2024高考数学一轮总复习（导与练）第十章第1节　两个计数原理、排列与组合

第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布

(必修第二册+选择性必修第三册)

第1节　两个计数原理、排列与组合

 [选题明细表]

1.在制作飞机的某一零件时,要先后实施6个工序,其中工序A只能出现在第一步或最后一步,工序B和C在实施时必须相邻,则实施顺序的编排方法共有(　C　)

A.34种 B.48种

C.96种 D.144种

解析:由题意先排工序A有2种编排方法;再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2种编排方法.故实施顺序的编排方法共有2×2=96种.

2.(2022·湖南常德一模)某中学为了弘扬我国二十四节气文化,制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻,且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式有(　A　)

A.192种   B.240种   C.120种   D.288种

解析:依题意只考虑“立春”和“惊蛰”时,由捆绑法得到=240种放置方式,

当“立春”和“惊蛰”相邻,且“清明”和“惊蛰”相邻时,只有2种排法,即“惊蛰”在中间,“立春”“清明”分布两侧,此时再用捆绑法,将三者捆在一起即2=48,所以最终满足题意的排法有240-48=

192(种).

3.现安排编号分别为1,2,3,4的四名志愿者去做三项不同的工作,若每项工作都需安排志愿者,每名志愿者恰好安排一项工作,且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作,则不同的安排方法数为(　C　)

A.36   B.24   C.18    D.12

解析:先将四名志愿者分为2人、1人、1人共3组,2人组有1号和3号一组;2号和4号一组;1号和4号一组共3种情况;再将3组志愿者分配三项工作有=6种.按照分步乘法计数原理,共有3×6=18(种).

4.有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组,要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加,则不同的报名方案有(　B　)

A.8种  B.14种 C.6种  D.20种

解析:将4名同学分成两组,有+种分法,将分好的两组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种,所以共有(+)·=7×

2=14(种)报名方案.

5.(多选题)用1,2,3,4,5这五个数字,组成三位数,则下列说法正确的是(　ABD　)

A.若允许重复,则可组成125个数

B.若不允许重复,则可组成60个数

C.可组成无重复数字的奇数24个

D.可组成无重复数字的偶数24个

解析:组成三位数,若允许重复,则可组成53=125(个)数;若不允许重复,则可组成=5×4×3=60(个)数;组成无重复数字的偶数分为两类,一类是2作个位数,共有个,另一类是4作个位数,也有个,因此符合条件的偶数共有+=24个;组成无重复数字的奇数有=

3×4×3=36(个).

6.某校有5名大学生打算前往观看冰球、速滑、花滑三场比赛,每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往,则甲同学不去观看冰球比赛的方案有(　C　)

A.48种 B.54种 C.60种 D.72种

解析:将5名大学生分为1,2,2三组,即第一组1个人,第二组2个人,第三组2个人,共有=15种方法;由于甲不去看冰球比赛,故甲所在的组只有2种选择,剩下的2组任意选,所以有2=4种方法.按照分步乘法计数原理共有4×15=60(种)方法.

7.(2022·山东淄博三模)若=6(m∈N*,m≥4),则m=　　　　. 

解析:因为=6(m∈N*,m≥4),所以m(m-1)(m-2)=6×

,

即6(m-3)=4!,解得m=7.

答案:7

8.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线.以这些点为顶点,可构成　　　　个不同的三角形. 

解析:法一　以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准.

第1类:共线的4个点中有2个点为三角形的顶点,共有=48个不同的三角形;

第2类:共线的4个点中有1个点为三角形的顶点,共有=112个不同的三角形;

第3类:共线的4个点中没有点为三角形的顶点,共有=56个不同的三角形.

由分类加法计数原理知,不同的三角形共有48+112+56=216(个).

法二(间接法)　从12个点中任意取3个点,有=220种取法,而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形,即不能构成三角形的情况有=4种.故这12个点能构成三角形的个数为220-4=216.

答案:216

9.(2023·湖北模拟)甲、乙、丙、丁四名同学星期天选择到A,B,C,D四处景点中一处去参观游玩,其中B处必有人去,则不同的参观方式共有(　D　)

A.24种    B.96种    C.174种   D.175种

解析:若4人均去B处,则有1种参观方式;

若有3人去B处,则从4人中选择3人去B处,另1人从另外3处景点选择一处,有=12种参观方式;

若有2人去B处,则从4人中选择2人去B处,另外2人从另外3处景点任意选择一处,有×32=54种参观方式;

若有1人去B处,则从4人中选择1人,另外3人从另外的3处景点任意选择一处有33=108种参观方式.

综上可知,共有1+12+54+108=175(种)参观方式.

10.在冬奥会志愿者活动中,甲、乙等5人报名参加了A,B,C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者,且甲不能参加A,B项目,乙不能参加B,C项目,那么不同的志愿者分配方案共有(　B　)

A.18种 B.21种 C.27种 D.33种

解析:根据题意,按照甲、乙参加的项目分类如下:①甲、乙都没有参加志愿者活动,有=6种分配方案;

②甲参加而乙没有参加志愿者活动,有=6种分配方案;

③甲没有参加而乙参加志愿者活动,有=6种分配方案;

④甲、乙都参加了志愿者活动,有=3种分配方案.

综上,有6+6+6+3=21(种)分配方案.

11.(2022·河南安阳模拟)教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动.某市3所高校的校长计划拜访当地企业,共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业,每家企业至少接待1名校长,则不同的安排方法共有(　A　)

A.60种 B.64种 C.72种 D.80种

解析:3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为=

4×4×4=64(种),由每家企业至少接待1名校长可知3名校长选的3家企业不全相同,因为3名校长选的3家企业完全相同有=4种,则不同的安排方法共有64-4=60(种).

12.如图,对“田”字型的四个格子进行染色.每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种,每个格子只染一种颜色,且相邻的格子不能都染红色,则满足要求的染色方法有　　　　种. 

解析:若4个格子中没有一格染红色,每格都染黄或蓝,有24=16(种)不同染法;

若4个格子中恰有一格染红色,4格中选一格染红,其余3格染黄或蓝,有4×23=32(种)不同染法;若4个格子中恰有两格染红色,有2种情况,其余2格染黄或蓝,有2×22=8(种)不同染法.由分类加法计数原理可知共有16+32+8=56(种)不同染法.

答案:56

13.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲小组至少2人,乙、丙组至少1人,则不同的分配方案种数为　　　　. 

解析:法一　当甲组有两人时,首先选2个放到甲组,共有=10种

结果,

再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有=

6种结果,

所以根据分步乘法计数原理知共有10×6=60(种)结果,

当甲组有三个人时,有=20种结果,

所以共有60+20=80(种)结果.

法二　先将5名同学分成3组,有两种分配方案,一是三组人数分别为2,2,1,分组方法有=15种,然后将有2人的两组分给甲、乙或甲、丙,分配方法是15×(+)=60种;二是三组人数分别为3,1,1,分组方法有=10种,然后将1人的两组分给乙、丙两组,分配方法是10×=20种.故共有60+20=80(种).

答案:80