2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章第2节　直线的交点坐标与距离公式

第2节　直线的交点坐标与距离公式

[选题明细表]

1.点P在x轴上,若它到直线4x-3y-3=0的距离等于1,则点P的坐标是(　D　)

A.(2,0)   B.(0,2)

C.(-,0)   D.(2,0)或(-,0)

解析:设P(x,0),所以点P到直线4x-3y-3=0的距离d==1,

所以x=2或x=-,所以点P的坐标为(2,0)或(-,0).

2.(2022·四川凉山三模)已知直线l1:2x-y+1=0,l2:x+ay-1=0,且l1⊥l2,

则点P(1,2)到直线l2的距离d等于(　D　)

A.    B. 

C.   D.

解析:由l1⊥l2可得2×1-1·a=0,即a=2,故d==.

3.(2022·广东潮州二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在位置为B(3,4),若将军从点A(-2,0)处出发,

河岸线所在直线方程为y=x,则“将军饮马”的最短总路程为(　B　)

A.5    B.3    C.4    D.5

解析:因为点A(-2,0)关于直线y=x的对称点为A′(0,-2),

所以|A′B|即为“将军饮马”的最短总路程,|A′B|==3.

4.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,

直线x+ny+1=0为l3,若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为(　A　)

A.-10    B.-2    C.0    D.8

解析:由题意可得直线l1,l2,l3的斜率存在,可分别设为k1,k2,k3,

因为l1∥l2,所以k1=k2,即=-2(m≠-2),

解得m=-8.

因为l2⊥l3,所以k2·k3=-1,

即-2×(-)=-1(n≠0),

解得n=-2,

所以m+n=-8+(-2)=-10.

5.(多选题)已知直线l1:3x+y-3=0,直线l2:6x+my+1=0,则下列表述正确的有(　BD　)

A.直线l2的斜率为-

B.若直线l1垂直于直线l2,则实数m=-18

C.直线l1倾斜角的正切值为3

D.若直线l1平行于直线l2,则实数m=2

解析:当m=0时,直线l2的斜率不存在,故A错误;

当直线l1垂直于直线l2时,有3×6+1·m=0,解得m=-18,故B正确;

直线l1的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故C错误;

当直线l1平行于直线l2,则

解得m=2,故D正确.

6.(多选题)已知直线l:x-y+1=0,则下列结论正确的是(　ABCD　)

A.直线l关于x轴对称的直线为x+y+1=0

B.若直线m:x+y+1=0,则l⊥m

C.点(,0)到直线l的距离是2

D.过(2,2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0

解析:设点(x,y)为所求直线上任意一点,则其关于x轴的对称点(x,-y)在直线l上,所以 x+y+1=0,所以A正确;

直线 x-y+1=0的斜率为,直线x+y+1=0的斜率为-,

因为-×=-1,故两条直线垂直,所以B正确;

点(,0)到直线l的距离是=2,所以C正确;

过(2,2)与直线l平行的直线方程是y-2=(x-2),

即 x-y-4=0,所以D正确.

7.已知两条直线2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交点在y轴上,那么k的值是　　　　. 

解析:由x-6y+12=0可得直线与y轴的交点坐标为(0,2),将点(0,2)代入2x+3y-k=0可得k=6.

答案:6

8.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为　　　　　　. 

解析:因为直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0平行,

所以n=-2×2=-4.

又l1与l2之间的距离是2,

所以=2,解得m=7,

因此直线l1:x-2y+7=0,l2:x-2y-3=0.

设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+c=0,

则=,解得c=-13,

故所求直线方程为x-2y-13=0.

答案:x-2y-13=0

9.过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为　　　　　　　　　　. 

解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为+y=1,

即x+4y-4=0.

答案:x+4y-4=0

10.光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),则BC所在直线的方程是(　A　)

A.5x-2y+7=0  B.3x+y-1=0

C.3x-2y+4=0  D.2x-y-3=0

解析:根据题意,作出如图所示的光线路径,则点A(-3,4)关于x轴的对称点A′(-3,-4),

点D(-1,6)关于y轴的对称点D′(1,6),则BC所在直线的方程即为

A′D′所在直线的方程,由两点式方程得=,

整理得5x-2y+7=0.

11.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心,重心,垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,1),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为(　D　)

A.2x+4y-3=0  B.x-2y-3=0

C.2x-y-3=0   D.4x-2y-3=0

解析:由|AC|=|BC|及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线,

因为AB的中点为M(1,),

斜率kAB=-,

所以AB垂直平分线的斜率k=2.

因此△ABC的欧拉线的方程为y-=2(x-1),即4x-2y-3=0.

12.在△ABC中,点A(2,-1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y-6=0,∠ABC的内角平分线所在的直线方程为x-y+1=0,则点B的坐标为　　,△ABC的边BC所在直线的方程为　　　　.

解析:设点B(x,y),则

解得

所以点B(,).

设点A(2,-1)关于x-y+1=0对称的点A′(m,n),

则AA′的中点坐标为(,),kAA′=,

于是⇒

则A′(-2,3),

所以kA′B==,

所以直线BC的方程为y-=(x-),

即x-9y+29=0.

答案:(,)　x-9y+29=0

13.已知直线l的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中m∈R,求出当m变化时,点Q(3,4)到直线l的距离的最大值为　          .

解析:将直线的方程化为2x+y+4+m(-x+2y+3)=0,则由共点直线系方程性质可知,直线恒过2x+y+4=0和-x+2y+3=0的交点,设交点为P,解得P(-1,-2),

则点Q到直线的距离的最大值即为|PQ|, 

|PQ|==2.

答案:2

14.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则满足条件的实数a的一个值为　　 　 　(写出一个即可,不必考虑所有情况). 

解析:①当a=1时,直线l1,l2,l3重合,不能构成三角形,符合题意.

②当a≠1时,若三条直线交于一点,则不能构成三角形.

由得直线l2,l3的交点坐标为(-a-1,1),

代入直线l1的方程ax+y+1=0得a2+a-2=0,解得a=-2或a=1(舍去).

若三条直线中有两条平行或重合,若l1和l3平行或重合,则a=1(舍去);若l2和l3平行或重合,则a=1(舍去);若l1和l2平行或重合,则-a=-,得a=1(舍去)或a=-1,符合题意.综上,实数a所有可能的值为-1,1,-2.

答案:-1(或1或-2)

15.如图,光线从P(a,0)(a>0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线又在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b≥13,则实数a的最小值是　　　　　　. 

解析:如图所示,设P关于直线l的对称点为M,则M一定在第一次的反射光线所在直线上,设M关于x轴的对称点为N,则N必在第二次的反射光线所在直线上.

设M(x,y),则

解得

即M(a,a),

所以N(a,-a).

由题意kQN==,

整理得b=a.

因为b≥13,

所以a≥13,a≥5.

答案:5