2024高考数学一轮总复习（导与练）第五章第3节　等比数列

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第3节　等比数列 [选题明细表] 知识点、方法题号等比数列基本量运算1,3,5,6,7,9等比数列的性质及应用2,4,8等比数列的判定与证明11,13等比数列的综合应用10,12,14,151.已知数列{bn}为等比数列,且首项b1=1,公比q=3,则数列{b2n}的前8项的和为(　B　)A.      B.C.      D.解析:由题意,bn=3n-1,则b2n=32n-1=3·9n-1,所以b2n为首项为3,公比为9的等比数列,则数列{b2n}的前8项的和为=.2.在正项等比数列{an}中,a4a8a12=8,则log2a2+log2a14等于(　A　)A.2 B.1 C.    D.解析:因为a4a8a12==8,所以a8=2,则log2a2+log2a14=log2(a2·a14)=log2=2.3.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8等于(　D　)A.12 B.24 C.30 D.32解析:法一　设等比数列{an}的公比为q,所以==q=2,由a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=a1(1+2+22)=1,解得a1=,所以a6+a7+a8=a1(q5+q6+q7)=×(25+26+27)=×25×(1+2+22)=32.法二　令bn=an+an+1+an+2(n∈N*),则bn+1=an+1+an+2+an+3.设数列{an}的公比为q,则===q,所以数列{bn}为等比数列,由题意知b1=1,b2=2,所以等比数列{bn}的公比q=2,所以bn=2n-1,所以b6=a6+a7+a8=25=32.4.已知一个等比数列的前n项,前2n项,前3n项的和分别为P,Q,R,则下列式子正确的是(　D　)A.P+Q=RB.Q2=PRC.P2+Q2=P(R-Q)D.(P-Q)2=P(R-Q)解析:当公比q不为-1时,P,Q-P,R-Q也构成等比数列,所以(Q-P)2=P(R-Q),当公比q=-1时,也满足(Q-P)2=P(R-Q).5.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则下列说法正确的是(　AB　)A.q=2B.=9C.Sn=2an+a1D.S3,S6,S9成等比数列解析:由a6=8a3,知q3=8,所以q=2,故A正确;===1+q3=9,故B正确;Sn==a1·2n-a1=2an-a1,故C错误;由上可知=9,而====≠9,所以S3,S6,S9不成等比数列,故D错误.6.在等差数列{an}中,a4=0,如果ak是a8与ak+8的等比中项,那么k=　　       　　. 解析:因为在等差数列{an}中,a4=0,所以a1+3d=0,所以a1=-3d,因为ak是a8与ak+8的等比中项,所以=a8·ak+8,即[a1+(k-1)d]2=(a1+7d)[a1+(k+7)d],所以[(k-4)d]2=4d·(k+4)d,显然d≠0,所以k=0(舍去)或k=12.答案:127.设{an}为等比数列,其前n项和为Sn,a2=2,S2-3a1=0,则{an}的通项公式是　　　　;Sn+an>48,则n的最小值为　　　　. 解析:设等比数列{an}的公比为q,则a1q=2,S2-3a1=a2+a1-3a1=0,解得a1=1,q=2,故an=1×2n-1=2n-1,Sn==2n-1,Sn+an=2n-1+2n-1>48,即3·2n-1>49,故n的最小值为6.答案:an=2n-1　68.(2023·江苏南京模拟)写出一个同时具有下列性质(1)(2)(3)的数列{an}的通项公式　            . (1)数列{an}是无穷等比数列;(2)数列{an}不单调;(3)数列{|an|}单调递减.解析:由题意,设等比数列{an}的公比为q,则-1<q<0,故答案为an=(-)n.答案:an=(-)n(答案不唯一)9.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.10.已知数列{an}是等比数列,若a2=1,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的最小值为(　C　)A.    B.1    C.2    D.3解析:由已知解得a1=2,q=,所以anan+1=2×()n-1×2×()n=8×()n,所以数列{anan+1}各项均为正数,所以a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的最小值为a1a2=2×2×=2.11.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是(　AB　)A.若Sn=2n-1,则{an}是等比数列B.若=(n≥2),则{an}是等比数列C.若=Sn-1Sn+1(n≥2),则{an}是等比数列D.若Sn=2n-a,则{an}是等比数列解析:若Sn=2n-1,则an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=S1=1满足an=2n-1,则an=2n-1,所以{an}是等比数列,故A正确;由=(n≥2),得{an}是等比数列,故B正确;当Sn=0时,满足=Sn-1Sn+1(n≥2),但{an}不是等比数列,故C错误;因为Sn=2n-a,所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=S1=2-a不一定满足an=2n-1,所以an=当a=1时,{an}是等比数列;当a≠1时,{an}不是等比数列,故D错误.12.(2020·江苏卷)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是　　　    　. 解析:当n=1时,S1=a1+b1=1,①当n≥2时,an+bn=Sn-Sn-1=2n-2+2n-1,则a2+b2=4,②a3+b3=8,③a4+b4=14,④②-①得d+b1(q-1)=3,⑤③-②得d+b2(q-1)=4,⑥④-③得d+b3(q-1)=6,⑦⑥-⑤得b1(q-1)2=1,⑦-⑥得b2(q-1)2=2,则q=2,b1=1,d=2,所以d+q=4.答案:413.已知数列{an}满足an+1=2an+3n-3,且a1=-1.(1)若bn=an+3n,证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明:因为an+1=2an+3n-3,且a1=-1,所以an+1+3(n+1)=2(an+3n),所以bn+1=2bn,b1=a1+3=2,所以数列{bn}是等比数列,首项与公比都为2.(2)解:由(1)可得bn=2n,所以an+3n=2n,所以an=2n-3n,所以数列{an}的前n项和Sn=-=2n+1-2-.14.在等差数列{an}中,a3+a7=-26,a5+a9=-38.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为t的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a3+a7=-26,a5+a9=-38,可得a5+a9-(a3+a7)=4d=-12,即d=-3,所以a3+a7=2a1+8d=-26,解得a1=-1,所以数列{an}的通项公式为an=-3n+2.(2)由数列{an+bn}是首项为a1+b1=1,公比为t的等比数列,所以an+bn=tn-1,所以bn=tn-1+3n-2,所以Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+t+t2+…+tn-1)=+(1+t+t2+…+tn-1).当t≠1时,Sn=+,当t=1时,Sn=+n=.15.(2022·辽宁沈阳高三一模)等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=14,b2b4=a6,且bn>0.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)已知:①bn<1 000;②∃m∈N+,使am=bn.设S为数列{bn}中同时满足条件①和②的所有的项的和,求S的值.解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由题意可得将a1=b1=1代入,解得由bn>0,则取q=2,故an=3n-2,bn=2n-1.(2)由bn=2n-1,bn<1 000,令2n-1<1 000,则n≤10,∃m∈N+,使am=bn,故令3m-2=2n-1,则m=,由于m,n∈N*,故可以看出当n=1,3,5,7,9时,m=成立,故S=b1+b3+b5+b7+b9=1+4+16+64+256=341.