2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 第4节　幂函数与二次函数

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第4节　幂函数与二次函数 [选题明细表] 知识点、方法题号幂函数的图象与性质1,2,4,6,12二次函数的图象与性质3,5,7,8,13二次函数的综合应用9,10,11,14,15,161.(2023·山东济南质检)若f(x)是幂函数,且满足=3,则f()等于(　C　)A.3 B.-3 C.    D.-解析:设f(x)=xα,则=2α=3,所以f()=()α=.2.若幂函数y=(m2+3m+3)的图象不过原点且关于原点对称,则(　A　)A.m=-2         B.m=-1C.m=-2或m=-1   D.-3≤m≤-1解析:根据幂函数的概念,得m2+3m+3=1,解得m=-1或m=-2,①若m=-1,则y=x-4,令f(x)=x-4,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)-4=x-4≠-f(x),显然幂函数为偶函数,不是奇函数,图象不关于原点对称,不符合题意,舍去;②若m=-2,则y=x-3,令f(x)=x-3,其定义域为R,且f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),即幂函数为奇函数,图象关于原点对称,符合题意.所以m=-2.3.(多选题)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax2+x+1和函数g(x)=ax+1的图象可能是(　ABD　)解析:若a=0,则f(x)=x+1,g(x)=1,A符合;若a<0,则f(x)的图象开口向下,过点(0,1),对称轴的方程为x=-,g(x)的图象过点(0,1)和(-,0),且-<-,B符合;若0<a<,则f(x)的图象开口向上,与x轴有两个交点,过点(0,1),对称轴的方程为x=-,g(x)的图象过点(0,1)和(-,0),且->-,C不符合;若a>,则f(x)的图象开口向上,与x轴没有交点,过点(0,1),对称轴的方程为x=-,g(x)的图象过点(0,1)和(-,0),且->-,D符合.4.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有(　ACD　)A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>1D.若0<x1<x2,则<f()解析:将点(4,2)代入函数f(x)=xα,得2=4α,解得α=,所以f(x)=.显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,A正确;f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,B不正确;当x>1时,>1,即f(x)>1,C正确;当0<x1<x2时,[]2-[f()]2=()2-()2=-==-<0,即<f()成立,D正确.5.(多选题)(2022·山东泰安二模)已知函数f(x)=-x2+2x+1的定义域为(-2,3),则函数f(|x|)的单调递增区间是(　BC　)A.(-∞,-1)  B.(-3,-1)C.(0,1)     D.(1,3)解析:因为函数f(x)=-x2+2x+1的定义域为(-2,3),对称轴为直线x=1,开口向下,所以函数f(|x|)满足-2<|x|<3,所以-3<x<3.又f(|x|)=-x2+2|x|+1=且y=-x2-2x+1图象的对称轴为直线x=-1,所以由二次函数的图象与性质可知,函数f(|x|)的单调递增区间是(-3,-1)和(0,1).6.(2022·河北张家口检测)已知幂函数f(x)=mxn+k的图象过点(,),则m-2n+3k=　　　　. 解析:因为f(x)是幂函数,所以m=1,k=0,又f(x)的图象过点(,),所以()n=,解得n=,所以m-2n+3k=0.答案:07.已知函数f(x)同时满足①f(0)=0;②在[1,3]上单调递减;③f(1+x)=f(1-x),则该函数的表达式可以是f(x)=　　　　. 解析:由f(1+x)=f(1-x)可知y=f(x)的图象关于直线x=1对称,可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在[1,3]上单调递减,所以可设f(x)=2x-x2.答案:2x-x2(答案不唯一)8.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.若b<1,且函数g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,则m的取值范围是　　　　　　. 解析:由f(x)=a(x-1)2+2+b-a可得二次函数图象的对称轴为直线x=1.当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,可得所以a=1,b=0.当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,可得解得a=-1,b=3(舍去).则f(x)=x2-2x+2,g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2.因为g(x)在[2,4]上单调,所以≤2或≥4,即m≤2或m≥6,故m的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞).答案:(-∞,2]∪[6,+∞)9.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x∈[t,t+2](t∈R)时,求函数f(x)的最小值g(t)(用t表示).解:(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+1,所以则所以解得因此f(x)=x2+2.(2)因为f(x)=x2+2的图象的对称轴为直线x=0,且图象的开口向上,所以当t≥0时,f(x)=x2+2在x∈[t,t+2]上单调递增,则f(x)min=f(t)=t2+2;当t+2≤0,即t≤-2时,f(x)=x2+2在x∈[t,t+2]上单调递减,则f(x)min=f(t+2)=(t+2)2+2=t2+4t+6;当t<0<t+2,即-2<t<0时,f(x)min=f(0)=2,综上,g(t)=10.(多选题)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是(　ABD　)A.当m=0时,x1=2,x2=3B.m>-C.当m>0时,2<x1<x2<3D.当m>0时,x1<2<3<x2解析:当m=0时,(x-2)(x-3)=0,所以x1=2,x2=3,故A正确;方程(x-2)(x-3)=m化为x2-5x+6-m=0,由方程有两个不等实根得Δ=25-4(6-m)=1+4m>0,所以m>-,故B正确;当m>0时,画出函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的图象,如图所示,由(x-2)(x-3)=m得,函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m图象的交点横坐标分别为x1,x2,由图可知,x1<2<3<x2,故C错误,D正确.11.(2023·安徽合肥质检)已知函数f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　B　)A.(-∞,2] B.[4,+∞)C.[2,+∞) D.(-∞,4]解析:因为f(x)>0的解集为(-1,3),故-2x2+bx+c=0的两个根为-1,3,所以即令g(x)=f(x)+m,则g(x)=-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m,由x∈[-1,0]可得g(x)min=m,又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立,故m≥4.12.已知实数a,b满足等式a3=b5,给出下列五个关系式:①1<b<a;②a<b<-1;③0<b<a<1;④-1<a<b<0;⑤a=b,其中可能成立的关系式有(　C　)A.1个 B.2个C.3个 D.5个解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=x3和y=x5的图象,如图所示.数形结合可知,在(1)处a<b<-1;在(2)处-1<b<a<0;在(3)处0<a<b<1;在(4)处1<b<a;在a=b=1或a=b=-1处也满足,故①②⑤可能成立.13.已知函数f(x)=2x2-ax+1,x∈[-1,a],且f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围为　　　　. 解析:由题设知f(x)图象的对称轴为直线x=且开口向上,所以当a>0时,有-1<<a,若≤,即a≥2时,f(x)max=f(a),符合题意;若>,即0<a<2时,f(x)max=f(-1),不符合题意;当a=0时,有f(x)=2x2+1,图象的对称轴为直线x=0且开口向上,f(x)在[-1,a]上单调递减,f(x)max=f(-1),不符合题意;当-1<a<0时,有-1<a<,f(x)在[-1,a]上单调递减,则f(x)max=f(-1),不符合题意.综上,a∈[2,+∞).答案:[2,+∞)14.已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a,b的值;(2)若存在x∈[3,4],使g(x)<2m2-tm+7对任意的t∈[0,5]都成立,求m的取值范围;(3)设f(x)=,若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.解:(1)g(x)=ax2-2ax+1+b=a(x-1)2+1+b-a.因为a>0,所以g(x)在[2,3]上单调递增,所以⇒⇒(2)由(1)得g(x)=x2-2x+1,因为存在x∈[3,4],使g(x)<2m2-tm+7对任意的t∈[0,5]都成立,所以g(x)min=g(3)=4<2m2-tm+7对任意的t∈[0,5]都成立,即-mt+2m2+3>0对任意的t∈[0,5]都成立,其中t看作自变量,m看作参数,所以解得m<1或m>,得m∈(-∞,1)∪(,+∞).(3)由(1)得f(x)===x+-2,所以f(2x)-k·2x=2x+-2-k·2x≥0,令2x=t(≤t≤2),则不等式可化为k≤1+-,因为不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,所以k≤(1+-)max,又因为1+-=(-1)2,≤t≤2⇒≤≤2,所以(1+-)max=1,所以k≤1,即实数k的取值范围是(-∞,1].15.已知函数f(x)=-x+3,g(x)=x2-2ax+2a-1(a∈R).(1)若函数g(x)的值域为[0,+∞),求a的取值集合;(2)若对于任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.解:(1)因为函数g(x)=x2-2ax+2a-1的值域为[0,+∞),所以Δ=(2a)2-4(2a-1)=0,解得a=1.所以a的取值集合为{1}.(2)由题意可知对于函数f(x)=-x+3在[-2,2]上是减函数,所以f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(-2)=5,函数g(x)=x2-2ax+2a-1图象开口向上,对称轴为直线x=a.①当a≤-2时,函数g(x)在[-2,2]上为增函数,g(x)min=g(-2)=6a+3,g(x)max=g(2)=-2a+3,所以此时a≤-2;②当-2<a≤0时,函数g(x)在区间[-2,a]上为减函数,在[a,2]上为增函数,g(x)min=g(a)=-a2+2a-1,g(x)max=g(2)=-2a+3,所以此时-2<a≤-1;③当0<a<2时,函数g(x)在区间[-2,a]上为减函数,在[a,2]上为增函数,  g(x)min=g(a)=-a2+2a-1,g(x)max=g(-2)=6a+3,所以此时≤a<2;④当a≥2时,函数g(x)在[-2,2]上是减函数,所以g(x)max=g(-2)=6a+3,g(x)min=g(2)=-2a+3,所以此时a≥2.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[,+∞).16.设函数f(x)的定义域为R,满足3f(x)=f(x+1),且当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x,若对任意x∈(-∞,a],都有f(x)≥-,则实数a的取值范围是(　A　)A.(-∞,] B.(-∞,]C.(-∞,2] D.(-∞,3]解析:因为f(x)=x2-x的对称轴为直线x=,所以当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x的最小值为-;当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],f(x+1)=(x+1)2-(x+1),由3f(x)=f(x+1)知,f(x)=f(x+1)=[(x+1)2-(x+1)],其最小值为-;同理,当x∈(1,2]时,f(x)=3[(x-1)2-(x-1)],其最小值为-;当x∈(2,3]时,f(x)=9[(x-2)2-(x-2)],其最小值为-.作出函数f(x)的简图,因为-<-<-,所以要使f(x)≥-,则有9[(x-2)2-(x-2)]≥-,解得x≤或x≥.要使对任意x∈(-∞,a],都有f(x)≥-,则实数a的取值范围是(-∞,].