2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章第1节　函数的概念及其表示

第二章　函数(必修第一册)

第1节　函数的概念及其表示

 [选题明细表]

1.(2023·重庆模拟)函数f(x)=的定义域是(　D　)

A.(0,3) B.(0,1)∪(1,3)

C.(0,3] D.(0,1)∪(1,3]

解析:因为f(x)=,所以

解得0<x<1或1<x≤3,

故函数的定义域为(0,1)∪(1,3].

2.下列各组函数中,表示同一个函数的是(　D　)

A.f(x)=eln x,g(x)=x

B.f(x)=,g(x)=x-2

C.f(x)=,g(x)=sin x

D.f(x)=|x|,g(x)=

解析:A中f(x)的定义域是(0,+∞),g(x)的定义域是R,故不是同一个函数;

B中f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),g(x)的定义域是R,故不是同一个函数;

C中f(x)的定义域是{x|x≠+kπ,k∈Z},g(x)的定义域是R,故不是同一个函数;

D中的函数是同一个函数.

3.已知f(x)是一次函数,且2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为(　C　)

A.f(x)=2x+3 B.f(x)=3x+2

C.f(x)=3x-2 D.f(x)=2x-3

解析:因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=kx+b,k≠0,则f(2)=2k+b,

f(1)=k+b,f(0)=b,f(-1)=-k+b,因为

所以解得k=3,b=-2,所以f(x)=3x-2.

4.已知函数f(x+1)的定义域为(-2,0),则f(2x-1)的定义域为(　C　)

A.(-1,0)     B.(-2,0)

C.(0,1)     D.(-,0)

解析:函数f(x+1)的定义域为(-2,0),即函数y=f(x+1)中的x满足-2<x<0,此时-1<x+1<1,记t=x+1,则-1<t<1,则f(t)的定义域为(-1,1),也就是f(x)的定义域是(-1,1).

要求f(2x-1)的定义域,则-1<2x-1<1,

解得0<x<1,所以f(2x-1)的定义域为(0,1).

5.已知函数f(x)=如果f(x)=10,则x等于(　C　)

A.±3,-5 B.-3,-5

C.-3    D.无解

解析:当x≤0时,f(x)=x2+1=10,

得x=-3或x=3(舍去);

当x>0时,f(x)=-2x=10,得x=-5(舍去).

综上所述,x=-3.

6.已知函数f(x)=则f(2 022)等于(　D　)

A.    B. 

C.0 D.1 

解析:因为函数f(x)=

所以x>1时,f(x+4)=2-f(x+2)=2-[2-f(x)]=f(x),

所以f(2 022)=f(2)=2-f(0)=2-20=1.

7.(2022·浙江桐乡月考)函数f(x)=x-的值域为　　　　　　. 

解析:令=t≥0,则x=t2,原函数可转化为y=t2-t,即y=(t-)2-,

当t≥0时,y≥-.

答案:[-,+∞)

8.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函数对应关系如表:

则方程g(f(x))=x的解集为　　　　. 

解析:当x=1时,f(x)=2,g(f(x))=2,不符合题意;

当x=2时,f(x)=3,g(f(x))=1,不符合题意;

当x=3时,f(x)=1,g(f(x))=3,符合题意.

综上,方程g(f(x))=x的解集为{3}.

答案:{3}

9.(2022·广东广州质检)已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:因为当x≥1时,f(x)=ln x≥ln 1=0,又f(x)的值域为R,

故当x<1时,f(x)的值域包含(-∞,0).

故解得-1≤a<.

答案:[-1,)

10.(2022·浙江杭州二模)设a∈R,函数f(x)=则f(9)=　　　,若f(f())≤27,则实数a的取值范围是 　　　　. 

解析:因为函数f(x)=

所以f(9)=log39=2.f()=log3=-1,

所以f(f())≤27,即f(-1)=3-a≤27,

所以-a≤3,解得a≥-3.

答案:2　[-3,+∞)

11.(2023·四川模拟)若函数f(x)=的值域为[-3,+∞),则a的取值范围是(　C　)

A.[-e3,0)    B.[-e3,-)

C.[-e3,-] D.(-e3,-)

解析:当0≤x≤3时,f(x)=-x2+2x∈[-3,1],

当a≤x<0时,f(x)=-ln(-x)≥-ln(-a),

因为f(x)=的值域为[-3,+∞),

所以-3≤-ln(-a)≤1,

故-1≤ln(-a)≤3,

解得-e3≤a≤-.

12.(多选题)已知函数f(x)=则下列图象正确的是(　ACD　)

解析:法一　作出分段函数f(x)=的图象如图(1)

所示,由图可知,D正确;

y=f(x-1)的图象是把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,故A正确;

y=f(|x|)的图象如图(2)所示,故B错误.

y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称,故C正确.

法二　因为f(x)=

所以f(x-1)=

f(|x|)=

f(-x)=

结合解析式及图象知B错误.

13.(多选题)若一系列函数的解析式和值域相同,但定义域不相同,则称这些函数为“同值函数”,例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈

[-2,-1]即为“同值函数”,给出下列四个函数,其中能够被用来构造“同值函数”的是(　AD　)

A.y=[x]([x]表示不超过x的最大整数,例如[0.1]=0)

B.y=x+

C.y=-log3x

D.y=|x+|

解析:根据题意,“同值函数”需满足:对于同一函数值,有不同的自变量与其对应.

因此,能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.

对于A,y=[x],定义域为R,在定义域内不是单调函数,有不同的自变量对应同一函数值,故A可以构造“同值函数”;

对于B,y=x+为定义在[-1,+∞)上的单调增函数,故B不可以构造“同值函数”;

对于C,y=-log3x为定义在(0,+∞)上的单调减函数,故C不可以构造“同值函数”;

对于D,y=|x+|,不是定义域上的单调函数,有不同的自变量对应同一函数值,故D可以构造“同值函数”.所以能够被用来构造“同值函数”的是AD.

14.把函数y=[x],x∈R称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.那么函数f(x)=[2sin x·cos x]+

[sin x+cos x]的值域内元素的个数为(　C　)

A.2 B.3 C.4 D.5

解析:令sin x+cos x=t(-≤t≤),

则g(t)=[t2-1]+[t],

①当t=-时,t2-1=1,故g(-)=1-2=-1;

②当-<t<-1时,0<t2-1<1,g(t)=0-2=-2;

③当t=-1时,t2-1=0,g(-1)=0-1=-1;

④当-1<t<0时,-1<t2-1<0,g(t)=-1-1=-2;

⑤当t=0时,g(0)=-1+0=-1;

⑥当0<t<1时,-1<t2-1<0,g(t)=-1+0=-1;

⑦当t=1时,g(1)=0+1=1;

⑧当1<t<时,0<t2-1<1,g(t)=0+1=1;

⑨当t=时,g()=1+1=2.

故共有4个值-2,-1,1,2.

15.已知函数f(x)=(a<b)的定义域为R,则的最大值是　　　　. 

解析:因为函数f(x)=(a<b)的定义域为R,

所以ax2+bx+c≥0,x∈R恒成立,

所以a>0,b2-4ac≤0,即a>0,c≥,

所以M=≥==,

令t=>1,则M==t-1++4≥2+4=8,当且仅当t-1=,即t=3,b=3a,c=a时,等号成立,所以的最大值是.

答案:

16.如图所示,点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为△ABC的中心,设点P走过的路程为x,△OAP的面积为f(x)(当A,O,P三点共线时,记面积为0),则函数f(x)的图象大致为(　A　) 

解析:由三角形的面积公式知,当0≤x≤a时,f(x)=·x··a=ax,故在[0, a]上的图象为线段,故排除B;当a<x≤a时,f(x)=·(a-x)··a=a(a-x),故在(a,a]上的图象为线段,故排除C,D.