浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题

2021学年第二学期台州九校联盟期中联考

高一年级数学试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4．考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．

1. 设，则在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的几何意义即可判断.

【详解】解：由题意知：，

实部大于0，虚部小于0，

故在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D．

2. 已知直线，平面，，且，，，则下列结论一定成立的是（    ）

A. ，是异面直线 B.

C. 内所有直线与平行 D. ，没有公共点

【2题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，举特例说明判断选项A，B，C；利用面面平行的定义判断D作答.

【详解】在长方体中，平面平面，视平面为平面，平面为平面，如图，

直线为直线a，满足，若直线为直线b，满足，显然有，A不正确；

直线为直线a，满足，若直线为直线b，满足，显然，是异面直线，B不正确；

直线为直线b，满足，直线，而直线AB与直线b是异面直线，C不正确；

因，于是得平面与没有公共点，从而得，没有公共点，D正确.

故选：D

3. 设的内角A，，所对的边分别为，，，若，则等于（    ）

A.  B.

C.  D.

【3题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据，求得各角的大小，利用正弦定理求得答案.

详解】由于，故，

故，

故选：A

4. 已知向量，，且，则的值为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】求出的坐标后可求的值.

【详解】，

由可得，解得，

故选：C

5. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（    ）

A. 的长度大于的长度 B. 的面积为2

C. 面积为4 D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】结合斜二测画法的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】依题意是的中点，且轴，轴，，，

三角形中，，

三角形中，，，，,

，所以A选项错误.

，C选项正确.

，B选项错误.

由于，所以三角形不是等腰直角三角形，所以D选项错误.

故选：C

6. 在菱形中，，，，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，进而可求得的值.

【详解】由题意可知，

因此，.

故选：A.

7. 已知点，，，则向量在方向上的投影向量为（    ）

A.  B.

C.  D.

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，，则在方向上的投影向量为，即可求解．

【详解】由，，，得，

所以在方向上的投影向量为

故选：B

8. 在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（    ）

A. 所得截面是六边形

B. 截面过棱的中点

C. 截面不经过点

D. 截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，作出过三点的正方体的截面，再逐项推理判断作答.

【详解】在正方体中，依题意，直线FG与直线交于点P，显然，

直线FE交DA延长线于点Q，则有，如图，

连接，则有，而平面平面，平面平面，

平面与平面有公共点，则平面与平面必有一条交线，此交线平行于，也平行于，

连，因，则四边形是平行四边形，于是得，即平面平面，

因此点是平面截正方体的截面的一个顶点，连交分别于点O，H，

连接，则五边形是平面截正方体所得的截面，A不正确，C不正确；

由知，，即，B不正确；

由得，即，则截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点，D正确.

故选：D

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，

或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分．

9. 已知平面向量，，满足，，则下列结论正确的是（    ）

A. 与的夹角为 B. 向量是单位向量

C. 与可以作为直角坐标平面的一组基底 D. 可以取到2

【9题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】求出向量，夹角判断A；求向量的模判断B；由向量，是否共线判断C；利用数量积运算求出范围判断D作答.

【详解】因，，则，而，解得，A正确；

因，则，B不正确；

由选项A知，向量，不共线，则与可以作为直角坐标平面的一组基底，C正确；

因，则，又，即，令，

于是有，即，而，

因此有，解得，D不正确.

故选：AC

10. 设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，则

C. 若，，则符合条件的有两个

D. 若，则为等腰三角形或直角三角形

【10题答案】

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，由余弦定理与数量积的定义计算，

对于B，由正弦函数性质判断，

对于C，由正弦定理判断三角形解的个数，

对于D，由正弦定理与二倍角公式化简后判断．

【详解】对于A，，而，故A错误，

对于B，若，则，故，B正确，

对于C，由正弦定理得，故，故A有两解，符合条件的有两个，C正确

对于D，若，则，即，

得或，故或，为等腰三角形或直角三角形，D正确

故选：BCD

11. 如图是底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕顶点逆时针滚动，当这个圆锥转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则下列结论正确的是（    ）

A. 圆锥的母线长为12 B. 圆锥的侧面积为

C. 圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 D. 圆锥的体积为

【11题答案】

【答案】BC

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为，由侧面积公式结合题意，求出母线，即可判断选项，由扇形面积公式即可判断选项，求出底面周长，然后利用弧长公式求出圆心角，即可判断选项，利用圆锥的体积公式，即可判断选项．

【详解】解：设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，

又圆锥的侧面积，

因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，

所以，

解得，

所以圆锥的母线长为6，

故选项错误；

圆锥的侧面积，

故选项正确；

因为圆锥的底面周长为，

设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，则，

解得，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，

故选项正确；

圆锥的高，

所以圆锥的体积为，

故选项错误．

故选：．

12. 已知复数，满足，（为虚数单位），则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C. 的最小值为 D. 的最小值为4

【12题答案】

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据复数的几何意义作出复数对应的点所在的图形，数形结合，可判断A；根据复数以及其共轭复数的模的关系，判断B；数形结合判断C,D.

【详解】由可知，表示的复数所对应的点都落在两点连线的中垂线上，即如图直线m上，m与y轴交点为 ，

由可知， 对应的点都在以点为圆心，半径为2的圆上，如图，

则的最小值为 ，的最大值为 ，

而 ，故，故A正确；

由于，故，故B正确；

对应的点在直线上，如图，和直线m关于x轴对称，

过点A作n的垂线，交圆于D,交n于E点，

则的最小值即为的长，为 ，故C正确；

设中对应的圆与x轴切于B点，过B作m的垂线，垂足为C,

则的最小值即为BC的长，即为 ，故D错误，

故选：ABC

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若为虚数单位，则复数的虚部为________．

【13题答案】

【答案】##

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出，进而可得其虚部.

【详解】因为，所以其虚部为，

故答案为：.

14. 设的内角，，所对的边分别为，，．若，，，则________．

【14题答案】

【答案】##

【解析】

【分析】由余弦定理与数量积的定义求解

【详解】由余弦定理得，

而，，，，

化简得，解得，故

故答案为：

15. 长方体中，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路线的长为______.

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】长方体有三种侧面展开形式，利用勾股定理可以求出每种展开方式的长，最后比较大小得出最短路线的长.

详解】将长方体侧面展开有三种方式如下图：

的长有以下三种可能：

第①种方式：；

第②方式：；

第③种方式：.

所以蚂蚁爬行的最短路线的长为.

故答案为：

【点睛】本题考查了长方体侧面展开方式求长方体表面两点距离最短问题，考查了分类讨论思想，考查了公股定理，考查了数学运算能力.

16. 在直角坐标平面内，，，若对任意实数，点都满足，则的最小值为________．

【16题答案】

【答案】5

【解析】

【分析】设P为(x，y)，根据对任意实数t∈R可求出的范围，从而可求的最小值．

【详解】设P为(x，y)，则，，，，

∴，

，

∵对任意实数，∴，

∵，，

∴，当且仅当x＝0，时取等号．

故答案为：5．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设是虚数单位，复数满足．

（1）求复数；

（2）若复数为纯虚数，求实数的值．

【17题答案】

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用复数乘法运算及复数模的运算求出即可求出.

（2）利用复数乘法运算结合纯虚数的定义计算作答.

【小问1详解】

依题意，，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，为纯虚数，，解得，

所以实数的值为.

19. 设的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．

（1）若，，求的面积；

（2）若，求角的大小．

【19题答案】

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用向量共线的坐标表示列式，再用正弦定理求出角A，利用余弦定理、面积定理计算作答.

（2）用角C表示角B，再利用差角的正弦公式化简计算作答.

【小问1详解】

因为向量与，，则，

在中，由正弦定理得：，

而，即，则有，即，又，解得，

当，时，由余弦定理得：，即有，而，解得，

所以的面积.

【小问2详解】

由（1）知，，由得：，

则有，即，整理得，而，解得，

所以.

21. 设的内角，，所对的边分别为，，．已知．

（1）求角的值；

（2）若，．，边上的两条中线，相交于点，求．

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，得到，再利用余弦定理求解；

（2）法1：由，，利用余弦定理求得边a，再利用中线长公式求得MC，BN，由是的重心，得到MP，NP，在中，利用余弦定理求解；法2：利用向量法，由，，利用夹角公式求解；法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系，利用夹角公式求解.

【小问1详解】

解：因为，

所以由正弦定理得：，

整理得：，

所以，

又因为，

所以；

【小问2详解】

法1：因为，，

所以，

由中线长公式知：，，

得，，

又因为是的重心，

所以，，

连结，则，

在中，；

法2：（向量法），，

，

，

，

故，同理得，

所以；

法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系，

则，，，

所以，，

所以

23. 鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且高，．

（1）求三棱锥的体积和表面积；

（2）求三棱锥外接球体积和内切球的半径．

【23题答案】

【答案】（1），表面积为   

（2）外接球体积为，内切球半径为

【解析】

【分析】（1）利用公式可求体积及表面积.

（2）利用补体法可求外接球的半径，从而可求外接球的体积，利用等积法可求内切球的半径.

【小问1详解】

由题设可得，而三棱锥的高为，

三棱锥的体积，

又，

三棱锥的表面积

.

小问2详解】

由条件知，可将三棱锥补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球．即为三棱锥外接球的直径.

因为，所以三棱锥外接球体积为.

记内切球的球心为，连结，，，，得到四个等高的三棱锥，

且该高为内切球的半径，则，

得，

所以，

故三棱锥内切球的半径为.

25. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．

（1）当时，求的值；

（2）当时，求的值；

（3）求的取值范围．

【25题答案】

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）﹒

【解析】

【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得；

(2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得；

(3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围．

【小问1详解】

在直角梯形中，易得，，

∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，

故；

【小问2详解】

，

当时，，

设，，

则，

，

∵不共线，∴，解得，即；

【小问3详解】

∵，，

∴，

＝，

由题意知，，

∴当时，取到最小值＝，

当时，取到最大值，

∴取值范围是．