2023届宁夏回族自治区银川一中高三下学期第二次模拟考试数学文含答案

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2023年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题卷

( 银川一中第二次模拟考试 )

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则

   A．    B．       C．    D．

2．已知向量，，，若，则

   A． B． C． D．

3．某单位职工老年人有人，中年人有人，青年人有人，为了了解职工的建康

   状况，用分层抽样的方法从中抽取人进行体检，则应抽查的老年人的人数为

   A． B.  C． D．

4．函数的部分图象大致形状是

A．    B．

C．    D．

5．从甲、乙、丙、丁四名同学中选人参加数学竞赛，则甲被选中的概率为

   A． B． C． D．

6．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，

   例如如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名

   中外的中国剩余定理执行该程序框图，则输出的=
   A．      B．     

   C．       D．

7．若实数，满足，则的最小值为

   A．5            B．       

   C．            D．

8．直线与圆的位置关系为

   A．相离        B．相切       C．相交      D．不能确定

9．函数的部分图象如图所示，

   则的单调递减区间为
   A．，  B．，
   C．，          D．，

10．设数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比

    数列，则

A． B． C． D．

11．已知焦点在轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，

    则双曲线的离心率是

A．        B．2         C．           D．

12．如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下

的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲

面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段

叫做球缺的高．球冠面积公式为，球缺

的体积公式为，其中R为球的

半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之

比为，则这两个球缺的体积之比为

A．          B．            C．    D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知复数，为虚数单位，则________．

14．已知函数是幂函数，

    且为偶函数，则实数________．

15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，

    异面直线AB与CD的夹角为_______．

16．已知数列的前项和为，，且为常数若数列满足

    ，且，则满足条件的的值为_________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17．分
    为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将只小鼠随机分成、两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：

    记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为．
    求乙离子残留百分比直方图中，的值；
    分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间中点值为代表．

18．分

在中，角的对边分别是，已知．

求角的大小；

若的中点，求的值．

19分

如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径.

   (1)弦上是否存在点D，使得平面，请说明理由；

   (2)若，，求点到平面的距离.

20．分

设曲线：过，两点，

直线：与曲线交于，两点，与直线交于点．

求曲线的方程；

    记直线，，的斜率分别为，，，求证：，其中为定值．

21．分

已知函数．

若是的极值点，求的单调区间和极值；

若恒成立，求的取值范围．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

    在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，常数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.

   (1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；

   (2)若直线和相交于两点，以为直径的圆与直线相切，求的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]

    已知函数．

  (1)当时，求不等式的解集；

  (2)若的最小值为2，且，求的最小值．

银川一中2023届高三第一次模拟数学(文科)参考答案

一、选择题：(每小题5分，共60分)

11. A【详解】由题意设一条渐近线的倾斜角为，

则另一条渐近线的倾斜角为，由双曲对称性可得，

则一条渐近线的斜率为，设双曲线的长半轴长为a，短半轴长为b，则，

故离心率为.

12.C【详解】设小球缺的高为，大球缺的高为，则，①

由题意可得：，即：，②所以由①②得：，，

小球缺的体积，大球缺的体积，小球缺与大球缺体积之比为.

二、填空题：(每小题5分，共20分)

13.           14.            15.  60°  

16.  【解析】因为，且为常数，

令时，则，解得，所以，

所以，所以，则，
当时，，满足上式，故，因为，

所以，，则，解得，
又因为，所以或．所以当或时，．

三、解答题：

17. 【答案】解：为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，
根据直方图得到的估计值为．则由频率分布直方图得：，
解得乙离子残留百分比直方图中，．
估计甲离子残留百分比的平均值为：
．
乙离子残留百分比的平均值为：
． 

18. 【答案】解：，结合余弦定理，
可得，整理得，所以．
又，所以．
因为．在中，据余弦定理可得

，故AC．
又是的中点，故，

所以，故． 

19.【答案】解：【详解】（1）当点D为的中点时，平面，证明如下：

取AB的中点D，连接OD，∵O，D分别为，的中点，则，

平面，平面，∴平面，

又∵，平面，平面，∴平面，

，平面，∴平面平面，

由于平面，故平面.

(2)设距离为，由题可得,

由等体积法得：,解得距离.

20、【答案】解：由已知得解得．所以曲线的方程为．

易知，  联立整理得，
设，， 则，，

，
又，，等于定值，得证．

21、【答案】解：由题意知函数的定义域为，
，是的极值点，，解得，
当时，，当变化时，

故的单调递增区间为，，单调递减区间为

极大值为=，极小值为.
要使得恒成立，即当时，恒成立，
设，则，
当时，由得：，所以的单减区间为；
由得：，所以的单增区间为，
故，得；
当时，由得：，所以的单减区间为；
由得：或，所以的单增区间为，．
此时，不合题意；
当时， 恒成立，所以在上单调递增，且，不合题意；
当时，由得：，所以的单减区间为；
由得：      或，所以的单增区间为，，
此时，不合题意；综上所述：恒成立，的取值范围为． 

22.【详解】（1）将曲线的参数方程消去，得的普通方程为，

且因为，所以，将，，代入，

得，即，，即为的极坐标方程，

由直线的方程化简得，

化简得，即为的直角坐标方程.

（2）将直线代入，得，即.

故以为直径的圆圆心为，半径.

圆心到直线的距离，由已知得，解得.

23. 【详解】（1）当时，等价于，

当时，，则，当时，，则，

当时，，则，综上所述，不等式的解集为．

（2），当且仅当等号成立，

，即，，，

，

当且仅当，即，即，时，等号成立，故的最小值为9.