2024高考数学一轮总复习（导与练）第四章第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数

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第四章　三角函数(必修第一册)第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数[选题明细表] 知识点、方法题号角的概念的推广1,3,8,9弧度制及其应用2,4,5三角函数的定义及应用7,11综合6,10,121.给出下列四个命题:①-是第四象限角;②是第三象限角;③-410°是第四象限角;④-300°是第一象限角.其中正确命题的个数为(　C　)A.1 B.2 C.3 D.4解析:-是第三象限角,故①错误.=π+,从而是第三象限角,②正确.-410°=-360°-50°,从而③正确.-300°=-360°+60°,从而④正确.2.若扇形的面积为,半径为1,则扇形的圆心角为(　B　)A. B. C. D.解析:设扇形的圆心角为α,因为扇形的面积为,半径为1,所以=α·12,所以α=.3.若角α的终边与直线y=x+3相交,则角α的集合为(　C　)A.{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}B.{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}C.{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}D.{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}解析:当角α的终边与直线y=x重合时,角α的终边与直线y=x+3无交点.又因为角α的终边为射线,所以2kπ-<α<2kπ+,k∈Z.4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是(　B　)A.2       B. C.2sin 1    D.sin 2解析:如图,取AB的中点C,连接OC,则OC⊥AB,∠AOC=∠BOC=1 rad.在△AOC中,sin 1=,所以r=,所以所求弧长为αr=.5.已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数为(　C　)A. B. C.  D.2解析:设圆的半径为r,则该圆内接正方形的边长为r,即这段圆弧长为r,则该圆弧所对的圆心角的弧度数为=.6.(多选题)下列说法正确的有(　AD　)A.角与角-终边相同B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·360°-45°,k∈Z}C.若角α的终边在直线y=-3x上,则cos α的取值为D.67°30′化成弧度是解析:角与角-相差2π,终边相同,故A正确;终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·180°-45°,k∈Z},故B错误;若角α的终边在直线y=-3x上,则cos α的取值为±,故C错误;D正确.7.以原点为圆心的单位圆上一点从P(1,0)出发,沿逆时针方向运动,弧长到达点Q,则点Q的坐标为(　D　)A.(-,-) B.(,-)C.(-,)  D.(,)解析:设单位圆的半径为r,圆弧的弧长为l,则r=1,l=,所以对应的圆心角α===2π+.设Q(x,y),由任意角的三角函数定义,可得x=cos α=cos =,y=sin α=sin =,所以点Q的坐标为(,).8.已知角α和角β的终边关于y轴对称,则α+β=　　　　. 解析:设α,β为0°～180°内的角,如图所示,由α和β的终边关于y轴对称,所以α+β=180°,又根据终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)180°,k∈Z.答案:(2k+1)180°,k∈Z9.终边在直线y=x上的角α的集合是　　　　(用弧度制表示). 解析:因为角α的终边在直线y=x上,所以角α的终边在第一、第三象限的角平分线上,所以α=kπ+,k∈Z.答案:{α|α=kπ+,k∈Z}10.(多选题)如图,A,B是单位圆上的两个质点,点B的坐标为(1,0),∠BOA=60°,质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动,质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动,则(　ABD　)A.经过1 s后,∠BOA的弧度数为+3B.经过 s后,扇形AOB的弧长为C.经过 s后,扇形AOB的面积为D.经过 s后,A,B在单位圆上第一次相遇解析:经过1 s后,质点A运动1 rad,质点B运动2 rad,此时∠BOA的弧度数为+3,故A正确;经过 s后,∠AOB=++2×=,故扇形AOB的弧长为×1=,故B正确;经过 s后,∠AOB=++2×=,故扇形AOB的面积S=××12=,故C不正确;设经过t s后,A,B在单位圆上第一次相遇,则t(1+2)+=2π,解得t=(s),故D正确.11.若角α的终边落在直线y=x上,角β的终边与单位圆交于点(,m),且sin α·cos β<0,则cos α·sin β=　　　　. 解析:由角β的终边与单位圆交于点(,m),得cos β=,又由sin α·cos β<0,知sin α<0,因为角α的终边落在直线y=x上,所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),则|OP|=1(O为坐标原点),即x2+y2=1,又由y=x得x=-,y=-,所以cos α=x=-,因为点(,m)在单位圆上,所以()2+m2=1,解得m=±,所以sin β=±,所以cos α sin β=±.答案:±12.如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)处,此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)的位置时,的坐标为　　　　. 解析:如图所示,设滚动后的圆的圆心为C,过点C作x轴的垂线,垂足为A,过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2,所以劣弧=2,则圆心角∠PCA=2,所以∠PCB=2-,所以|PB|=sin(2-)=-cos 2,|CB|=cos(2-)=sin 2,所以xP=2-|CB|=2-sin 2,yP=1+|PB|=1-cos 2,所以=(2-sin 2,1-cos 2).答案:(2-sin 2,1-cos 2)