上海市奉贤中学2021-2022学年高一下学期线上教学调研检测数学试题

这是一份上海市奉贤中学2021-2022学年高一下学期线上教学调研检测数学试题，共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
奉贤中学2021学年第二学期线上教学调研检测试卷高一数学一、填空题（共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）1. 已知角的终边经过点，则______．【1题答案】【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数的定义求值即可．【详解】∵角的终边经过点，∴.故答案为：.2. 已知向量，，若，则实数的值是______．【2题答案】【答案】【解析】【分析】应用向量共线的坐标表示得，即可求.【详解】由题意知：，解得.故答案为：3. 已知，则值为____________【3题答案】【答案】【解析】【详解】试题分析：考点：诱导公式.4. 已知向量，，则的单位向量的坐标为______．【4题答案】【答案】【解析】【分析】先求得，计算其模，将向量除以它的模，得到与同向的单位向量的坐标，即为所求.【详解】，此方向上的单位向量为,故答案为：5. 已知△ABC是边长为3的正三角形，则______．【5题答案】【答案】##【解析】【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】故答案为：6. 直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是______．【6题答案】【答案】【解析】【分析】利用正切函数的性质即得.【详解】直线与的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数的一个周期，因为函数的最小正周期为，所以直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是.故答案为：.7. 已知，则________【7题答案】【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简，再根据二倍角公式与同角三角函数关系计算即可【详解】由诱导公式，可得，即，故故答案为：【点睛】本题主要考查了诱导公式、二倍角公式与同角三角函数的关系，属于基础题8. 若向量，，则向量在向量的方向上的投影为______．【8题答案】【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用投影的定义计算作答.【详解】因向量，，则，所以向量在向量的方向上的投影为.故答案为：9. 已知是腰长为的等腰直角三角形，其中，点是所在平面上的任意一点，则向量的模为________【9题答案】【答案】【解析】【分析】利用平面向量的线性运算以及平面向量的数量积可求得向量的模.【详解】由已知可得，，，且，因为，因此，的模为.故答案为：.10. 已知，向量，，当取到最大值时，的值是______．【10题答案】【答案】（或或）【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示、辅助角公式得且，由取到最大值有，，结合的范围即可求的值.【详解】由，且，∴当取到最大值时，有，即，.∵，∴时，.故答案为：（或或）11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的两锐角分别为，，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为___________．【11题答案】【答案】【解析】【分析】设大正方形的边长为，可得小正方形的边长为，进而可得，，两式相乘，结合图象可知，以及两角差的余弦公式即可求解.【详解】设大正方形的边长为，由小正方形与大正方形的面积之比为，得小正方形的边长为，则①，②．由图可得，，①②可得，解得．故答案为：12. 已知O为矩形内一点，满足，，，则______．【12题答案】【答案】【解析】【分析】利用向量的线性运算和数量积的运算转化可得，由两边平方，可以求得的值，进而得解.【详解】设矩形的对角线交点为,则 = ，由两边平方得：,∵，，，∴，∴ .∴，故答案为：-4.二、选择题（共有4题，满分20分，每题5分）13. 已知是的边上的中线，若，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【13题答案】【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可求得结果.【详解】因为是边上的中线，所以为的中点，所以.故选：B14. 在△中，已知，则△的形状为（    ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 正三角形 D. 等腰或直角三角形【14题答案】【答案】D【解析】【分析】由、，结合已知及两角和差正弦公式可得，根据三角形内角的性质即可判断△的形状.【详解】由题意，，∴或，∵，，∴或.故选：D15. 已知函数在内是严格减函数，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【15题答案】【答案】B【解析】【分析】根据正切函数图象与性质，列出不等式组，即可求解.【详解】因为函数存在减区间，则由，可得，由题意函数在内是严格减函数，可得且满足，解得.故选：B.16. 已知函数，，则下列说法正确的是（    ）A. 与的定义域都是B. 为奇函数，为偶函数C. 的值域为，的值域为D. 与都不是周期函数【16题答案】【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．【详解】．与的定义域都是，故错误，．，则是偶函数，故错误，．，，的值域为，，的值域，，故正确，．则是周期函数，故错误，故选．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．三、解答题（本大题共76分，第17－19题每题14分，20题16分，21题18分）17. 己知向量，满足，，，且与不共线．（1）若向量与为方向相反的向量，求实数的值；（2）若向量与的夹角为，求与的夹角．【17题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由平面向量共线定理可设，，由，系数相等列方程组，解方程组即可求解；（2）分别计算、、、的值，再由平面向量夹角公式即可求解.【详解】（1）因为向量与为方向相反的向量，所以存在实数，使得，且与不共线，所以，解得：或（舍）；所以实数的值为；（2）因为向量与的夹角为，，，所以，，，，所以，因为，所以.18. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求角B的大小；（2）若且，求边长c的取值范围．【18题答案】【答案】（1）    （2）(1,2)【解析】【分析】（1）根据已知条件利用余弦定理可以求得，进而得解；（2）利用正弦定理可以求得，进而根据角范围，利用正弦函数的性质求得.【小问1详解】由余弦定理及得，所以，因为，所以；【小问2详解】∵,∴,∵，∴，∴,∴边长的取值范围是(1,2).20. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，是一块边长为100的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径是80，矩形就是拟建的健身室，其中、分别在和上，在上，设矩形的面积为，.（1）将表示为的函数；（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在何处？【20题答案】【答案】（1），；（2）最大面积为，此时点在的端点或处时．【解析】【分析】（1）延长交于，则，，由此可求出答案；（2）令，则，，化简函数并利用二次函数求出最值．【详解】解：（1）延长交于，则，，，，∴，；（2）令，则，，，当，即时，取得最大值2000，，，，或，即，∴当点在的端点或处时，该健身室的面积最大，最大面积为．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，考查二倍角公式的应用，属于中档题．21. 已知函数的部分图象如图所示．
 （1）求函数的解析式；（2）若为偶函数，求t的值；（3）若，，的值域为，求实数a，b的值．【21题答案】【答案】（1）；    （2）或；    （3）或.【解析】【分析】（1）由题可得和，即可求出，再利用可求出即可得出解析式；（2）可得，令即可求出；（3）令利用三角恒等变换及三角函数的性质可得，然后结合条件可得或，即得.【小问1详解】由图可得，，，，则，又，解得，，，；【小问2详解】为偶函数，，解得，，或；【小问3详解】令，则，，，∴，∴，又的值域为，即，显然，∴或，解得或.23. 对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．（1）若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；（2）若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；（3）是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．【23题答案】【答案】（1）    （2）见解析    （3）存在，或或.【解析】【分析】（1）根据函数解析式计算，，，根据“跃点”函数的定义，利用辅助角公式和三角函数的性质求得实数的取值范围；（2）先将“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价转化为“对于任意实数，关于的方程都有解”，然后利用取特值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性；（3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案.【小问1详解】由已知得存在实数，使得，∴，∴实数m的取值范围是.【小问2详解】由题意得“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价于：对是任意实数，关于的方程都有解，则对于时有解，即,∴；反之，当时，,等价于，显然，是此方程的解，故此方程对于任意实数都有实数解.综上所述，“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；【小问3详解】由已知得，，化简得，的最小正周期为；根据函数在上的图象可知：
 ①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”；②当时，在有个“跃点”，此时；③当或时，在上有个“跃点”，故；综上：或或.【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决.