2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第八章　平面解析几何(选择性必修第一册)

第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[选题明细表]

1.直线x+y+1=0的倾斜角是(　D　)

A.    B.    C.    D.

解析:由直线的方程得直线的斜率为k=-,

设倾斜角为α,则tan α=-.

又α∈[0,π),所以α=.

2.已知直线l经过点(0,1),其倾斜角与直线x-4y+1=0的倾斜角互补,则直线l的方程为(　A　)

A.x+4y-4=0 B.4x+y-1=0

C.x+4y+4=0 D.4x+y+1=0

解析:因为直线x-4y+1=0的斜率为,所以直线l的斜率为-.又直线l过点(0,1),所以直线 l的方程为y-1=-x,即x+4y-4=0.

3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0的图象有可能是(　B　)

解析:由题意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,当a>0,b>0时,-a<0,-b<0,选项B符合.

4.若点P(a+b,ab)在第二象限内,则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是(　A　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:由题意可得a+b<0,ab>0,

因此a,b均为负数,

由直线的方程bx+ay-ab=0可得直线的斜率k=-<0,在y轴上的截距为-=b<0,所以直线不经过第一象限.

5.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为(　B　)

A.(-∞,]  B.[0,]∪(,π)

C.[0,]    D.[0,]∪[,π]

解析:直线l的斜率为k==1-m2,

因为m∈R,所以k∈(-∞,1],

所以直线的倾斜角的取值范围是[0,]∪(,π).

6.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线的方程为(　D　)

A.x-y+1=0

B.x+y-3=0

C.2x-y=0或x+y-3=0

D.2x-y=0或x-y+1=0

解析:当直线过原点时,可得斜率为=2,则直线方程为2x-y=0;当直线不过原点时,设方程为+=1,代入点(1,2)可得-=1,解得a=-1,则方程为x-y+1=0,故所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.

7.直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为　　 　　　. 

解析:设直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为a-1.

由题意知a,a-1均不为0,

由截距式可得直线方程为+=1,将(6,-2)代入直线方程,

解得a=2或3.

因此所求直线方程为x+2y-2=0或2x+3y-6=0.

答案:x+2y-2=0或2x+3y-6=0

8.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为　　　.

解析:由2x-3y+12=0的斜率为,在y轴上的截距为4可知,所求直线l的斜率为,在y轴上的截距为8,所以直线l的方程为y=x+8,

即x-3y+24=0.

答案:x-3y+24=0

9.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.

直线l的斜率k的取值范围是　                               ,

直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　            　　　. 

解析:如图所示,

由题意可知

kPA==-1,

kPB==1.

要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是

k≥kPB或k≤kPA,即k≥1或k≤-1.所以直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1] ∪[1,+∞).

由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,

又PB的倾斜角是,PA的倾斜角是,

所以倾斜角α的取值范围是.

答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)　[,]

10.(多选题)直线l:+=1中,已知a>0,b>0.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则数对(a,b)可以是(　AC　)

A.(3,8)    B.(1,9)    C.(7,4)    D.(5,3)

解析:因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=ab,于是ab≥10,解得ab≥20.结合选项可知,(3,8),(7,4)满足

题意.

11.已知直线l1,l2的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则(　C　)

A.b>0,d<0,a<c B.b>0,d<0,a>c

C.b<0,d>0,a>c D.b<0,d>0,a<c

解析:由题图,可知直线l1的斜率大于0,其在y轴上的截距小于0,

所以即

直线l2的斜率大于0,其在y轴上的截距大于0,

所以即

又直线l1的斜率大于直线l2的斜率,

即->->0,

所以a>c.

12.已知直线经过A(a,0),B(0,b)和C(1,3)三个点,且a,b均为正整数,则此直线的一般式方程为　　　　　 　　　.(只要写出符合条件的一条直线方程即可) 

解析:因为直线经过A(a,0),B(0,b),

所以直线的截距式方程为+=1.

又因为C(1,3)在直线上,所以+=1,

整理得a==1+.

又因为a,b均为正整数,所以b=4或6.

所以当b=4时,a=4;当b=6时,a=2.

所以直线方程为+=1或+=1,

即x+y-4=0或3x+y-6=0.

答案:x+y-4=0(或3x+y-6=0)

13.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则其一条边所在直线的斜率是　　　   　. 

解析:以正方形ABCD的顶点A为坐标原点,建立如图所示的坐标系,根据题意,对角线AC的斜率为3,设其倾斜角为α,tan α=3,则正方形的边AB,AD的倾斜角分别为α-,α+,

又tan (α-)==,

tan (α+)==-2,

所以一条边所在直线的斜率为或-2.

答案:或-2

14.(多选题)已知直线xsin α+ycos α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是(　BD　) 

A.直线的倾斜角是π-α

B.无论α如何变化,直线不过原点

C.直线的斜率一定存在

D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1

解析:根据直线倾斜角的范围为[0,π),而π-α∈R,所以A不正确;当x=y=0时,xsin α+ycos α+1=1≠0,所以直线必不过原点,B正确;当α=时,直线斜率不存在,C不正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S=||·||=≥1,所以D正确.