2024高考数学一轮总复习（导与练）第五章第5节　数列的综合应用

这是一份2024高考数学一轮总复习（导与练）第五章第5节　数列的综合应用，共10页。
第5节　数列的综合应用 [选题明细表]知识点、方法题号数学文化与数列实际应用1,2,3,9新定义数列问题4,5,6,8数列与函数、不等式综合10,11,13,14数列中的奇偶项问题7,121.我国古代数学名著《算法统宗》中说:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次第,孝和休惹外人传.”意为:“996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分,要顺从父母,兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题中,第8个孩子分到的棉花为(　A　)A.184斤    B.176斤 C.65斤   D.60斤解析:依题意得,八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列,设该等差数列为{an},公差为d,前n项和为Sn,第一个孩子所得棉花斤数为a1,则由题意得,d=17,S8=8a1+×17=996,解得a1=65,所以a8=a1+(8-1)d=184.2.某企业在2013年年初贷款M万元,年利率为m,从该年年末开始,每年偿还的金额都是a万元,并恰好在10年间还清,则a的值为(　C　)A.      B.C.      D.解析:由已知a[(1+m)9+(1+m)8+…+(1+m)+1]=M(1+m)10,所以a=.3.某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活个数是(　C　)A.33    B.64     C.65     D.127解析:由题意可得a1=2,当n≥2时,an=2an-1-1,则an-1=2(an-1-1),所以数列{an-1}是以2为公比,1为首项的等比数列,所以an-1=2n-1,所以an=2n-1+1,所以6小时后细胞存活个数为a7=26+1=65.4.定义:在数列{an}中,an>0,且an≠1,若为定值,则称数列{an}为“等幂数列”.已知数列{an}为“等幂数列”,且a1=2,a2=4,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 023为(　A　)A.6 068     B.6 024     C.2     D.4解析:由题意,==24=16,所以==16,a3=2,=16,a4=4,所以a2n-1=2,a2n=4,n∈N*,S2 023=(2+4)×1 011+2=6 068.5.(多选题)(2022·福建厦门模拟)若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N*),其中是“差递减数列”的有(　CD　)A.an=3n     B.an=n2+1C.an=     D.an=ln解析:若an=3n,则an+1-an=3(n+1)-3n=3,所以{an+1-an}不为递减数列,故A错误;若an=n2+1,则an+1-an=(n+1)2-n2=2n+1,所以{an+1-an}为递增数列,故B错误;若an=,则an+1-an=-=,所以{an+1-an}为递减数列,故C正确;若an=ln,则an+1-an=ln-ln=ln(·)=ln(1+),由函数y=ln(1+)在(0,+∞)上单调递减,所以数列{an+1-an}为递减数列,故D正确.6.若数列{an}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列{}为“调和数列”,且b1+b2+…+b2 024=20 240,则b2b2 023的最大值是　　      　　. 解析:因为正项数列{}为“调和数列”,所以bn+1-bn=d,数列{bn}是等差数列,则b1+b2+…+b2 024==20 240,解得b2+b2 023=20,故2≤b2+b2 023=20,即b2b2 023≤100,当且仅当b2=b2 023=10时,等号成立,故b2b2 023的最大值是100.答案:1007.已知函数f(n)=n2cos nπ,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+…+a20=　　　        　. 解析:当n为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2cos nπ+(n+1)2cos[(n+1)π]=(n+1)2-n2=2n+1;当n为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=n2cos nπ+(n+1)2cos[(n+1)π]=n2-(n+1)2=-2n-1,所以an=所以a1+a2+…+a20=3-5+7-9+11-13+…+39-41=(3-5)+(7-9)+(11-13)+…+(39-41)=(-2)×10=-20.答案:-208.(2022·山东潍坊模拟)对于项数为m(m≥3)的有穷数列{an},若存在项数为m+1的等比数列{bn},使得bk<ak<bk+1,其中k=1,2,…,m,则称数列{bn}为{an}的“等比分割数列”.已知数列7,14,38,60,则该数列的一个“等比分割数列”可以是　　　   　.(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可) 解析:取一个首项为6,公比为2的数列,即满足bk<ak<bk+1,其中k=1,2,…,m.答案:6,12,24,48,96(答案不唯一)9.某高校2022届毕业生春季大型招聘会上,A,B两家公司的工资标准分别是:A公司许诺第一年的月工资为3 000元,以后每年月工资比上一年月工资增加300元;B公司许诺第一年月工资为3 500元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上增加5%.若某人被A,B两家公司同时录取,试问:(1)若此人分别在A公司或B公司连续工作n(n∈N*)年,则他在第n年的月工资收入分别是多少?(2)此人打算连续在一家公司工作10年,仅从工资总收入作为应聘的标准,此人应该选择哪家公司?参考数据:1.0510≈1.629.解:(1)设此人在A,B公司第n年的月工资分别为an元,bn元,则an=3 000+(n-1)×300=300n+2 700(n∈N*),bn=3 500×(1+5%)n-1=3 500×1.05n-1(n∈N*).(2)若此人在A公司连续工作10年,则他的工资总收入为12(a1+a2+…+a10)=12×[3 000×10+×300]=522 000(元).若此人在B公司连续工作10年,则他的工资总收入为12(b1+b2+…+b10)=12×≈528 360(元).因为522 000<528 360,所以此人应该选择B公司.10.已知函数f(x)=x+3sin(x-)+,数列{an}满足an=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 018)等于(　A　)A.2 018    B.2 019     C.4 036     D.4 038解析:因为f(x)=x+3sin(x-)+,所以f(1-x)=1-x+3sin(-x+)+,所以f(x)+f(1-x)=2,因为an+a2 019-n=+=1,所以f(an)+f(a2 019-n)=2,令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 018),则S=f(a2 018)+f(a2 017)+…+f(a1),两式相加可得2S=2×2 018,所以S=2 018.11.(多选题)已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=+,则(　ABD　)A.{}是等差数列B.Sn+Sn+2<2Sn+1C.an+1>anD.Sn-≥ln n解析:a1=S1=+,a1>0,解得a1=S1=1,当n≥2时,Sn=+,整理得-=1,故{}是等差数列,故A正确;=+(n-1)=n,则Sn=,Sn+Sn+2=+<2=2=2Sn+1,故B正确;a2=S2-S1=-1<a1,故C错误;令f(x)=x--2ln x(x≥1),f′(x)=≥0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)≥f(1)=0,则f()=--ln n≥0,即Sn-≥ln n,故D正确.12.设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn=(-1)nan+,则S1+S2+…+S9=　      　　. 解析:当n=1时,a1=S1=-a1+,解得a1=;当n≥2时,Sn=(-1)nan+=(-1)n·(Sn-Sn-1)+.当n为偶数时,可得Sn=Sn-Sn-1+,则Sn-1=;当n(n≥3)为奇数时,可得Sn=-Sn+Sn-1+,则Sn-1=2Sn-=-=0.因此,S1+S2+…+S9=+0++0++0++0+==.答案:13.设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=an+1-2n+1+1(n∈N*),且a2=5.(1)证明{+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3(an+2n),且Tn=++…+,证明Tn<2;(3)在(2)的条件下,若对于任意的n∈N*,不等式bn(1+n)-λn(bn+2)-6<0恒成立,求实数λ的取值范围.(1)解:在2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*中,令n=1,得2S1=a2-22+1,即a2=2a1+3,因为a2=5,解得a1=1,当n≥2时,由得到2an=an+1-an-2n,则+1=(+1),又a2=5,则+1=(+1),所以数列{+1}是以为首项,为公比的等比数列,所以+1=()n,即an=3n-2n.(2)证明:bn=log3(an+2n),则bn=log33n=n,当n=1时,T1==1<2,当n≥2时,<=-,Tn=+++…+<+1-+-+…+-=2-<2,综上,Tn<2.(3)解:当bn(1+n)-λn(bn+2)-6<0恒成立时,即(1-λ)n2+(1-2λ)n-6<0(n∈N*)恒成立,设f(n)=(1-λ)n2+(1-2λ)n-6(n∈N*),当λ=1时,f(n)=-n-6<0恒成立,则λ=1满足条件;当λ<1时,由二次函数性质知不恒成立;当λ>1时,由于对称轴x=-<0,则f(n)在[1,+∞)上单调递减,f(n)≤f(1)=-3λ-4<0恒成立,则λ>1满足条件.综上所述,实数λ的取值范围是[1,+∞).14.(1)若0<a≤1,判断函数f(x)=asin(1-x)+ln x在区间(0,1)内的单调性;(2)证明:对任意n≥2,n∈N*,sin2+sin2+…+sin2<ln 2.(1)解:因为f(x)=asin(1-x)+ln x(0<x<1),所以f′(x)=-acos(1-x)+,0<x<1⇒0<1-x<1⇒0<cos(1-x)<1,又0<a≤1,所以-1<-acos(1-x)<0,且0<x<1时,>1,所以 f′(x)>0,所以f(x)=asin(1-x)+ln x在区间(0,1)内单调递增.(2)证明:由(1)知,当a=1时,对于∀x∈(0,1),f(x)<f(1),即sin(1-x)+ln x<0,所以sin(1-x)<ln ,令1-x=,则x=1-,=,则0<sin<ln=ln(1+)<ln 2(n≥2,n∈N*),令(x)=ln(1+x)-x,x>0,′(x)=-1=<0,所以(x)在(0,+∞)上单调递减,所以(x)<(0)=0,即ln(1+x)<x(x>0),0<ln(1+)<<(k>1),所以当n∈N*,且n≥2时,0<sin<=-,所以sin2<=(-)ln 2,所以对任意n≥2,n∈N*,sin2+sin2+…+sin2<ln 2(1-)<ln 2.