2023届广西壮族自治区南宁市第三中学高三模拟数学（理）试题（二）含解析

2023届广西壮族自治区南宁市第三中学高三模拟数学（理）试题（二）

一、单选题

1．若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则求得z即可求得虚部.

【详解】由已知，故，

故z的虛部是2.

故答案为：D

2．若集合，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的定义域和值域分别求解出集合，由此判断出正确的的选项.

【详解】因为中，所以，所以，

又因为中，所以，

所以，所以成立，

故选：C.

3．某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续个月的调研，得到两企业这个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（        ）

A．这个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过

B．这个月的乙企业月利润增长指数的第百分位数小于

C．这个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定

D．在这个月中任选个月，则这个月乙企业月利润增长指数都小于的概率为

【答案】C

【分析】根据折线图估算AC，对于B项把月利润增长指数从小到大排列，计算%=7.7可求,对于D项用古典概型的概率解决.

【详解】显然甲企业大部分月份位于%以上，故利润增长均数大于%，

A不正确；

乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10

又因为%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于%，

故B错误；

观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，

故C正确；

（2个月乙企业月利润增长指数都小于82%），

故D错误.

故选：C.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的余弦公式计算可得.

【详解】解：因为，所以，又，

所以，

所以

故选：C

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．

【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为1的四棱锥体；

如图所示：

所以：．

故选：D．

6．下列图象中，函数，图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由条件，分析可得为偶函数且在区间上恒成立，由此可以用排除法得到答案.

【详解】根据题意，.

所以为偶函数，其图像关于轴对称，所以可以排除选项.

在上单调递增，所以，且.

则在上，排除选项.

故选：D

【点睛】本题考查根据函数解析式选择函数图像，注意分析函数的奇偶性、单调性、定义域、值域和一些特殊点处的函数值，属于中档题.

7．甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（    ）

A．240 B．192 C．96 D．48

【答案】B

【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.

【详解】丙在正中间（4号位）；

甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，

考虑到甲､乙的顺序有种情况；

剩下的4个位置其余4人坐有种情况；

故不同的坐法的种数为.

故选：B.

8．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.

【详解】，

在中由正弦定理得：，即，

所以，

又因为在中，，

所以,

故选：D

【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.

9．已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先利用周长为求得值，得到M，N坐标，再设点，利用直线AM与AN的斜率之积构建关系，结合满足已知方程，解得，即得结果.

【详解】由△AF1B的周长为，可知，解得，则，

设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得，即  ①．

又，所以 ②，

由①②解得，所以椭圆C的标准方程为．

故选：C．

10．当时，函数取得最小值，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出导函数，由题意，解得，即可计算.

【详解】当时，函数取得最小值，

所以，所以，得，

又，根据函数在处取得最值，

所以即得，

所以，.

故选：C.

11．某变量的总体密度曲线为，变量的总体密度曲线为，在同一直角坐标系中作两曲线如图所示，图中两阴影区域记作I，II，在矩形区域中任取一点，则点落在区域I或II的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意首先利用微积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式可得概率值.

【详解】由题意可得，区域Ⅰ的面积：

.

区域Ⅱ的面积：

，

则点落在区域I或II的概率为.

故选B.

【点睛】本题主要考查定积分及其应用，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．已知，其中e为自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由，得，再由，得，由，得，然后构造函数，利用导数判断其单调性，可比较出的大小，从而可得答案.

【详解】令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，即，

所以，

所以﹔

因为，所以，

令（），则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，所以，

所以，所以：

设

设

在上，，递减，所以

所以，递增，

所以，即

所以

综上：

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是根据合理构造函数，通过函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题.

二、填空题

13．已知向量， 若， 则______.

【答案】

【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.

【详解】解析：本题考查平面向量垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养.

因为，所以，则.

故答案为：.

14．若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为、，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围.

【详解】如下图所示：

设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，

则，解得或，

圆心到直线的距离为，

圆到直线的距离为，

由图可知，圆与直线相交，与直线相离，

所以，，即.

故答案为：.

15．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，正四棱锥的高与蛋黄半径的比值为__________.

【答案】

【分析】设正四棱锥的棱长均为，球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切， 由已知求出四棱锥的高，设球半径为r，求出表面积可得体积，四棱锥的高和半径作比可得答案.

【详解】设正四棱锥的棱长均为，球的体积要达到最大，

则需要球与四棱锥的五个面都相切，

则正四棱锥底面对角线长的一半为，

正四棱锥的高，

侧面底边上的高为，

设球半径为r，四棱锥的体积，

，

，

，，

所以.

故答案为： .

16．已知，设；数列的前n项和为，当时，n的最小整数值为__________.

【答案】11

【解析】首先利用赋值法求得，，之后应用等比数列求和公式求得，代入求解即可.

【详解】因为，

令，得，所以，

所以，所以即为，

所以，

故答案为：11.

【点睛】该题考查的是有关二项展开式的问题，涉及到的知识点有赋值法求系数和，等比数列求和公式，属于简单题目.

三、解答题

17．已知数列的前项和为，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)①；②；③．

从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由已知可得当时，，进而得，可求数列的通项公式；

（2）若选①：．错位相减法可求．若选②：，可求．若选③：，分组求和可求．

【详解】（1）当时，，，

，，，

当时，．．，

，数列是以，3为公比的等比数列，

．

（2）若选①：，

，

，

，

．

若选②：，

．

若选③：，

．

【点睛】数列求和的常见方法：

①错位相减法

②裂项相消法

③分组求和

④公式法

⑤倒序相加法

18．如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使.

(1)证明：平面平面；

(2)试探究在线段DM上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)时二面角的大小为

【分析】（1）先由勾股定理证，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面BEFC；（2）建立空间直角坐标系设，再利用向量法求解.

【详解】（1）在中，易得，，，

由，得，

又，，，

又为中点，，，

因为，平面，

平面，又平面，

所以平面平面；

（2）由(1) 平面，以为原点，以为的正方向建立空间直角坐标系，，，

，，

由(1)得平面的法向量为，

设平面的法向量为，，

所以，所以.

由题得,所以，

所以，所以，

因为二面角P—EN—B的大小为60°，

所以，解之得（舍去）或.

此时，所以.

19．今年月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．月日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

(1)根据小概率值的独立性检验，判断密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗是否有关？

(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有人感染猴痘病毒的概率：

(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立．记：该家庭至少检测了名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为．求当为何值时，最大？

附：

【答案】(1)没有

(2)

(3)

【分析】（1）假设：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，根据题意求得判断；

（2）易得该地区每名密切接触者感染病毒的概率为，再利用独立重复实验求解；

（3）易得，再利用导数法求解.

【详解】（1）解：假设：密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗无关，

依题意有故假设不成立，

∴ 没有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；

（2）由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为，

设随机抽取的人中至多有人感染病毒为事件，

则；

（3），

则，令；则 （舍去），

随着的变化，的变化如下表：

综上，当 时，最大．

20．设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．

(1)求抛物线的方程；

(2)当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在定点，使得为定值．

【分析】（1）根据抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，然后三点共线时，距离和最短，即可得到关系式；

（2）由已知可得，直线经过点，设出直线方程和点的坐标，与抛物线联立，根据韦达定理，得到，，表示出，整理完成得到，可知当所有的形式前面的系数均为0时为定值，即可解出T的坐标和该定值.

【详解】（1）设抛物线焦点为F，，根据抛物线的定义有，

则，

即，所以（舍去负值），

则抛物线的方程为．

（2）∵，∴K、A、B三点共线．

∴设直线AB方程为，

设，，，

联立得，

，则或.

，，，，

且有，

而

，

因为，的任意性，要使该值为定值，需满足

，可得，此时.

21．已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)证明：（为自然对数的底数，）.

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求导，分和两种情况讨论的正负，得到的单调性；

（2）由（1）得当时，在上单调递减，即可得到当时，，再利用对数运算和等比数列求和公式即可证明不等式成立.

【详解】（1），

当时，，在上单调递增；

当时， 令，得，令，得，

∴在上单调递增，在上单调递减.

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，

当时，由，

∴，令，即，

∴

，

∴.

22．在极坐标系中,O为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为P

（1）当时，求及的极坐标方程

（2）当在上运动且点P在线段上时，求点P的轨迹的极坐标方程

【答案】（1），极坐标方程为（2）点轨迹的极坐标方程为

【分析】（1）当时，，直角坐标系坐标为，计算直线方程为化为极坐标方程为

（2）点的轨迹为以为直径的圆，坐标方程为，再计算定义域得到答案.

【详解】(1)当时，，

以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，，，则直线的斜率由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；

(2)∵∴，则点的轨迹为以为直径的圆

此时圆的直角坐标方程为

化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，

∴点轨迹的极坐标方程为）.

【点睛】本题考查了直线的极坐标方程，轨迹方程，忽略掉定义域是容易发生的错误.

23．已知、、均为正实数，且.

(1)证明：；

(2)比较与的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）利用柯西不等式可证得结论成立；

（2）由题中条件可得出，利用作差法结合基本不等式可得出与的大小．

【详解】（1）证明：由柯西不等式有，

当且仅当时，等号成立，

故.

（2）解： ，所以，，

所以，

，

若第一个等号成立，即，即时，

第二个等号若要成立，则要满足，此时，故等式可成立．

所以，，当且仅当时，等号成立.