2024高考数学一轮总复习（导与练）第四章第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

[选题明细表]

1.sin 1 410°等于(　B　)

A.   B.-   C.    D.-

解析:sin 1 410°=sin(4×360°-30°)=-sin 30°=-.

2.已知tan(π-α)=-3,则等于(　A　)

A.-7    B.7   C.-1   D.1

解析:tan(π-α)=-tan α=-3,即tan α=3,

所以==-7.

3.已知cos(α-)=,则sin(α+)的值是(　B　)

A.-  B.   C.  D.-

解析:因为cos(α-)=,

所以sin(α+)=sin[+(α-)]=cos(α-)=.

4.已知sin α+cos α=-,则tan α+等于(　A　)

A.2 B.    C.-2  D.-

解析:由已知得1+2sin αcos α=2,

所以sin αcos α=,

所以tan α+=+===2.

5.(多选题)若cos(π-α)=-,则(　CD　)

A.sin(-α)=      B.sin(+α)=-

C.cos(π+α)=-      D.cos(α-π)=-

解析:由cos(π-α)=-可得cos α=,

则sin α=±.

A中,sin(-α)=-sin α=±,不正确;

B中,sin(+α)=cos α=,不正确;

C中,cos(π+α)=-cos α=-,正确;

D中,cos(α-π)=-cos α=-,正确.

6.若sin α是方程5x2-7x-6=0的根,则等于(　B　)

A.    B.    C.    D.

解析:方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,

x2=2,则sin α=-.

原式==-=.

7.若=,则tan θ=　　　　. 

解析:因为==,

所以2(sin θ+cos θ)=sin θ-cos θ,

所以sin θ=-3cos θ,所以tan θ=-3.

答案:-3

8.已知0<α<,若cos α-sin α=-,则的值为　 　.

解析:因为cos α-sin α=-,①

所以1-2sin αcos α=,即2sin αcos α=,

所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=.

又0<α<,所以sin α+cos α>0,

所以sin α+cos α=,②

由①②得sin α=,cos α=,tan α=2,

所以=.

答案:

9.已知cos(+α)=,且-π<α<-,则 cos(-α) 等于(　D　)

A.   B.

C.-    D.-

解析:因为(+α)+(-α)=,

所以cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(+α).

因为-π<α<-,所以-<α+<-.

又cos(+α)=>0,所以-<α+<-,

所以sin(+α)=-=-=-.

10.已知tan θ+=4,则sin4θ+cos4θ等于(　D　)

A.    B.    C.    D.

解析:tan θ+=+===4,

所以sin θcos θ=,

所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×()2=.

11.(多选题)若sin(α+)=,则(　ABC　)

A.cos(α+)=-

B.3tan2α+8tan α=-11

C.sin(α+)=-

D.3tan2α+8tan α=-12

解析:对于A,cos(α+)=-cos(α-)=-cos(-α)=-sin[-(-α)]=

-sin(α+)=-,A正确;

对于C,sin(α+)=-sin(α+)=-,C正确;

因为sin(α+)=,

所以sin αcos +cos αsin =,

所以sin α+cos α=,

所以(sin α+cos α)2=,

4sin2α+8sin αcos α+12cos2α=1,

3sin2α+8sin αcos α+11cos2α=0,

所以3tan2α+8tan α=-11,B 正确,D错误.

12.已知2sin α+cos α=,则tan α等于(　B　)

A.     B.2

C.2或 D.不确定

解析:法一　因为cos α=-2sin α且sin2α+cos2α=1,

所以sin2α+(-2sin α)2=1,

整理得5sin2α-4sin α+4=0,

所以(sin α-2)2=0,

所以sin α=,

所以cos α=,

所以tan α=2.

法二　因为2sin α+cos α=,

所以(2sin α+cos α)2=5,

所以4sin2α+4sin αcos α+cos2α=5,

所以sin2α-4sin αcosα+4cos2α=0,

所以=0,

所以tan2α-4tan α+4=0,

所以tan α=2.

13.已知k∈Z,化简:=　　　　. 

解析:当k=2n(n∈Z)时,

原式====-1;

当k=2n+1(n∈Z)时,

原式====-1.

综上,原式=-1.

答案:-1

14.已知<α<π,tan α-=-.

(1)求tan α的值;

(2)求的值.

解:(1)令tan α=x,则x-=-,

整理得2x2+3x-2=0,解得x=或x=-2,

因为<α<π,

所以tan α<0,故tan α=-2.

(2)==tan α+1=-2+1=-1.

15.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值是　　　　. 

解析:由题意可知,拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ,短直角边为sin θ,小正方形的边长为cos θ-sin θ,

因为小正方形的面积是,所以(cos θ-sin θ)2=,

因为θ为直角三角形中较小的锐角,

所以cos θ>sin θ,所以cos θ-sin θ=,

又因为(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=,

所以2sin θcos θ=,所以1+2sin θcos θ=,

即(cos θ+sin θ)2=,所以cos θ+sin θ=,

所以sin2θ-cos2θ=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=-.

答案:-