江苏省宿迁市沭阳县2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份江苏省宿迁市沭阳县2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上）
1．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
3．（3分）某个事件发生的概率是，这意味着（　　）
A．在两次重复实验中该事件必有一次发生
B．在一次实验中没有发生，下次肯定发生
C．在一次实验中已经发生，下次肯定不发生
D．每次实验中事件发生的可能性是50%
4．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
5．（3分）约分：的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）“双减”政策落地后，为了了解永州市50000名学生参加初中毕业考试的数学成绩的情况，从中抽取了2000名考生的数学成绩进行统计分析．根据上面的调查，下面叙述正确的是（　　）
A．以上调查属于全面调查
B．每名学生是总体的一个个体
C．2000名考生的数学成绩是总体的一个样本
D．样本容量是2000名考生
7．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（　　）

A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为（　　）

A．4 B．8 C．4 D．6
三、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9．（3分）“少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频数是 　 　．
10．（3分）居家上网课期间，小燕在学习之余与妈妈要玩一次转盘游戏，选项与所占比例如图所示，则她不看电视的可能性为 　 　．

11．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得200粒内夹谷20粒，则这批米内夹谷约为 　 　石．
12．（3分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD，若∠B＝65°，则∠D的大小是 　 　．

13．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
800
1000
射中九环以上次数
18
68
82
166
330
664
832
射中九环以上的频率
0.90
0.85
0.82
0.83
0.825
0.83
0.832
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是 　 　.（精确到0.01）
14．（3分）如果分式的值为零，那么x＝　 　．
15．（3分）分式变形＝中的整式A＝　 　．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AC＝4AF，连接EF．若AC＝12，则EF＝　 　．

17．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为 　 　．

18．（3分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H若AB＝2，AG＝，则EB＝　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19．（10分）某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中的m＝　 　，条形统计图中的n＝　 　；
（2）从该样本中随机抽取一名学生的睡眠时长，恰好是7h的概率是　 　；
（3）若该校共有1600名学生，则根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数是　 　．
20．（10分）2022年6月6日是全国第27个“爱眼日”，某校为了了解七年级学生的视力健康水平，在开学初进行了视力调查．对随机抽测的部分学生视力情况进行统计：
部分学生视力情况频数分布表
视力
频数
频率
4.1≤x＜4.4
6
0.15
4.4≤x＜4.7
a
0.2
4.7≤x＜5.0
22
0.55
5.0≤x＜5.3
4
b
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）已知该校七年级有600名学生，估计该校七年级视力正常（4.7及以上为正常视力）的人数有多少？
（3）该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议．

21．（10分）在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？
（2）为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去7个球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

23．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝　 　°时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝　 　°时，四边形ABDF为菱形．

24．（10分）如图，BD、AC是四边形ABCD的对角线，点E、F、G、H分别是线段AD、DB、BC、AC上的中点．
（l）求证：线段EG、FH互相平分；
（2）四边形ABCD满足什么条件时，EG⊥FH？证明你得到的结论．

25．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在CD上，EF⊥CD，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝10，EF＝3，求CG的长．

26．（12分）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和是　 　；
（2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（3）若分式的值为整数，求整数x的值．
27．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝θ（0°＜θ＜90°）．连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接AF，CF．
（1）若θ＝60°，求∠BED的度数；
（2）当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由；
（3）试用等式表示线段DE与CF之间的数量关系，并证明．


2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上）
1．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行判断即可．
【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、床前明月光，是随机事件，不符合题意；
B、大漠孤烟直，是随机事件，不符合题意；
C、手可摘星辰，是不可能事件，不符合题意；
D、黄河入海流，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）某个事件发生的概率是，这意味着（　　）
A．在两次重复实验中该事件必有一次发生
B．在一次实验中没有发生，下次肯定发生
C．在一次实验中已经发生，下次肯定不发生
D．每次实验中事件发生的可能性是50%
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生，据此解答即可．
【解答】解：∵某个事件发生的概率是，
∴该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，每次试验中事件发生的可能性是50%，
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键．
4．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
5．（3分）约分：的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接将分式的分子分解因式，进而约分得出答案．
【解答】解：原式＝＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
6．（3分）“双减”政策落地后，为了了解永州市50000名学生参加初中毕业考试的数学成绩的情况，从中抽取了2000名考生的数学成绩进行统计分析．根据上面的调查，下面叙述正确的是（　　）
A．以上调查属于全面调查
B．每名学生是总体的一个个体
C．2000名考生的数学成绩是总体的一个样本
D．样本容量是2000名考生
【分析】根据调查方式，总体，个体，样本，样本容量的相关概念，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、以上调查属于抽样调查，选项错误，不符合题意；
B、每名学生的数学成绩是总体的一个个体，选项错误，不符合题意；
C、2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，选项正确，符合题意；
D、样本容量是2000，选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查调查方式，总体，个体，样本，样本容量．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（　　）

A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形
【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A．∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
B．∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故结论正确，但不符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
又∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故结论正确，但不符合题意；
D．当AB＝AC时，四边形ABCD不一定是菱形，
故结论错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为（　　）

A．4 B．8 C．4 D．6
【分析】连接CN，根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可得出结果．
【解答】解：连接CN，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值为6，
故选：D．

【点评】本题考查旋转的性质、含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系．
三、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9．（3分）“少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频数是 　　．
【分析】根据“频率＝频数÷总次数”，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：强”字出现的频率＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握“频率＝频数÷总次数”是解题的关键．
10．（3分）居家上网课期间，小燕在学习之余与妈妈要玩一次转盘游戏，选项与所占比例如图所示，则她不看电视的可能性为 　85%　．

【分析】根据各项百分比之和为1可得不看电视的可能性大小．
【解答】解：由图知，她不看电视的可能性为1﹣15%＝85%，
故答案为：85%．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．
11．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得200粒内夹谷20粒，则这批米内夹谷约为 　150　石．
【分析】用总数量乘以样本中夹谷粒数所占比例即可．
【解答】解：1500×＝150（石），
故答案为：150．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确是解题的关键．
12．（3分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD，若∠B＝65°，则∠D的大小是 　65°　．

【分析】根据两边分别相等证明平行四边形，可得结论．
【解答】解：由题意可知：AB＝CD．BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D＝∠B＝65°．
故答案为：65°．
【点评】考查平行四边形的判定和性质的应用，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
800
1000
射中九环以上次数
18
68
82
166
330
664
832
射中九环以上的频率
0.90
0.85
0.82
0.83
0.825
0.83
0.832
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是 　0.83　.（精确到0.01）
【分析】根据大量的试验结果稳定在0.83左右即可得出结论．
【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.83．
故答案为：0.83．
【点评】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
14．（3分）如果分式的值为零，那么x＝　﹣2　．
【分析】根据分式值为零的条件可得2﹣x≠0，且x2﹣4＝0，再解即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣4≠0且x2﹣4＝0，
解得：x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
15．（3分）分式变形＝中的整式A＝　x2﹣2x　．
【分析】依据x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），即可得到分式变形＝中的整式A＝x（x﹣2）＝x2﹣2x．
【解答】解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
∴分式变形＝中的整式A＝x（x﹣2）＝x2﹣2x．
故答案为：x2﹣2x．
【点评】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AC＝4AF，连接EF．若AC＝12，则EF＝　3　．

【分析】由AC＝4AF可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝12，
∵AC＝4AF，
∴AF＝AO，
∴点F为AO中点，
∵点E为边AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝BD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查矩形的性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
17．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为 　4.8　．

【分析】由菱形的性质得，再由勾股定理得AB＝5，然后由菱形面积公式得，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8，
∴，
∴AB＝＝＝5，
∵EF⊥AB，
∴，
即，
∴EF＝4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18．（3分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H若AB＝2，AG＝，则EB＝　　．

【分析】设BD与AC交于点O，在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，得到∠GAD＝∠EAB从而△GAD≌△EAB，即EB＝GD，由AB＝AD＝2在Rt△ABD中求得DB，利用勾股定理即可求得结果．
【解答】解：如图，连接BD，BD与AC交于点O，

在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD
∴∠GAD＝∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB＝GD
在Rt△ABD中，DB＝＝2，
∴AO＝，
∴OG＝OA+AG＝+＝2，
∴EB＝GD＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，利用三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19．（10分）某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中的m＝　25　，条形统计图中的n＝　15　；
（2）从该样本中随机抽取一名学生的睡眠时长，恰好是7h的概率是　　；
（3）若该校共有1600名学生，则根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数是　1080人　．
【分析】（1）根据5h的人数和所占的百分比，可以求得本次接受调查的初中学生人数，然后即可计算出m和n的值；
（2）用7h的人数除以学生的总人数即可求得恰好为7h的概率；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数．
【解答】解：（1）本次接受调查的初中学生有：4÷10%＝40（人），
m%＝10÷40×100%＝25%，即m＝25，
n＝40×37.5%＝15，
故答案为：25，15；

（2）从该样本中随机抽取一名学生的睡眠时长，恰好是7h的概率是＝，
故答案为：；

（3）1600×＝1080（人），
答：该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的有1080人，
故答案为：1080人．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（10分）2022年6月6日是全国第27个“爱眼日”，某校为了了解七年级学生的视力健康水平，在开学初进行了视力调查．对随机抽测的部分学生视力情况进行统计：
部分学生视力情况频数分布表
视力
频数
频率
4.1≤x＜4.4
6
0.15
4.4≤x＜4.7
a
0.2
4.7≤x＜5.0
22
0.55
5.0≤x＜5.3
4
b
（1）a＝　8　，b＝　0.1　；
（2）已知该校七年级有600名学生，估计该校七年级视力正常（4.7及以上为正常视力）的人数有多少？
（3）该统计结果引起了同学们的重视，学校提出了“爱护眼睛，守护光明”的倡议，请你结合自身提出两条爱眼护眼的合理化建议．

【分析】（1）利用“频率＝”求出总数，进而得出a、b的值，再补全频数分布直方图即可；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）根据爱护眼睛的意义解答即可．
【解答】解：（1）样本容量为：6÷0.15＝40，
∴a＝40×0.2＝8，b＝4÷40＝0.1，
故答案为：8；0.1；
（2）600×（0.55+0.1）＝390（名），
答：该校七年级视力正常（4.7及以上为正常视力）的人数有390名；
（3）①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；
②保证充足的睡眠，饮食均衡．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（10分）在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？
（2）为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去7个球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）设放入红球x个，则黄球为（7﹣x）个，由题意：摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，
∴摸出每一球的可能性相同，
∴摸出红球的概率是，摸出黄球的概率是；
（2）设放入红球x个，则黄球为（7﹣x）个，
由题意得：，
解得：x＝2，
则7﹣x＝5，
∴放进去的这7个球中红球2个，黄球5个．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求证．
【解答】证明：∵四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
23．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝　45　°时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝　30　°时，四边形ABDF为菱形．

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）①根据菱形的判定定理得到四边形ADCF是菱形，求得∠DCF＝90°，于是得到结论；
②根据平行四边形的性质得到CD＝CF，推出△DCF是等边三角形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①∵AF∥CD，AF＝CD，AD＝AF，
∴四边形ADCF是菱形，
当四边形ADCF为正方形时，∠DCF＝90°，
∴∠ACB＝∠ACF＝45°；
②∴CD＝CF，
当四边形ABDF为菱形时，BD＝DF，则DC＝DF，
∴CD＝CF＝DF，
∴△DCF为等边三角形，
∴∠DCF＝60°，
∴∠ACB＝∠ACF＝30°．
故答案为：45，30．

【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的性质和判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
24．（10分）如图，BD、AC是四边形ABCD的对角线，点E、F、G、H分别是线段AD、DB、BC、AC上的中点．
（l）求证：线段EG、FH互相平分；
（2）四边形ABCD满足什么条件时，EG⊥FH？证明你得到的结论．

【分析】（1）连接EF、GF、GH、HE，根据三角形中位线定理得到EF∥AB，EF＝AB，GH∥AB，GH＝AB，证明四边形EFGH为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
（2）根据菱形的判定定理得到平行四边形EFGH是菱形，根据菱形的性质定理证明即可．
【解答】（1）证明：连接EF、GF、GH、HE，
∵点E、F分别是线段AD、DB的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∵点G、H分别是线段BC、AC的中点，
∴GH∥AB，GH＝AB，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴线段EG、FH互相平分；
（2）解：当AB＝CD时，EG⊥FH，
理由如下：∵点G、F分别是线段BC、BD的中点，
∴GF＝CD，
∵AB＝CD，
∴EF＝GF，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH．

【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
25．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在CD上，EF⊥CD，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝10，EF＝3，求CG的长．

【分析】（1）证OE为△ABD的中位线，则OE∥AB，易证四边形OEFG为平行四边形，然后证∠EFG＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AB＝AD＝10，OB＝OD，AC⊥BD，由直角三角形斜边上的中线性质得出OE＝AE＝AD＝5，再由矩形的性质得∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝3，FG＝OE＝5，由勾股定理求出DF＝4，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，AB∥CD，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥AB，
∴OE∥GF，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形，
∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝10，OB＝OD，AC⊥BD，
∵点E为AD的中点，AD＝10，
∴DE＝AE＝AD＝5，
由（1）可知，四边形OEFG是矩形，
∴∠EFG＝∠DFE＝90°，OG＝EF＝3，FG＝OE＝5，
∴DF＝＝4，
∴CG＝CD﹣GF﹣FD＝20﹣6﹣10＝1．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（12分）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和是　1+　；
（2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（3）若分式的值为整数，求整数x的值．
【分析】逆用同分母分式加减法法则，仿照题例做（1）（2）；（3）先把分式化为真分式，根据值为整数，x的值为整数确定x的值．
【解答】解：（1）＝
＝
故答案为：
（2）＝
＝﹣
＝2﹣；
（3）
＝
＝+
＝x﹣1+，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
【点评】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题例和题目给出的定义是解决问题的关键．
27．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝θ（0°＜θ＜90°）．连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接AF，CF．
（1）若θ＝60°，求∠BED的度数；
（2）当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由；
（3）试用等式表示线段DE与CF之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）θ＝60°时，△ABE是等边三角形，可得∠AEB＝60°＝∠EAB，由四边形ABCD是正方形，可求出∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠EAD）÷2＝15°，即得∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝45°；
（2）由四边形ABCD是正方形，得∠BAD＝90°，AB＝AD，可得∠AED＝＝45°﹣θ，根据AE＝AB，∠EAB＝θ，可得∠AEB＝＝90°﹣θ，故∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝45°；
（3）过C作CG⊥CF交FD延长线于G，证明△BCF≌△DCG（AAS），得BF＝DG，CF＝CG，知FG＝CF，而△BEF是等腰直角三角形，有EF＝BF，即可证明DE＝CF．
【解答】解：（1）θ＝60°时，如图：

∵AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°＝∠EAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝60°+90°＝150°，AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠EAD）÷2＝15°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°；
（2）当θ变化时，∠BED的大小不会发生变化，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵∠EAB＝θ，AB＝AE，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°+θ，
∴∠AED＝＝45°﹣θ，
∵AE＝AB，∠EAB＝θ，
∴∠AEB＝＝90°﹣θ，
∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°﹣θ）﹣（45°﹣θ）＝45°；
（3）线段DE与CF的数量关系为：DE＝CF，证明如下：
过C作CG⊥CF交FD延长线于G，如图：

∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD＝90°，
∵CG⊥CF，
∴∠CFD+∠G＝90°，
∴∠BFC＝∠G，
∵∠BCD＝∠FCG＝90°，
∴∠BCF＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BCF≌△DCG（AAS），
∴BF＝DG，CF＝CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG＝CF，
由（2）知，∠DEB＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF，
∴EF＝DG，
∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG，
∴DE＝CF．


【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
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