2023届江西省高三二轮复习验收考试二模数学理试题含答案

  2022—2023学年高三二轮复习验收考试

数学理科

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则

A. B. C. D.

2.已知复数满足，则的虚部为

A. B. C.3 D.

3.已知，，，则

A. B. C. D.

4.在统计中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是2022年1月至2022年12月我国居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是

A.在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的中位数为2.1%

B.在这12个月中，月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3

C.在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的均值为1.85%

D.在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.0%

5.已知数列为等比数列，，，则数列的前10项和为

A.352 B.401 C.625 D.913

6.黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（附：圆台的侧面积，，为两底面半径，为母线长，其中的值取3，）

A. B. C. D.

7.已知非零向量，，满足，，，，则

A. B.2 C. D.4

8.已知定义在上的函数满足，为奇函数，则

A.0 B.1 C.2 D.3

9.已知，，，则的最小值为

A.4 B.6 C.8 D.12

10.正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法：

①的定义域为；②的最小正周期为；③的值域为；④图象的对称轴为直线.

其中所有正确说法的序号为

A.②③ B.①④ C.③ D.②③④

11.已知函数的定义域为，其导函数为，，，则

A.无极值  B.有极大值，也有极小值

C.有极大值，无极小值  D.有极小值，无极大值

12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线经过点交于，两点，点在上，，，，则的离心率为

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）

14.已知双曲线（，）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若的虚轴长为4，则的实轴长为____________.

15.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.

16.在平面四边形中，，，，现将沿着折起，得到三棱锥，若二面角的平面角为135°，则三棱锥的外接球表面积为__________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.

（1）求的值；

（2）若的面积为2，，求的周长.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）如图，在多面体中，平面，，为的中点.，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

19.（12分）为更好保障消费者的食品安全，某蛋糕总店开发了，两种不同口味的生态戚风蛋糕，制作主料均为生态有机原料.已知蛋糕的成本为60元/个，蛋糕的成本为61元/个，两种蛋糕的售价均为68元/个，两种蛋糕的保质期均为一天，一旦过了保质期，则销毁处理.为更好了解市场的需求情况，，两种蛋糕分别在甲、乙两个分店同时进行了为期一个月（30天）的试销，假设两种蛋糕的日销量相互独立，统计得到如下统计表.

（1）以销售频率为概率，求这两种蛋糕的日销量之和不低于78个的概率；

（2）若每日生产，两种蛋糕各个，根据以上数据计算，试问当与时，哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大？

20.（12分）已知抛物线的焦点为，，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.

（1）求的标准方程；

（2）抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.

21.已知函数，其中.

（1）当时，求的极值；

（2）若不等式对任意恒成立，证明：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中.

（1）求的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）直线与曲线交于，两点，且，两点对应的极角分别为，，求的值.

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的最小值为10，求实数的值.

2022—2023学年高三二轮复习验收考试

数学理科参考答案及评分细则

1.【答案】A 

2.【答案】C 

3.【答案】D 

4.【答案】C

5.【答案】D 

6.【答案】B

7.【答案】C 

8.【答案】C 

9.【答案】B

10.【答案】A 

11.【答案】D 

12.【答案】B

13.【答案】 

14.【答案】4 

15.【答案】 

16.【答案】

17.解：（1）若选①，由已知得，所以，

由正弦定理得，

又，所以，所以，①

又，②

联立①，②以及，解得.

若选②，由已知及正弦定理得，

所以，

所以，

所以，

又，所以，所以，①

又，②

联立①，②以及，解得.

（2）由的面积为2，得，所以，

由（1）可得，

由余弦定理得，

所以，所以，

所以的周长为.

18.（1）证明：因为，为的中点，所以，

又平面，平面，所以，

又，，平面，所以平面，

又平面，所以.

由平面几何知识可知，，，

所以，所以，

又，，平面，所以平面.

（2）解：由题知，过作交于，

则平面，可得，，

以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，所以，，

设平面的一个法向量为，

由得，

取，则，，所以.

由（1）知平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，易知为锐角，

则，

所以二面角的平面角的余弦值为.

19.解：（1）设这两种蛋糕的日销量之和为，

则，

，

.

所以这两种蛋糕的日销量之和不低于78个的概率为

.

（2）当时，两种蛋糕获利之和为元；

当时，两种蛋糕获利之和为元，

因为，所以当时，两种蛋糕的获利之和最大.

20.解：（1）由对称性可知当为等边三角形时，，两点关于轴对称，

当为等边三角形时，的高为，

由题意知点在上，代入，得，解得，

所以的标准方程为.

（2）由（1）知，根据题意可知直线的斜率不为0，

设直线的方程为，，，，

联立得，

所以，即，且，，

所以，

由，得，

所以，所以，即，

又点在上，所以，即，①

所以，解得，

又点在第一象限，所以，所以.

又点到直线的距离，化简得，②

联立①②解得或（舍去）或（舍去）.

此时点，直线的方程为.

21.（1）解：当时，，所以，

令，所以，

当时，单调递减；当时，，单调递增，

所以，且当时，，，

所以当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增，

所以的极小值为，无极大值.

（2）证明：由题得对任意恒成立，则只需即可.当时，对任意不恒成立，故，

令，则，

令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，

又时，，且，，

由零点定理可得存在，使得，即.

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增，

所以，

所以只需，即，

所以，所以，所以，

当时，，则，

又，所以，

所以，解得，所以，解得.

22.解：（1）由得，

消去得为的普通方程；

由，得，

令，，得为直线的直角坐标方程.

（2）在中，令，，

所以，即为的极坐标方程，

联立得，

所以，所以，又，所以，

所以或或或，解得或或或，

由图可知，两交点位于第一、四象限，所以或，

所以.

23.解：（1）当时，，

又，所以或或

解得或，所以，

所以不等式的解集为.

（2），

因为，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，解得或5.