过点(1,1),

所以a+b+c=1(a>0,b>0,c>0),因为开口向上且最小值为0,

所以Δ=b2-4ac=0.

所以b=2,

所以a+b+c=a+2+c=1.

因为a+c≥2,所以1=a+c+2≥4(当且仅当a=c时,取等号),

结合a+2+c=1可知当a=c=时,等号成立,

所以≤,即ac≤,当且仅当a=c=时,等号成立,所以ac的最大值为.因为a+2+c=1,所以(+)2=1,

所以=1-.

因为λ=1-b=a+c=a+(1-)2=2a-2+1,

所以λ=2-2+=2+-2.

因为a+c=2a-2+1=1-b<1,

即2a-2<0,

所以a-<0,

所以a-=(-1)<0,

所以0<<1,所以0<a<1.

所以λ≥2-2=2-2,当且仅当2=,即a=时,等号

成立. 

所以λ≥2-2.

答案:　[2-2,+∞)