湖南省三湘名校教育联盟、五市十校教研教改共同体2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

三湘名校联盟五市十校教研教改共同体·2022年上学期高一期中考试

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 设集合，集合，则

A.  B.
C.  D.

2. 若复数，则

A.  B.  C.  D.

3. 年月日，东方航空公司航班在广西梧州市上空失联并坠毁专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器黑匣子，如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定月日时分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知，不共线，向量与方向相反，则实数等于

A.  B.  C.  D.

5. 南宋时期，我国著名数学家秦九韶发现了与海伦公式等价的求三角形面积的方法，称之为“三斜求积术”这个公式能用三角形的三边，，来求三角形的面积数学课上，张三在做笔记时由于分神，有部分公式没有抄完，他的笔记写着，请问里是

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数为奇函数，且当时，，则的零点个数为

A.  B.  C.  D.

7. 已知的外接圆圆心为，，则在方向上的投影向量为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点若直线与平面不存在公共点，则三棱锥的体积为

A.    B.
C.    D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列说法不正确的是

A. 若直线，不共面，则，为异面直线
B. 若直线平面，则与内任何直线都平行
C. 若直线平面，平面平面，则
D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等

10. 以下命题正确的是

A.
B.
C. 若复数满足，则对应的点在第四象限
D. 是复数、为纯虚数的必要不充分条件

11. 设为所在平面内一点，则下列说法正确的是

A. 若，则点是的重心
B. 若，则点是的垂心
C. 若，，则点是的内心
D. 若，则点是的外心

12. 已知，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得出函数的图象，为偶函数且的最小正周期为，则下列说法正确的是

A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点成中心对称
C. 在上单调递增
D. 方程在上有个解

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，，若，则           ．
14. 一圆台的上下底面半径分别为，，母线为，则被截成该圆台的圆锥的表面积为          ．
15. 已知复数满足，那么的取值范围为          ．
16. 已知，，，，点为平面内一动点，且满足．
    已知，则          
    已知，则的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 如图，正四棱锥底面正方形的边长为，侧棱长为．
    求该几何体的表面积
    求该几何体外接球的体积．
    
    
    
     

18. 在中，角，，的对边分别为，，满足，．
    求角的大小
    若，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知向量，，，且函数的相邻两对称轴之间的距离为．
    求函数的解析式
    求关于的不等式的解集．
    
    
    
     
20. 自新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为万元为响应当地政府防疫政策，决定采用线上直播促销线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期年的合作协议，直播费用单位：万元只与年的总直播时长单位：小时成正比，比例系数为已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费单位：万元与总直播时长单位：小时之间的关系为为常数记该厂家线上促销费用与年线下促销费用之和为单位：万元．
    写出关于的函数关系式
    该厂家直播时长为多少时，可使最小并求出的最小值．
    
     
21. 在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证：
    平面
    平面平面F.

22. 已知函数．
    判断的单调性并证明
    设，，若存在，使得成立，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查交集即其运算，属于基础题．

【解答】

解：集合，，
．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的四则运算，共轭复数，属于基础题．
先求，代入数值即可求解．

【解答】

解：由，可得，再计算，可得答案．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
根据已知条件，结合充分、必要条件的定义判断即可．

【解答】

解：如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数乘运算以及向量共线的基本定理，属于基础题．

【解答】

解：向量与的方向相反，
，
，，
，．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查海伦公式，考查推理能力和计算能力，属于一般题．
根据海伦公式代入化简即可判断．

【解答】

解：由海伦公式 

，即可判断选项．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点
利用奇函数求得时，的解析式，对进行分类讨论即可求得零点个数

【解答】

解：函数为奇函数，且当时，
当时，
当时，
当时，，，
，
当时，
当时，画出与的图象，

由图象可知没有零点
当时，单调递减，单调递增
单调递减，且，，
故有个零点
当，，，故，没有零点
当时，，，故，没有零点
综上所述，有个零点

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的加法运算及平面向量的投影向量，属于中档题．

【解答】

解：．．四边形为平行四边形，
又为的外接圆圆心．
四边形为菱形且为正三角形．
且与互相平分．
在方向上的投影向量为．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考察了线面平行的判定和三棱锥体积的计算，属于基础题．
现将平面扩展得截面，找到过点与该截面平行的直线，即可确定点位置从而计算三棱锥的体积．

【解答】

解：扩展平面，得截面，其中，，分别是所在棱的中点．
因为直线与平面不存在公共点，所以平面．
由中位线定理知又平面，平面，
所以平面．
同理可得平面，又因为，，平面．
所以平面平面，所以当与在平面内相交，

即当点在上时，直线与平面不存在公共点．
显然，平面，所以．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与直线的位置关系，线面平行的判定与性质
根据所学知识，逐个判断选项即可

【解答】

解：若直线，不共面，则，既不相交，也不平行，故，为异面直线，故A正确
若直线平面，只有过直线的平面与平面相交得到的交线，才与直线平行，故不是内任何直线都平行，故B错误
若直线平面，平面平面，则或直线在平面面内，故C错误
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故D错误

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的概念，复数的运算，复数的几何含义以及充分条件与必要条件．

【解答】

解：对于，两个虚数不能进行大小比较，A错误；
对于，，B正确；
对于，在复平面内对应的点坐标为，未与第二象限，C错误；
对于，时，，若，不是纯虚数，故不充分，
当复数、为纯虚数，则，，故必要，D正确．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考察了三角形的四心和向量的基础知识，属于中档题．
根据三角形四心的几何特征结合选项逐一判断即可．

【解答】

解：若，则，以，为邻边作平行四边形，为的中点，
则，所以，又，所以，故为的重心，所以A正确
若，则，即，即，所以，同理，则，故为的垂心，故B正确
在边，上分别取点，，使，，则，以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，连接，则为的角平分线，由，所以点在角平分线上，故点的轨迹一定通过的内心，所以C错误
若，则，同理有，故为的外心，所以D正确．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数与余弦函数的图象与性质
根据题意求得与，继而逐个判断选项即可

【解答】

解：将的图象向右平移个单位长度，可得．
将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得．
又为偶函数，且最小正周期为．
．
，，，．
对于，故A正确．
对于，故B正确．
对于由，得的单调递增区间为时，增区间为，故C正确．
对于由，得．．，当时，仅有或两个解，故D错误．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考察了空间向量的坐标运算及模，属于基础题．

【解答】

解：，
则，，
．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考察了圆锥表面积的计算，属于基础题．
根据相似关系算出圆锥的母线长，结合表面积公式即可求解．
 

【解答】

解：由相似关系易知圆锥的母线长为，底面半径为，

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的模及其几何意义
由，知对应的点的轨迹是以，为端点的线段表示对应的点与的距离，即可求得取值范围

【解答】

解：由于，知对应的点的轨迹是以，为端点的线段表示对应的点与的距离，所以在取时有最小值，取或时有最大值，故取值范围为

16.【答案】  

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的几何运用，考查了向量的数量积以及向量的坐标运算，属于较难题．

【解答】

解：当时，，则，
，则
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，，
则的取值范围为．

17.【答案】

本题考察了四棱锥的表面积和外接球的体积，属于中档题．
先计算正四棱锥的斜高再根据外接球球心的性质列方程求解即可．
 

【解析】

解：取中点，连，则，从而，
连，连，在上取一点，使，
在中，，

又在中，，即，
得，从而．
 

18.【答案】

解：由正弦定理，
，
，
又
由余弦定理C.
即C.
则，，
．
 

【解析】

本题考查三角恒等变换，正余弦定理与三角形面积公式
利用正弦定理与两角和的正弦公式求得角
利用余弦定理求得，再利用三角形面积公式求解
 

19.【答案】

解：由题
，
又，
，
即，
，
解集为．
 

【解析】

本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象特征，函数的恒成立问题，正弦函数的性质，属于中档题．
 

20.【答案】

本题考察了不等式的实际应用问题，属于中档题．
根据题意列出关于的函数关系式即可；
结合不等式去求出的最小值．
 

【解析】

解：由题得，当时，，则，
故该厂家年促销费用与线上直播费用之和为
由知，
当且仅当，即时等号成立，
即线上直播小时可使最小为万元．
 

21.【答案】

证明：连，交于点，连，，
，分别是，的中点，
，
又，，
，
平面，
平面，
平面
由可知，，
由题连接，，
是的中位线，
，
，，，四点共面，
又，
，
平面，
平面F.
平面平面F.
 

【解析】

本题考查直线与平面平行的证明，平面与平面平行的证明，考查空间想象能力和推理能力
由已知得，由此能证明直线平面
由已知得，，由此能证明平面平面F.
 

22.【答案】

解：，
，，定义域为，
设，任取，，且，
则
，
，，，
，
是定义域上的单调递增函数
，
设，为增函数．
由题意得成立，
成立，
成立，
成立，
令，，
任取，，使得，
则，
在上为增函数，
，
，
，
，
 

【解析】

本题考查利用定义研究函数的单调性，以及不等式恒成立，属于难题．
求出函数定义域，令，证明当，，，，从而得证；
将成立问题转化为成立，设，为增函数，将不等式成立问题转化为成立问题，从而转化为，令，利用定义证得在上为增函数，得到，即可得