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    2024高考数学一轮总复习(导与练)第六章第1节 平面向量的概念及线性运算

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    第六章 平面向量、复数(必修第二册)第1节 平面向量的概念及线性运算 [选题明细表] 知识点、方法题号平面向量的基本概念1,3,9平面向量的线性运算2,5,6,8共线向量定理及其应用4,7,13,14综合问题10,11,12,151.(多选题)下列命题错误的是( BCD )A.向量的长度与向量的长度相等B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反C.|a|+|b|=|a-b|a与b方向相反D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+ba,b之一的方向相同解析:向量与向量,长度相等,方向相反,故A正确;当a=0时,a与b的方向不一定相同或相反,故B错误;当a,b之一为零向量时,a与b的方向不一定相反,故C错误;当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同,故D错误.2.设D为线段BC的中点,且+=-6,则下列结论正确的是( D )A.=2    B.=3C.=2    D.=3解析:由D为线段BC的中点,且+=-6,得2=-6,=-3,所以=3.3.(2023·河南模拟)下列关于平面向量的说法正确的是( D )A.若,共线,则点A,B,C,D必在同一直线上B.若a∥b且b∥c,则a∥cC.若G为△ABC的外心,则++=0D.若O为△ABC的垂心,则·=·=·解析:若,共线,则A,B,C,D在同一直线上或AB∥CD,A错误;若b为零向量,则a与c不一定平行,B错误;++=0G为△ABC的重心,C错误;若O为△ABC的垂心,则OA⊥BC,则·=0,所以·(-)=0,得·=·.同理得·=·,故·=·=·,D正确.4.已知a,b是两个不共线的向量,且向量b+ma,a-3b共线,则实数m的值为( D )A.3     B.-3C.        D.-解析:设b+ma=k(a-3b),b+ma=ka-3kb,解得5.(多选题)已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为线段BC的中点,则等于( AC )A.+    B.-C.+    D.+解析:如图所示,已知BC中点为E,则=+=+=+(+)=-+×=+.6.如图所示,已知∠B=30°,∠AOB=90°,点C在AB上,OC⊥AB,若用来表示向量,则=           . 解析:由题意知=+=+=+(-)=+.答案:+7.设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为           . 解析:由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数λ,使得.=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以解得k=-.答案:-8.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且=a,=b,则=    ,=    .(用a,b表示) 解析:如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.答案:b-a -a-b9.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是( AB )A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中=a,=b解析:对于A,因为向量a,b是两个非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=e,b=-e,此时能使a,b共线,故A正确;对于B,由平面向量共线定理知,存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0,则非零向量a,b是共线向量,故B正确;对于C,xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0),如果x=y=0,则不能保证a,b共线,故C错误;对于D,已知在梯形ABCD中,=a,=b,AB,CD不一定是梯形的上、下底,故D错误.10.设D为△ABC的边AB的中点,P为△ABC内一点,且满足=+,则等于( A )A.    B.     C.     D.解析:因为D为△ABC的边AB的中点,所以S△ABC=2S△ADC.又因为P为△ABC内一点,且满足=+,所以-=,即=,即|DP|=|BC|且DP∥BC,所以∠ADP=∠B.因为S△ABC=|AB||BC|sin B,S△APD=|AD||DP|sin B=×|AB|·|BC|·sin B=×|AB||BC|sin B=S△ABC,所以==.11.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( ACD )A.若=+,则点M是边BC的中点B.若=2-,则点M在边BC的延长线上C.若=--,则点M是△ABC的重心D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的解析:若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;=2-,即-=-,即=,则点M在边CB的延长线上,故B错误;=--,即++=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;如图,=x+y,且x+y=,可得2=2x+2y,=2,则M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC的面积的,故D正确.12.在直角梯形ABCD中,A=90°,B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=,则μ的取值范围是         . 解析:由已知可得AD=1,CD=,所以=2.因为点E在线段CD上,所以 (0≤λ≤1).因为=+,==+2μ,所以2μ=λ.因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.答案:[0,]13.在△ABC中,=,P是线段BN上一点,若=t+,则实数t的值为                . 解析:法一 因为=,所以=,所以=t+=t+,因为B,P,N三点共线,所以t+=1,所以t=.法二 因为=,所以=,(0≤λ≤1),=+==+λ(+)=(-+)+(1-λ).=t+,所以解得t=λ=.答案:14.如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.(1)试用向量a,b表示 .(2)过点M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记 =λa,=μb,求证:+为定值.(1)解:由A,M,D三点共线,可设=m,=m+(1-m)=ma+b,由B,M,C三点共线,可设=n,=n+(1-n)=a+(1-n)b,所以解得所以=a+b.(2)证明:因为E,M,F三点共线,设=k,则=k+(1-k)=kλa+(1-k)μb,由(1)知kλ=,(1-k)μ=,所以=7k,=7-7k,所以+=7,为定值.15.已知A1,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足=λ(+)(λ是实数),且++是单位向量,则这样的点M有( C )A.0个     B.1个     C.2个     D.无数个解析:由题意得,=-λ(+),=+,=+,所以++=(1-3λ)·(+),如图所示,设D为A2A3的中点,所以(1-3λ)(+)是与共起点且共线的一个向量,显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点,故λ有两个值,即符合题意的点M有2个.

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