河北省廊坊市第四中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份河北省廊坊市第四中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省廊坊四中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共48分）
1．x取下列各数时，使得有意义的是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
2．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若□＝3，则运算符号“□”表示（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
4．三角形的三边长分别为8，15，17，这个三角形的面积是（　　）
A．60 B．120 C．68 D．136
5．如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
6．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则该三角形最长边的长为（　　）

A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠OAD＝30°，则∠AOD的度数为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．135°
8．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（　　）

A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定
9．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角相等 D．对角线互相垂直
10．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个锐角为60°的菱形，则剪口与折痕所成的角α的度数应为（　　）

A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
11．如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，F是边BC的中点，连接DF，若BC＝6，AC＝4，则四边形DFCE的周长为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
12．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．要使四边形EFGH为菱形，可以添加的一个条件是（　　）

A．四边形ABCD是菱形 B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD D．AC⊥BD
13．如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（　　）

A．12cm B．cm C．cm D．cm
14．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．正方形的四个角均为直角
C．矩形的对角线相等
D．菱形的四条边都相等
15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）

A．13 B．26 C．34 D．47
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
二、填空题（每小题3分，共12分）
17．化简的结果是 　 　．
18．在▱ABCD中，∠B+∠D＝200°，则∠A＝　 　．
19．直角三角形中，两直角边的长分别为3和4，则斜边的中线长为 　 　．
20．四边形ABCD中，∠ABD＝90°，AB＝2，AD＝4，BC＝BD，∠BDC＝60°．线段BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分，BE＝　 　．

三、解答题（共6道题，21题8分；22、23、24、25题10分，26题12分，共计60分）
21．计算：
（1）；
（2）．
22．如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，且BD＝1，AC＝．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：四边形BEFD是矩形；
（3）四边形BEFD的周长为 　 　．

23．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝4dm，BC＝3dm，AB，DO均与地面平行．
（1）若支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；
（2）若OF的长度为dm，∠FOD＝135°，求扶手F到AB所在直线的距离．

24．如图，在平面直角坐标系中，已知长方形ABCD的两个顶点A（2，﹣1），C（6，2）．点M为y轴上一点，△MAB的面积为6，且MD＜MA．
请解答下列问题：
（1）顶点B的坐标为　 　；
（2）将长方形ABCD平移后得到A1B1C1D1，若A1（﹣1，﹣5），则C1的坐标为　 　；
（3）求点M的坐标．

25．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．

（1）若AC＝EC，如图1，求证：DB∥CE．
（2）如图2，AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，AF＝BE＝1，DG＝，求CG的长度．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD为平行四边形；
（2）①当四边形AEFD为菱形时，求t的值；
②当t＝　 　s时，四边形DEBF为矩形；
（3）当△DEF为直角三角形时，求t的值．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共48分）
1．x取下列各数时，使得有意义的是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，得到答案．
解：由题意得：x﹣4≥0，
解得x≥4，
故使得有意义的是5，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
解：A、的被开方数a不确定，不一定是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，解答关键是理解最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
3．若□＝3，则运算符号“□”表示（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】直接利用二次根式的乘除、加减运算法则分别计算，进而得出答案．
解：∵3+＝4，3﹣＝2，
3×＝6，3÷＝3，
∴运算符号“□”表示÷．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．三角形的三边长分别为8，15，17，这个三角形的面积是（　　）
A．60 B．120 C．68 D．136
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形，再进一步根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半求解．
解：∵82+152＝289＝172，
∴该三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是×8×15＝60．
故选：A．
【点评】此题主要是勾股定理的逆定理的运用，以及直角三角形的面积公式，关键是首先证明三角形为直角三角形．
5．如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由菱形的性质得到DA＝DC，∠DAC＝∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，
在△ADC中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠1＝∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：B．

【点评】本题考查了菱形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAC是解决问题的关键．
6．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则该三角形最长边的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出各边长，比较即可．
解：由勾股定理得，AC＝＝，
AB＝＝，
BC＝＝3，
∵＜＜3，
∴该三角形最长边的长为3，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠OAD＝30°，则∠AOD的度数为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．135°
【分析】根据矩形的性质得出AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，求出OA＝OD，根据等腰三角形的性质得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝30°，
∴∠AOD＝∠BOC＝180°﹣∠ACB﹣∠DB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
即∠AOD的度数是120°．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质，能熟记矩形的对角线相等且互相平分是解此题的关键．
8．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（　　）

A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝DC，而△CMB的面积为S＝CD•高，△ADM的面积为S1＝MA•高，△CBM的面积为S2＝BM•高，这样得到S1+S2＝MA•高+BM•高＝（MA+BM）•高＝AB•高＝S，由此则可以推出S，S1，S2的大小关系．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵△CMB的面积为S＝DC•高，△ADM的面积为S1＝MA•高，△CBM的面积为S2＝BM•高，
而它们的高都是等于平行四边形的高，
∴S1+S2＝AD•高+BM•高＝（MA+BM）•高＝AB•高＝CD•高＝S，
则S，S1，S2的大小关系是S＝S1+S2．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质对边相等以及三角形的面积计算公式，分别表示出图形面积是解题关键．
9．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角相等 D．对角线互相垂直
【分析】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．
解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键．
10．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个锐角为60°的菱形，则剪口与折痕所成的角α的度数应为（　　）

A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
【分析】如图：折痕为AC与BD，∠ABC＝60°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD＝30°，易得∠BAC＝60°．所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故选：D．

【点评】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，有助于提高学生的动手及立体思维能力．
11．如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，F是边BC的中点，连接DF，若BC＝6，AC＝4，则四边形DFCE的周长为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝3，DF∥AC，DF＝AC＝2，根据平行四边形的性质计算即可．
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝3，
同理可得：DF∥AC，DF＝AC＝2，
∴四边形DFCE为平行四边形，
∴四边形DFCE的周长＝2×（3+2）＝10，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
12．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．要使四边形EFGH为菱形，可以添加的一个条件是（　　）

A．四边形ABCD是菱形 B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD D．AC⊥BD
【分析】应添加的条件为AC＝BD，理由为：根据E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理及AC＝BD，等量代换得到四条边相等，确定出四边形EFGH为菱形，得证．
解：应添加的条件是AC＝BD，理由为：
证明：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，且AC＝BD，
∴EH＝BD，FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
∴EH＝HG＝GF＝EF，
则四边形EFGH为菱形，
故选：C．
【点评】此题考查了中点四边形，以及菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
13．如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（　　）

A．12cm B．cm C．cm D．cm
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
解：当如图1所示时，AB＝＝（cm），
当如图2所示时，AB＝＝（cm），
∵＜，
∴它所行走的最短路径的长是cm．
故选：B．

【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
14．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．正方形的四个角均为直角
C．矩形的对角线相等
D．菱形的四条边都相等
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．
解：A、逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B、逆命题为四个角均为直角的四边形是正方形，错误，为假命题，不符合题意；
C、逆命题为对角线相等的四边形为矩形，错误，为假命题，不符合题意；
D、逆命题为四条边都相等的四边形是菱形，正确，为真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）

A．13 B．26 C．34 D．47
【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34，
同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，
∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，
故选：D．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，得到BE＝AB，CF＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；延长CE交DA的延长线于H，根据线段中点的定义得到AE＝BE，根据全等三角形的性质得到BC＝AH＝AD，由AG是斜边的中线，得到AG＝DH＝AD，求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到∠AGE＝∠CDF．故③正确．根据CF＝BC＝CD，可得∠CDF≠30°，所以∠ADG≠60°，所以△ADG不是等边三角形，故④错误．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，

∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
∵CF＝BC＝CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD＝AG，
∴△ADG不是等边三角形，
∴∠EAG≠30°，故④错误；
故选：D．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（每小题3分，共12分）
17．化简的结果是 　3　．
【分析】由二次根式的性质：＝|a|，即可解答．
解：＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
18．在▱ABCD中，∠B+∠D＝200°，则∠A＝　80°　．
【分析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补即可得出∠A的度数．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B+∠D＝200°，
∴∠B＝∠D＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°．

【点评】本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质；解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
19．直角三角形中，两直角边的长分别为3和4，则斜边的中线长为 　　．
【分析】首先利用勾股定理求出斜边，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案．
解：根据勾股定理得，斜边为＝5，
∴斜边上的中线为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
20．四边形ABCD中，∠ABD＝90°，AB＝2，AD＝4，BC＝BD，∠BDC＝60°．线段BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分，BE＝　　．

【分析】过点B作BF⊥CD，垂足为F，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝6，从而求出△ABD的面积＝6，根据已知可得△BDC是等边三角形，从而可得CD＝BD＝6，进而可得DF＝CF＝DC＝3，然后在Rt△BDF中，利用勾股定理求出BF＝3，从而求出△BDC的面积，进而求出四边形ABCD的面积＝15，再根据已知线段BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分，可得点E在CD边上，从而可得△BEC的面积，最后根据三角形的面积公式求出CE的长，从而求出EF的长，进而在Rt△BEF中，利用勾股定理求出BE的长，即可解答．
解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，

∵∠ABD＝90°，AB＝2，AD＝4，
∴BD＝＝＝6，
∴△ABD的面积＝AB•BD＝×2×6＝6，
∵BC＝BD，∠BDC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴CD＝BD＝6，
∴DF＝CF＝DC＝3，
∴BF＝＝＝3，
∴△BCD的面积＝CD•BF＝×6×3＝9，
∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝15，
∵线段BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴点E在CD边上，
∴△BEC的面积＝四边形ABCD的面积＝，
∴CE•BF＝，
∴CE•3＝，
∴CE＝5，
∴EF＝CE﹣CF＝5﹣3＝2，
∴BE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共6道题，21题8分；22、23、24、25题10分，26题12分，共计60分）
21．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简二次根式，再算乘法，最后合并同类二次根式；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，最后合并同类二次根式．
解：（1）×++
＝4×+2+2
＝2+4；
（2）（+1）2+（+3）（﹣3）
＝6+2+13﹣9
＝10+2．
【点评】本题考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键．
22．如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，且BD＝1，AC＝．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：四边形BEFD是矩形；
（3）四边形BEFD的周长为 　2+2　．

【分析】（1）直接由菱形的面积公式求解即可；
（2）先证四边形BEFD是平行四边形，再由三角形中位线定理得OC∥BE，则BE⊥BD，得∠DBE＝90°，即可得出结论；
（3）由三角形中位线定理得出BE的长，再由矩形的性质得EF＝BD＝1，BE＝DF＝，即可求解．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝1，AC＝，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝××1＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵CE＝CD，CF＝BC，
∴四边形BEFD是平行四边形，OC是△BDE的中位线，
∴OC∥BE，
∴BE⊥BD，
∴∠DBE＝90°，
∴平行四边形BEFD是矩形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝AC，
由（2）可知，OC是△BDE的中位线，
∴BE＝2OC＝AC＝，
∵四边形BEFD是矩形，
∴EF＝BD＝1，BE＝DF＝，
∴四边形BEFD的周长＝2（BD+BE）＝2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝4dm，BC＝3dm，AB，DO均与地面平行．
（1）若支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；
（2）若OF的长度为dm，∠FOD＝135°，求扶手F到AB所在直线的距离．

【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长度即可；
（2）分别求出C点到AB的距离，F点到直线DO的距离，求和即可．
解：（1）∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°，
∴AB＝＝＝5（dm），
即两轮轮轴A，B之间的距离为5dm；
（2）过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH，

∵OF的长度为dm，∠FOD＝135°，
∴∠FOG＝180°﹣135°＝45°，
∴FG＝OF•sin45°＝×＝3（dm），
由（1）知AB＝5dm，AC＝4dm，BC＝3dm，
∴AB•CH＝AC•AB，
即×5×CH＝，
解得CH＝，
∴FG+CH＝3+＝（dm），
即扶手F到AB所在直线的距离为dm．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练根据三角函数解直角三角形是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知长方形ABCD的两个顶点A（2，﹣1），C（6，2）．点M为y轴上一点，△MAB的面积为6，且MD＜MA．
请解答下列问题：
（1）顶点B的坐标为　（6，﹣1）　；
（2）将长方形ABCD平移后得到A1B1C1D1，若A1（﹣1，﹣5），则C1的坐标为　（3，﹣2）　；
（3）求点M的坐标．

【分析】（1）根据点B的位置写出坐标即可；
（2）由题意将长方形ABCD向左平移3个单位，向下平移4个单位得到A1B1C1D1，由此即可解决问题；
（3）设△MAB的高为h，构建方程求出h即可解决问题；
解：（1）（6，﹣1）．
（2）（3，﹣2）．
（3）设△MAB的高为h，根据题意得：
•AB•h＝6，
∴h＝3，
由于MD＜MA 所以M（0，2）．
故答案为（6，﹣1），（3，﹣2）．
【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．

（1）若AC＝EC，如图1，求证：DB∥CE．
（2）如图2，AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，AF＝BE＝1，DG＝，求CG的长度．
【分析】（1）先由四边形ABCD是矩形，E是AB延长线上的一点证明CD∥BE，再证明CD＝BE，即可证明四边形BECD为平行四边形；
（2）先证明四边形ABCD是正方形，再证明△EGF≌△AGD，得FG＝DG，∠EGF＝∠AGD，则∠FGD＝∠AGF+∠AGD＝∠AGF+∠EGF＝∠AGE＝90°，即可证明△DGF是等腰直角三角形；先根据勾股定理求出DF2的值，再求得EF＝3，则AE＝4，AC＝3，再求得GA＝2，即可求得CG＝AC﹣GA＝．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，E是AB延长线上的一点，
∴CD＝AB，CD∥BE，∠ABC＝90°，
∵AC＝EC，BC⊥AE，
∴AB＝BE，
∴CD＝BE，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝CB，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵EG⊥AC于点G，
∴∠AGE＝90°，
∴∠E＝∠GAE＝∠GAD＝45°，
∴GE＝GA，
∵AF＝BE，
∴EF＝BE+BF＝AF+BF＝AB＝AD，
在△EGF和△AGD中，
，
∴△EGF≌△AGD（SAS），
∴FG＝DG，∠EGF＝∠AGD，
∴∠FGD＝∠AGF+∠AGD＝∠AGF+∠EGF＝∠AGE＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形．
∵FG＝DG＝，
∴DF2＝FG2+DG2＝（）2+（）2＝10，
∵∠DAF＝90°，AF＝BE＝1，
∴EF＝AD＝CD＝＝＝3，
∴AE＝AF+EF＝1+3＝4，AC＝＝＝3，
∵BE2+GA2＝AE2＝42＝16，且GE＝GA，
∴2GA2＝16，
∴GA＝2，
∴CG＝AC﹣GA＝3﹣2＝，
∴CG的长度为．
【点评】此题属于四边形综合题，重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△EGF≌△AGD是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD为平行四边形；
（2）①当四边形AEFD为菱形时，求t的值；
②当t＝　　s时，四边形DEBF为矩形；
（3）当△DEF为直角三角形时，求t的值．

【分析】（1）由题意得∠BCA＝30°，CD＝4tcm，AE＝2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝DC＝2tcm，得到AE＝DF，然后证AE∥DF，即可得出结论；
（2）①由AE＝AD，得四边形AEFD为菱形，得2t＝60﹣4t，进而求得t的值；
②∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°时，四边形DEBF为矩形，得到∠AED＝90°，再证AD＝2AE，得60﹣4t＝4t，即可得出结论．
（3）分∠EDF＝90°，∠DEF＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【解答】（1）证明：由题意可知CD＝4tcm，AE＝2tcm，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DF＝DC＝2tcm．
∵AE＝2tcm，DF＝2tcm，
∴AE＝DF．
又∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
（2）解：①∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∵AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即2t＝60﹣4t，
解得t＝10，
∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形，
②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB＝90°，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
即60﹣4t＝4t，
解得t＝．
即当t＝时，四边形DEBF为矩形，
故答案为：．
（3）①当∠DEF＝90°时，
∵四边形AEFD 为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝tcm．
∵AD＝（60﹣4t）cm，
∴60﹣4t＝t，
解得t＝12．
②当∠EDF＝90°时，
∵∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形EBFD 为矩形．
在Rt△AED中，∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，
解得t＝，
③当∠EFD＝90°时，点E与点B重合，点D与点A重合，此种情况不存在△DEF．
综上所述，当t＝12或时，△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．