2024高考数学一轮总复习（导与练）第六章第4节　余弦定理和正弦定理

第4节　余弦定理和正弦定理

 [选题明细表]

1.已知在△ABC中,A=,B=,a=1,则b等于(　D　)

A.2    B.1     C.     D.

解析:由正弦定理=⇒b==.

2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=,a=1,B=,则c等于(　B　)

A.    B.2    C.     D.3

解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,

得7=1+c2+c,解得c=2或-3(舍去).

3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C等于(　C　)

A.    B.     C.     D.

解析:根据题意及三角形的面积公式知absin C=,

所以sin C==cos C,

所以在△ABC中,C=.

4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则等于(　D　)

A.2 B.3 C.   D.

解析:由正弦定理及bsin 2A=asin B,

得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,

又sin A≠0,

sin B≠0,则cos A=.

又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=.

5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若<cos A,则△ABC为(　A　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.等边三角形

解析:由<cos A,得<cos A.

又B∈(0,π),所以sin B>0,

所以sin C<sin Bcos A,

即sin(A+B)<sin Bcos A,

所以sin Acos B<0.

因为在三角形中sin A>0,所以cos B<0,

即B为钝角,所以△ABC为钝角三角形.

6.(多选题)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是(　ABD　)

A.若cos A=cos B,则△ABC为等腰三角形

B.若△ABC为锐角三角形,有A+B>,则sin A>cos B

C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个

D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形

解析:对于A,若cos A=cos B,则A=B,所以△ABC为等腰三角形,故A正确;

对于B,若A+B>,

则>A>-B>0,

所以sin A>cos B,故B正确;

对于C,由余弦定理可得b==,

只有一解,故C错误;

对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,则根据正弦定理得a2+b2<c2,cos C=

<0,所以C为钝角,所以△ABC是钝角三角形,故D正确.

7.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　      　　　. 

解析:由题意得S△ABC=acsin B=ac=,则ac=4,

所以a2+c2=3ac=3×4=12,

所以b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×=8,

则b=2.

答案:2

8.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里,14里,15里,求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为　　　      　平方里. 

解析:由题意画出△ABC,且AB=13里,BC=14里,AC=15里,在△ABC中,由余弦定理得,cos B===,所以sin B=

=,则该沙田的面积S=AB·BC·sin B=×13×14×=

84(平方里).

答案:84

9.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,

AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　      　　. 

解析:设BD=k(k>0),则CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k·(-)=

k2+2k+4.

在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-

2×2×2k·=4k2-4k+4,

则===4-=4-=4-,

因为k+1+≥2(当且仅当k+1=,即k=-1时,等号成立),所以≥4-=4-2=(-1)2,所以当取得最小值-1时,

BD=k=-1.

答案:-1

10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-bc=a2,

bc=a2,则角C的大小是(　A　)

A.或   B.

C.      D.

解析:由b2+c2-bc=a2,

得b2+c2-a2=bc,

则cos A===,

因为0<A<π,所以A=,

由bc=a2及正弦定理,

得sin Bsin C=sin2A=×=,

即4sin(C+A)sin C=4sin(C+)sin C=,

整理得cos 2C=sin 2C,

则tan 2C=,又0<2C<,

即2C=或,即C=或.

11.(多选题)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcos A,则下列结论正确的是(　ABD　)

A.a2=b(b+c)     B.A=2B

C.0<cos A<     D.0<sin B<

解析:因为c-b=2bcos A,所以由余弦定理得c-b=2b·,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A正确;因为c-b=2bcos A,所以由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,即sin(A+B)-sin B=

2sin Bcos A,

所以sin Acos B-sin Bcos A=sin B,所以sin(A-B)=sin B,由于C是钝角,所以A-B=B,即A=2B,故B正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<

A<60°,0°<B<30°,因此<cos A<1,0<sin B<,故C错误,D正确.

12.(2022·山东滨州二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,

b,c,若a+c=4,且sin A,sin B,sin C成等差数列,则△ABC的面积的最大值为　　      　　. 

解析:因为sin A,sin B,sin C成等差数列,

所以2sin B=sin A+sin C,

由正弦定理可得2b=a+c,又a+c=4,

所以2b=4,即b=2,

所以由余弦定理可得22=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,

即ac(1+cos B)=6,

又22=a2+c2-2accos B≥2ac-2accos B,即2≥ac(1-cos B),当且仅当a=c时,等号成立,

所以2×6≥ac(1-cos B)·ac(1+cos B)=(acsin B)2,

因为sin B>0,所以acsin B≤2,

所以S△ABC=acsin B≤,

当且仅当a=c时,等号成立,

所以△ABC的面积的最大值为 .

答案:

13.在①(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B);②2ccos C=acos B+

bcos A;③△ABC的面积为c(asin A+bsin B-csin C)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且　　      　　. 

(1)求C;

(2)若D为AB的中点,且c=2,CD=,求a,b的值.

解:(1)选择①.

根据正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),

整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,

所以cos C==.

因为C∈(0,π),所以C=.

选择②.

根据正弦定理有

sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,

所以sin(A+B)=2sin Ccos C,

即sin C=2sin Ccos C.

因为C∈(0,π),所以sin C≠0,

从而有cos C=,故C=.

选择③.

因为casin B=c(asin A+bsin B-csin C),

所以asin B=asin A+bsin B-csin C,

即ab=a2+b2-c2,

由余弦定理,得cos C===.

又因为C∈(0,π),所以C=.

(2)在△ACD中,由余弦定理得,

AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,

即b2=1+3-2cos∠ADC.

在△BCD中,由余弦定理得,

BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos∠BDC,

即a2=1+3-2cos∠BDC.

因为∠ADC+∠BDC=π,

所以cos∠ADC=-cos∠BDC,

所以a2+b2=8.

由C=及c=2,得a2+b2-4=ab,

所以ab=4,

从而a2+b2-2ab=0,

所以a=b=2.

14.(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.

(1)求△ABC的面积;

(2)若sin Asin C=,求b.

解:(1)由S1-S2+S3=,

得(a2-b2+c2)=,

即a2-b2+c2=2,

又a2-b2+c2=2accos B,

所以accos B=1.

由sin B=,

得cos B=或cos B=-(舍去),

所以ac==,

则△ABC的面积S=acsin B=××=.

(2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知===,

即b2=×=,得b=.

15.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.

(1)若C=,求B;

(2)求的最小值.

解:(1)因为=,

所以=,

所以=,

所以cos Acos B=sin B+sin Asin B,

所以cos(A+B)=sin B,

所以sin B=-cos C=-cos=,

因为B∈(0,),

所以B=.

(2)由(1)得cos(A+B)=sin B,

所以sin[-(A+B)]=sin B,

且0<A+B<,

所以0<B<,0<-(A+B)<,

所以-(A+B)=B,解得A=-2B,

由正弦定理得

=

=

=

==

=

=4cos2B+-5

≥2-5

=4-5,

当且仅当cos2B=时,取等号,

所以的最小值为4-5.