2024高考数学一轮总复习（导与练）第三章第1节　导数的概念及其意义、导数的运算

第三章　一元函数的导数及其应用

(选择性必修第二册)

第1节　导数的概念及其意义、导数的运算

[选题明细表]

1.下列函数的求导正确的是(　B　)

A.(x-2)′=-2x

B.(xcos x)′=cos x-xsin x

C.(ln 10)′=

D.(e2x)′=2ex

解析:(x-2)′=-2x-3,所以A错误;(xcos x)′=cos x-xsin x,所以B正确;(ln 10)′=0,所以C错误;(e2x)′=2e2x,所以D错误.

2.(2022·湖北武汉联考)已知f(x)=x3-2xf′(1),则f′(2)等于(　B　)

A.11 B.10 C.8 D.1

解析:由题意,函数f(x)=x3-2xf′(1),

可得f′(x)=3x2-2f′(1),

令x=1,可得f′(1)=3-2f′(1),

解得f′(1)=1,所以f′(x)=3x2-2,

所以f′(2)=3×22-2=10.

3.下列直线中,既不是曲线C1:y=ex的切线,也不是曲线C2:y=ln x的切线的是(　D　)

A.y=x+1 B.y=x-1

C.y=ex D.y=e(x-2)

解析:对于f(x)=ex,f′(x)=ex,则f′(0)=1,

f′(1)=e,故曲线C1在(0,1),(1,e)处的切线分别为y=x+1与y=ex;

对于g(x)=ln x,g′(x)=,则g′(1)=1,g′()=e,故曲线C2在(1,0)与(,-1)处的切线分别为y=x-1与y=ex-2.综上可知只有D满足题意.

4.若过点P(1,0)作曲线y=x3的切线,则这样的切线共有(　C　)

A.0条  B.1条  C.2条  D.3条

解析:设切点坐标为(x0,),由y=x3,所以y′=3x2,所以y′=3,

所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,因为切线过点P(1,0),所以0=3-2,解得x0=0或x0=,所以过点P(1,0)作曲线y=x3 的切线可以作2条.

5.已知a,b为正实数,直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切,则的取值范围是(　C　)

A.(0,+∞) B.(0,1)

C.(0,)    D.[1,+∞)

解析:函数y=ln(x+b)的导数为y′==1,

则x=1-b,

切点坐标为(1-b,0),代入y=x-a,得a+b=1,

因为a,b为正实数,即a,b∈(0,1),

所以=,令g(a)=,且a∈(0,1),

则g′(a)=>0,即g(a)为增函数,所以∈(0,).

6.(2022·河南郑州一模)已知函数f(x)=,若f′(0)=2,

则f(0)=　            .

解析:由已知f′(x)==,

则f′(0)==2,解得a=-1,

所以f(x)=,

所以f(0)=-1.

答案:-1

7.(2022·湖北武汉一模)已知函数f(x)=ax2+ln x满足=2,则曲线y=f(x)在点(,f())处的切线斜率为　　　　. 

解析:易知f′(x)=2ax+,

由=2,

可得=2,

即f′(1)=2,所以f′(1)=3,可得3=2a+1,

解得a=1,故f′(x)=2x+,

故f′()=2×+2=3.

答案:3

8.若曲线y=ln x在点P(e,1)处的切线与曲线y=eax相切,则a=　　　　. 

解析:因为y=ln x,所以y′=,则y′|x=e=,

所以曲线y=ln x在点P(e,1)处的切线方程为

y=x.设y=x与y=eax相切于点(x0,),

因为(eax)′=aeax,所以

则a=,a=,可得x0=e2,从而a=e-2.

答案:e-2

9.已知函数f(x)=x3-ax2+(a+1)x(a∈R),若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,则a的取值范围为　　　　. 

解析:因为f(x)=x3-ax2+(a+1)x(a∈R),

所以f′(x)=3x2-2ax+a+1,

因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,

所以关于x的方程f′(x)=3x2-2ax+a+1=0有两个不等的实根,

则Δ=4a2-12(a+1)>0,即a2-2a-3>0,

解得a>3或a<-1,

所以a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).

答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)

10.(多选题)若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=[f′(x)]′.

若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,)上是凸函数的是(　ABC　)

A.f(x)=-x3+3x+4

B.f(x)=ln x+2x

C.f(x)=sin x+cos x

D.f(x)=xex

解析:对于A,f(x)=-x3+3x+4,

f′(x)=-3x2+3,

f″(x)=-6x,当x∈(0,)时,f″(x)<0,

故A为凸函数;

对于B,f(x)=ln x+2x,f′(x)=+2,

f″(x)=-,

当x∈(0,)时,f″(x)<0,故B为凸函数;

对于C,f(x)=sin x+cos x,

f′(x)=cos x-sin x,

f″(x)=-sin x-cos x=-sin(x+),

当x∈(0,)时,f″(x)<0,故C为凸函数;

对于D,f(x)=xex,f′(x)=(x+1)ex,

f″(x)=(x+2)ex,

当x∈(0,)时,f″(x)>0,故D不是凸函数.

11.若经过点P(2,8)作曲线y=x3的切线,则切线方程为(　D　)

A.12x-y-16=0

B.3x-y+2=0

C.12x-y+16=0或3x-y-2=0

D.12x-y-16=0或3x-y+2=0

解析:①易知点P在曲线y=x3上,当点P为切点时,y′=3x2,切线斜率k=12,切线方程为12x-y-16=0.

②当点P不是切点时,设切点为A(x0,y0),由定义可求得切线的斜率为k=3.

因为A在曲线上,所以y0=,

所以=3,

所以-3+4=0,

所以(x0+1)(x0-2)2=0,

解得x0=-1或x0=2(舍去),

所以y0=-1,k=3,

此时切线方程为y+1=3(x+1),

即3x-y+2=0.

故经过点P的曲线的切线有两条,方程为12x-y-16=0或3x-y+2=0.

12.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),对任意x∈(0,+∞),都有f(f(x)-log2x)=20,现已知f(a)=f′(a)+17,那么(　D　)

A.a∈(1,1.5) B.a∈(1.5,2)

C.a∈(2,2.5) D.a∈(2.5,3)

解析:不妨设f(x)-log2x=m,则f(m)=20,所以m+log2m=20⇒m=16,得f(x)=16+log2x,f′(x)=,因为f(a)=f′(a)+17,所以log2a--1=0,

令g(a)=log2a--1,易得g(a)在(0,+∞)上单调递增,因为g(3)=log23--1=>0,g(2.5)=log22.5--1===<<0,由函数零点存在定理知a∈(2.5,3).

13.在函数f(x)=aln x-(x-1)2的图象上,横坐标在(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数a的取值范围是(　C　)

A.[1,+∞) B.(1,+∞)

C.[6,+∞) D.(6,+∞)

解析:函数f(x)=aln x-(x-1)2,求导得f′(x)=-2(x-1),由横坐标在区间(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,

可得-2(x-1)>1对x∈(1,2)恒成立,

即有a>x(2x-1)=2x2-x对x∈(1,2)恒成立.

令g(x)=2x2-x,对称轴方程为x=,所以区间(1,2)为增区间,即有g(x)<g(2)=6,则有a≥6.

14.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ex的切线,则b=　　　　. 

解析:设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点坐标为(x1,y1),与曲线y=ex的切点坐标为(x2,y2),y=ln x+2的导数为y′=,y=ex的导数为

y′=ex,可得k==.又由k==,消去x2,

可得(1+ln x1)·(x1-1)=0,则x1=或x1=1,当直线y=kx+b与曲线

y=ln x+2的切点为(,1)时,其与曲线y=ex的切点为(1,e);当直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点为(1,2)时,其与曲线y=ex的切点为(0,1).所以k==e或k==1,则切线方程为y=ex或y=x+1,可得b=0或1.

答案:0或1

15.设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为(　B　)

A.        B.

C.  D.

解析:由题意,曲线y=xe-x上的任意一点P和直线y=x+3上的动点Q两点间的距离的最小值,就是曲线y=xe-x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离.

由y=可得y′=,

令y′=1,解得x=0.

当x=0时,y=0,点P(0,0),因此P,Q两点间的距离的最小值,即为点P(0,0)到直线y=x+3的距离,dmin==.